2=0,p(B1)=0, Jacobi方法收敛 auss-Seidel迭代方法 迭代矩阵: B2=(D-D)U,de(-B2)=0,(特征方程) 或B2的特征化为下面方程的根 de((D-L)-U)=0 1a 2 23-42+42+422-2x2-2x2=0 3-42+42=0,A(A-2)2=0 1=0,A (重根) 故:P(B2)>1, Gauss-Seidel迭代方法发散 26.设求解方程Ax=b的简单迭代法 x+)=Gx+d,k=0,2, 收敛.求证当0<o<1时,迭代法 x*+=[(1-o)+o1x*)+od,k=0, 收敛 证明: 收敛 当:0<0<1 [(/+gLx 收敛 1-c+ aols|-ol+opal 30.设有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,试证当松弛因子O满足0<o<2/B(B 为A的最大特征值)时下述迭代法收敛 O(b-Ax),k=0.1 证明:Ax=b,A对称正定,A4>0, b-Ax6)=(1-)x)+ob 1|=1 时,收敛 0<λ,<20 3  = ， (B1 ) = 0 ， Jacobi 方法收敛 Gauss-Seidel 迭代方法： 迭代矩阵： B D L U 1 2 ( ) − = − , det(I − B2 ) = 0 , （特征方程） 或 B2 的特征化为下面方程的根： det((D − L) −U) = 0 即： 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a       , 0 2 2 1 2 2 = −       4 4 4 2 2 0 3 2 2 2 2  −  +  +  −  −  = 4 4 0 3 2  −  +  = ， ( 2) 0 2   − = 1 = 0 ， 1,2 = 2 （重根） 故： (B2 ) 1, Gauss-Seidel 迭代方法发散. □ 26．设求解方程 Ax = b 的简单迭代法 x (k+1) = Gx(k ) + d, k = 0,1,2,  收敛. 求证当 0  1 时，迭代法 x (k +1) = [(1−)I +G]x (k ) +d, k = 0,1,2,  收敛. 证明： x Gx d k k = + ( +1) ( ) 收敛, 当： 0  1 x I G x d k k = − + + ( +1) ( ) [(1 ) ] 收敛  Q = 1− + G  Q  1− +  G = 1−(1−  G )  1. □ 30．设有方程组 Ax = b ，其中 A 为对称正定阵，试证当松弛因子  满足 0    2 /  （  为 A 的最大特征值）时下述迭代法收敛： ( ), (k 1) (k ) (k ) x = x + b − Ax +  k = 0,1,2, . 证明： Ax = b ， A 对称正定,  A  0， ( ) (k 1) (k ) (k ) x = x + b − Ax +  I A x b k = − + ( ) ( ) (*) 当： G = 1− A 1 时，收敛 −11− A 1 0 A  2  A  2 0  