在2与j的共同本征态构成的 Hilbert空间里,当j确定时,即2的本征值确定时, 存在一个由J的本征态构成的子空间,维数D=2j+1。 当j=时,D=2,在这个子空间 2 0h/2)n(0 方/20)2(10 市(0 方 方0 h/20)h(10方 J:=(0-h/2)2(0-1/2 σ1O,.为Pau矩阵。 设的本征态为,有本征方程 0-h/2八b b 考虑到归一化条件,得 时,本征态为 m=-时,本征态为 例2:j=1(光子自旋) J2=j(j+1)h2=2h2,J2=mh,m=1,0.-1。 在D=3的子空间,有 010 0 100 h 101,J i0-,J=00 本征值本征态为 m=10在 2 与 的共同本征态构成的 ˆ J G ˆ z J Hilbert 空间里，当 j 确定时，即 的本征值确定时， 存在一个由 的本征态构成的子空间，维数 ˆ 2 J G ˆ z J D = 2 j +1。 当 1 2 j = 时， D = 2，在这个子空间： 0 / 2 0 1 , / 2 0 2 2 1 0 x x J σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = 0 2 0 2 2 0 0 2 y y i i J i i σ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = = ， / 2 0 1 0 0 / 2 2 2 0 1 z z J σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ = = = = = z ， , , σ σx y σ 为 Pauli 矩阵。 设 Jz 的本征态为 ，有本征方程 a b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ / 2 0 0 / 2 a a m b b ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ， 考虑到归一化条件，得： 1 2 m = 时，本征态为 ， 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 m = − 时，本征态为 。0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 例 2： j = 1（光子自旋） ( ) 2 2 2 J j = +j 1 2 = G = = , 1,0, 1 z ， J m= = m = − 。 在 D = 3的子空间，有 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 , 0 , 0 0 1 2 2 0 1 0 0 0 0 0 1 x y z i J J i i J i ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − = = = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 1 本征值本征态为 1 0 1, 0 ; 0, 1 ; 1, 0 0 0 m m m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 5