系,E.J. Routh在1875年利用多项式根的 Sturn组方法与有理函数的 Cauchy指 数之间的联系,建立了判断实多项式石半平亩根个数的算表,从而给出了判断稳定性的 Routh判据.随后A. Hurwitz在1895年又独立地采用多项式系数排成的矩阵的主子 式的符号来判断右半平面根的个数和稳定性,他们的工作为稳定性理论研究的代数方法 奠定了基础.这种代数方法与复变函数论中关于有理函数在特定区域内零极点数估计的 理论结合为近代稳定性判定的频域方法提供了基础,无论是频域方法中的 Nyquist判据 还是受C. Hermite早期工作的启发而由F.R. Gantmachcr等人建立的正多项式对方 法,从理论上都是与代数方法一脉相承的.为纪念 Routh的,T作, Inter.J. of Control 在1975年专门出版了纪念专辑 大致与代数方法产生的同时,A.M. Lyapunov在1892年发表了著名的博土论文 《运动稳定性一般问题》.他按照 Cauchy关于极限描述的e-6语言,将常微分方程解 对初值的连续依赖性由有限时间区间拓宽到无穷时间区间,给出了有关稳定、渐近稳定 的科学概念;进而又参照力学系统中总能量及其随时间变化的特性在决定平衡位置稳定 与否上的作用,引入了后来称为 Lyapunov函数的判定函数,利用该函数及其时间导数 的性质,建立了判断一般系统稳定性的一系列定理,从而避开了求解一般微分方程组解 的困难, Lyapunov讨论的系统是-般非线性时变系统,其结论具有一般性,可以运用 于各种类型的系统,因而意义深远,为纪念这一划时代工作发表一百周年, Inter..Jof Control同样专门出版了纪念专辑.在这-工作发表的最初50年,其主要T作集中在理 论方面 当时理论上的拓展首先表现在对时变系统稳定性的认识上.1933年K.P. Persidski 首先指出稳定性与初始时刻的关系并提出了致稳定的概念,进面E.A. Barbasin与N N. Krasovsky提出了一致渐近稳定的概念并给出了判据.此时人们才认识到 Lyapunov 关于时变渐近稳定的定理实际上已经判定了一致渐近稳定.于是一些人饶有兴趣地企图 在 Lyapunov关于渐近稳定的定理中除去无穷小上界的条件,以期达到判别渐近稳定而 不要求一致渐近稳定的结论.直到 J Massera在1949年给出了一个反例,表明在对时 变系统不做附加限制时即使要证明系统渐近稳定, Lyapunov原来的条件也未必可以减 弱,这些结果使人们对时变系统稳定性有了更深刻的认识 同用多项式根判定线性时不变系统零解渐近稳定不同,用 Lyapunov方法判断系统 零解的渐近稳定性实际上只提供了一种充分条件,但对于系数有界的线性时变系统说来 一致渐近稳定、指数渐近稳定和存在满足相关稳定性判定要求的时变二次型 Lyapunov 函数,竟是等价的.而对于非线性系统零解的一致渐近稳定, Massera同样也证明了用 来判定的 Lyapunov函数的存在性,这样便对用 Lyapunov方法判断稳定性在一定意义 下给出了必要性的结论,使人们对这一方法进一步提高了认识 理论上的另一种发展吏具方法论性质,即针对一类问题,将 Lyapunov函数由一个 扩展为几个,在研究问题时互相搭配来判断零解的稳定性.由于系统阶次的增高,针对 系统结构上的特征将 Lyapunov函数由标量函数扩展为向量函数,然后用来判断大系统 的稳定性则是在20世纪50年代后才发展起来的.这种将一个大系统分解成一些子系统 再根据子系统构造合适的 Lyapunov函数,然后集成起来形成向量 Lyapunov函数研究 整个大系统的稳定性以及关联稳定性的方法,已在包括电力系统、经济系统中得到了应