黄琳/编著 稳定性与鲁棒性 的理论基础 巴辑誉出法
前言 稳定性与鲁棒性是现代系统与控制科学的两个重要基本概念.大体上说前者是刻画 系统中过程相对初始条件变化的保持能力,而后者是过程相对环境或系统本身变化的保 持能力.随着科学技术的发展,在系统和控制的研究中,这两个概念实际上已经紧密相 连.当今在系统和控制领域关于鲁棒稳定性或稳定鲁棒性的讨论比比皆是就说明这两个 概念的研究是应该也有条件放在一起进行的.从19世纪绎典稳定性的产生到20世纪末 鲁棒稳定性的形成,其间大约经历了100年的时间.回顾这…历史进程,对于理解今天 发展的状况和预测未来的可能发展是很有意义的 1.稳定观念的萌芽到经典稳定性理论 早在2000年前古代中国的汉朝,淮南玒刘安所著的《淮南子·说山训》中就曾指 出“下轻上重,则覆必易”到了宋朝,《梦溪笔谈》的作者,科学家沈括把这种观察到的 事实已付诸于应用,他在《忘怀录》中指出“安乍乍轮不欲高,高则摇”.这是古代中国 对稳定与不稳定现象观察得到的结论,它已经隐含了后来的J.L. Lagrange关于不稳定 平衡的一些思想.至于类似稳定这个词的出现,至少可以追溯到晋书上所述“行人安稳 布帆无恙”.这大概在1500年前了.在西方“ stable”一词源出于拉丁文“ stabili 是表示坚持或保持的意思,这些千年以前的说法与观念表现了当时人们对稳定这一概念 的最初理解 稳定性由具有这种最初的理解到形成一门科学理论,其间经历了1000多年,促成 稳定性理论产生的决定性因素来自两个方面,即工业革命及随后科学技术发展的推动和 人类在19世纪对自然科学首先是数学和力学的贡献 从18世纪下半叶到19世纪末的这100多年的时间里,发生了一些具有深远影响 的事件,从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性 ●J.Watt1765年创造性地改进了T. Newcomen发明的蒸汽机,由此引发了随后 蓬勃发展的工业革命 ·J.L. Lagrange1780年出版的《分析力学》,科学地讨论了平衡位置的稳定性 C. Hermite1856年建立了关于多项式对根交错的理论 J.C. Maxwell1868年发表的“论调节器”一文,讨论了蒸汽机自动调速器与钟 表擒纵机构的运动稳定性 ·A.L. Cauchy在19世纪给出了关于极限描述的e-6,6-N语言 ●H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出的贡献 G. Peano,I. Bendixson和G. Darboux关于微分方程解对初值及参教连续依赖 性的研究 上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪未稳定性理论的两个主要学派 的形成 基于线性时不变微分方程解的收敛性与对应的实系数多项式根是否具有负实部的关
系,E.J. Routh在1875年利用多项式根的 Sturn组方法与有理函数的 Cauchy指 数之间的联系,建立了判断实多项式石半平亩根个数的算表,从而给出了判断稳定性的 Routh判据.随后A. Hurwitz在1895年又独立地采用多项式系数排成的矩阵的主子 式的符号来判断右半平面根的个数和稳定性,他们的工作为稳定性理论研究的代数方法 奠定了基础.这种代数方法与复变函数论中关于有理函数在特定区域内零极点数估计的 理论结合为近代稳定性判定的频域方法提供了基础,无论是频域方法中的 Nyquist判据 还是受C. Hermite早期工作的启发而由F.R. Gantmachcr等人建立的正多项式对方 法,从理论上都是与代数方法一脉相承的.为纪念 Routh的,T作, Inter.J. of Control 在1975年专门出版了纪念专辑 大致与代数方法产生的同时,A.M. Lyapunov在1892年发表了著名的博土论文 《运动稳定性一般问题》.他按照 Cauchy关于极限描述的e-6语言,将常微分方程解 对初值的连续依赖性由有限时间区间拓宽到无穷时间区间,给出了有关稳定、渐近稳定 的科学概念;进而又参照力学系统中总能量及其随时间变化的特性在决定平衡位置稳定 与否上的作用,引入了后来称为 Lyapunov函数的判定函数,利用该函数及其时间导数 的性质,建立了判断一般系统稳定性的一系列定理,从而避开了求解一般微分方程组解 的困难, Lyapunov讨论的系统是-般非线性时变系统,其结论具有一般性,可以运用 于各种类型的系统,因而意义深远,为纪念这一划时代工作发表一百周年, Inter..Jof Control同样专门出版了纪念专辑.在这-工作发表的最初50年,其主要T作集中在理 论方面 当时理论上的拓展首先表现在对时变系统稳定性的认识上.1933年K.P. Persidski 首先指出稳定性与初始时刻的关系并提出了致稳定的概念,进面E.A. Barbasin与N N. Krasovsky提出了一致渐近稳定的概念并给出了判据.此时人们才认识到 Lyapunov 关于时变渐近稳定的定理实际上已经判定了一致渐近稳定.于是一些人饶有兴趣地企图 在 Lyapunov关于渐近稳定的定理中除去无穷小上界的条件,以期达到判别渐近稳定而 不要求一致渐近稳定的结论.直到 J Massera在1949年给出了一个反例,表明在对时 变系统不做附加限制时即使要证明系统渐近稳定, Lyapunov原来的条件也未必可以减 弱,这些结果使人们对时变系统稳定性有了更深刻的认识 同用多项式根判定线性时不变系统零解渐近稳定不同,用 Lyapunov方法判断系统 零解的渐近稳定性实际上只提供了一种充分条件,但对于系数有界的线性时变系统说来 一致渐近稳定、指数渐近稳定和存在满足相关稳定性判定要求的时变二次型 Lyapunov 函数,竟是等价的.而对于非线性系统零解的一致渐近稳定, Massera同样也证明了用 来判定的 Lyapunov函数的存在性,这样便对用 Lyapunov方法判断稳定性在一定意义 下给出了必要性的结论,使人们对这一方法进一步提高了认识 理论上的另一种发展吏具方法论性质,即针对一类问题,将 Lyapunov函数由一个 扩展为几个,在研究问题时互相搭配来判断零解的稳定性.由于系统阶次的增高,针对 系统结构上的特征将 Lyapunov函数由标量函数扩展为向量函数,然后用来判断大系统 的稳定性则是在20世纪50年代后才发展起来的.这种将一个大系统分解成一些子系统 再根据子系统构造合适的 Lyapunov函数,然后集成起来形成向量 Lyapunov函数研究 整个大系统的稳定性以及关联稳定性的方法,已在包括电力系统、经济系统中得到了应
用 虽然代数方法与 Lyapunov方法从理论方法上有明显的区别,但它们讨论的系统及 理论研究的客观背景则是在同一的前提下进行的 (1)描述系统的模式是确定的,不考虑人为改变的因素,例如控制 (2)系统中不确定性表现在系统运动的初始条件摄动上 (3)系统是单一给定的,不考虑由于不确定性存在而导致的系统族 上述三点刻画了经典稳定性理论的主要特祉.这样的特征反映了19世纪物理学研 究特点的影响.正如马克思在《资本论》第一卷第一版序言中指出的“物理学家是在自 然过程表现得最确实最少受干扰的地方考察自然过程的或者如有可能是在保证过程以其 纯粹形态进行的条件下从事实验的”.在这种纯粹化与确定论思潮影响下的经典稳定性理 论,在20世纪后半叶由于大量工程应用的需求而遇到了挑战.这一挑战的推动,使稳定 性理论的研究获得了从未有过的发展动力,得到了巨大的发展,研究队伍也一下子由基 本上是少数数学家与力学家的圈子扩大到了包括工程科学家在内的众多领域 2.控制对稳定性理论发展的影响 20世纪30年代兴起的自动控制技术与理论,深刻地改变了稳定性理论研究的面 貌,无论从研究队伍的扩展还是控制系统的出现,从研究问题的提法与解决问题的办法 两方面都对原稳定性理论是一种突破,这种变化使稳定性理论的研究与发展都远非稳定 性理论形成后的前50年所可比拟 我们考虑一个简单的控制系统模式 x=∫(x,t,t,y=9(x,x) 其中,τ是系统的状态;α与y分别是系统的输入与输岀.控制系统中由于α不是给 定的,因而其稳定具有新的特色 控制系统研究的第一个特点在于人们对它建模时,一般认为输入与输出的信息是最 能反映系统动态特性的,至于系统的具体方程式并不一定非弄清楚.适应这种特点,控制 系统的稳定性常常用有界输入下是否只对应有界输出来刻画.建立在这种刻画之下的系 统常被看成是一些信号空间之间的算子.在线性系统的情况下,若信号理解为时域的, 则该算于用具有一定 Green函数的积分算子来表祉;当信号看为是频域的,则算子常用 传递函数方式给出,而在信号空间中常常定义一些范数来进行讨论,这种输入输出稳定 性与系统无控制时的零解稳定性的关系,在系统可控又可观测下,对于线性系统来说, 结论是清楚的,但对于非线性系统,其硏究还是近20年的事 控制系统研究的第二个特点在于存在控制.当控制是系统的状态(或输出)决定 时,则称为状态反馈(或输出反馈),系统的反馈一经确定,例如u=K(x、y),对应系 统(1)就成为 i=f(a, K(c, y),t), y=g, K(a, y)) 此时已成为无外力控制的系统,因此对于控制系统来说,稳定性的基本提法就成为:① 系统在何种条件下可以通过反馈的选取使对应系统的零解渐近稳定;②系统中反馈部分 如何具体求得,上述寻求反馈使系统稳定常称为镇定,因而上述两提法就变为①何种条 件表明系统是可镇定的;②具体如何镇定
将镇定思想与输入输出稳定的观念相结合,就发展为现今H鲁棒控制的思想.考 虑如图1所小的系统,装置G的输入区分为扰动v和控制,其输出亦区分为输出z 与测量y,此时镇定要求转化为设计K使图示系统的每一通道均稳定(即内稳定),同 时要求α对系统输出之的影响能低于一事先给定的界,这就是现今H控制研究的出 发点.研究控制系统稳定性,其模式常常以问路形式表达,最早的回路稳定的思想是由 H. Nyquist在1928年提出的.他用装置G的频率特性曲线即可断定使闭路稳定的增 益应如何选取,这种回路当K是一个由输入输出的增益界刻画的非线性函数族φ(t1) 时,则导致了从40年代起由A.L.Lur'e与V.N. Postnikov开创的绝对稳定性的研 究.意味深长的是研究绝对稳定性的方法首先不是回路分析的方法,而是将回路系统用 状态空间形式表达并用 Lyapunov方法加以解决的方法.这种现象和方法几乎延续了整 整20年,直至Ⅴ.M. Popov提出用频率法同样可以解决绝对稳定性问题,人们才深刻 地意识到绝对稳定性问题本质上应归于同路稳定性问题随后,V.A. Yakubovich给 出了著名的 Kalman- Yakubovich- Popov引埋,在证明Lur'e解与 Popov解关于绝对稳 定性等价的同时,也深刻地揭示」绝对稳定性研究中时域方法和频域方法的本质联系 这种研究过程迂回的一个直接效果是人们认识到 Lyapunov方法与回路分析方法之间并 不存在天堑,而是有着一种本质的联系,这种本质联系在随后关于严格正实与对应的矩 阵方程组求解、H∞控制与对应的 Riccati方程求解上均有明显的表现,这种频域方法 与时域方法的沟通也促进了控制系统稳定性研究的发展,人们对回路稳定性的研究,在 G只是一个传递函数时,其结果十分允分.而当G是一个传递函数矩阵时,无论是镇定 问题还是绝对稳定性问题,其结果均不够理想.A. Megretski和A. Ranter发展了绝 对稳定性研究中利用输入输出信号的积分二次约束(QC),它将目前已知的许多关于系 统动态不确定性的描述纳入统一的框架之下.而在此基础上发展起来的稳定性分析的频 域方法在继承了绝对稳定性和回路变换频城方法优点的同时,还可以处理多输入多输出 系统的稳定性分析,并可以转化为线性矩阵不等式(LMI)求解.目前1QC方法虽然在 稳定分析上获得成功,但如何利用该方法解决系统镇定间题,还远没自解决, y K 图1反馈控制系统方框图 3.研究鲁棒性的必然与发展 在控制科学研究的对象—控制系统中,由于种种原因而存在不确定性或摄动 用一个数学模式,例如用一个微分方程组来描述它,总与实际运转的系统存在差别,这 种差别表明用单一的数学模型来刻画系统是不完善的.由于处理问题的能力有限,人们 一开始总假设这种不确定性是很微小的.无论是代数方法还是 Lyapunov方法,所判断 的渐近稳定性通常具有“开集”性质,即当无摄动系统是渐近稳定时总能保证存在一个 邻域,当不确定性发生在该邻域内时对应的渐近稳定将得到保持.这样只在微摄动假设
下的渐近稳定鲁棒性(相对摄动的不变性)的研究不仅可能与实际需求差之甚远,而且其 本身也变得意义不大 控制系统的不确定性,其产生的原因是多种多样的,如何描述这种不确定性如同在 控制系统中选取品质指标一样,也应遵循两个基本原则,即它应能反映实际问题的特征 同时又能便于在研究过程中进行处理.以线性系统为例,摄动可采用下述模式 1)参数不确定性,系统中某些参数是不确定的并可在一绐定的集合中取值,例如 在矩形体、球形体、多面体内取值等.参数不确定性常称为结构性摄动,这是由于这种摄 动仅影响参数而不影响系统的结构,即在一定的结构性质下的摄动 2)非结构性摄动.这种摄幼不仅以参数变化形式出现而且系统结构也发生变化 例如用H∞范数、Gap度量的摄动 (3)混合摄动.同时具有结构性和非结构性摄动 由于系统中存在的摄动并不清楚,从研究的角度,我们面对的对象不是一个单一的 对象而是而对一族对象.这表明一个实际的系统其描述模式可以有多个甚至无穷个,即 必须用一个系统族来描述同一个实际系统.这种描述可以由一个名义系统(即摄动为零) 和一个摄动模式所组成,也可以用一个基于集合包含关系的方程来刻画,例如,微分包 含.鲁棒稳定性就是一个系统族的稳定性,随着控制系统面临任务的复杂、环境的多变、 大量不确定因素的存在,研究系统的鲁棒稳定性就日益成为必需.最初当E.J. Davison 引入“ Robust”这个词时,还是针对微小摄动而言的,而今 Robust这个概念已经变为 针对那些非徵小的有界摄动 微积分的产生已经经历了300年,人们习惯于用无穷小分析来处理问题.对于大范 围变化下鲁棒稳定性的研究,也只有在出现了新的契机以后才蓬勃发展起来 鲁棒稳定性分析一开始采用了 Lyapunov函数方法,利用二次 Lyapunov函数建立 了关于系统族二次稳定的概念并得到了一批结果.特别是当系统满足匹配条件时结果相 当丰富,这种方法原则上可以应用于非线性时变系统,但由于其本质上是一种充分性方 法而且对系统蔟要求具有公共的 Lyapunov函数,难于满足,结果也就偏于保守.在相 对热丁不足10年便进入停滞不前的状态,尽管仍然有与之相近的各种提法的大量论文 出现,但由于 Lyapunov方法本身还有些关键问题,例如针对系统或系统族什么是最适 合的 Lyapunov函数,和针对系统族是否可同时利用不同的 Lyapunov函数等一系列问 题未有圆满答案,实际上只停留在呼唤突破之中 激励鲁棒性研究的另一个方而是H。控制讨论的深入,H控制的原始提法是设 计控制器以使系统内稳定且由干扰到输出的传递函数对应的H范数为最小,这是一个 典型的受约束最优控制问题.正如“人无完人,金无足赤”一样,按照最优要求设计的控 制器常难免脆弱并且代价太大.工程实际常常要求人们以一种次优控制来实现控制器 当H范数以最大奇异值的方式表现后,H∞次优化问题就同加性、乘性两种非结构 性摄动模式的系统鲁棒镇定联系在一起,这种联系赋予了H。控制新的含义,即它也是 一种鲁棒控制问题.在H∞控制理论的发展过程中,一开始它以算子空间中逼近的方式 解决间题,这在计算上比较困难、后来发现H。控制求解依赖于两↑ Riccati方程的求 解而使其增添了新的活力,加之H。∞控制本身的提法非常适合控制回路这种结构特征, 方法的可行与工程上的合理就使H∞控制成为现代鲁棒控制的核心问题之
作为鲁棒稳定或鲁棒控制的另一个主要领域—参数不确定方法,当归功于俄国 人V.L. Kharitonov的贡献,他关于一个区间多项式族是 Hurwitz稳定的充分必要条 件是该族四个端点多项式为 Hurwitz稳定的结论,先是给人们带来了诧异,随后则启示 人们寻求类似的结果并将其用于粹制.以后出现的棱边定理、菱形族定理、边界定理 值集或值映射方法等为鲁棒稳定性的分析提供了有效的T具.但这些还基本上限于当系 统多项式系数只是不确定参数的仿射函数的情况,对于多仿射与非线性情形,问题则困 难得多,完美的便于应用的结果依然吸引着研究者的巨大兴趣 控制系统的复杂性与不确定性常要求讨论同时具有上述两种不确定性的问题.与此 同时人们也乐于把H。控制方法与参数不确定方法结合起来处理系统的鲁棒镇定和带品 质要求的棒镇定. 运筹学是控制理论的近亲,其方法常常在控制理论研究中起到别开生面的作用.当 今大量的鲁棒控制问题已经借助于线性、凸与非线性规划方法求解. Karmarkar方法 在运筹学中大获成功的事例,促使人们把这一方法用于控制特别是鲁棒控制,这样控制 中的问题转化为线性矩阵不等式(LMI)求解,使LMI的作用更加明显,而鲁棒挖制的 些新分支,例如积分二次约束(IQC)与鲁棒增益规划(RGP)也都可借助LMI来进 行研究.关于LMI的求解已有现成的算法和软件,但是在理论上LMI的可解性问题还 远没有解决,特别是控制系统中的许多分析与综合问题经常可转化为若千个LMI与 个非凸的矩阵秩约束条件下的可行性问题,该问题的可解性研究是一个具有挑战性的研 究课题.从鲁棒性的观念出发,建立在各种不等式基础上的分析与设计不仅具有意义 而且是一个新的研究方向 在对系统鲁棒性的研究中最具核心地位的乃是鲁棒稳定性问题,所幸的是在稳定性 的经典研究和鲁棒性的近期研究中,人们清楚地发现了这两者在理论、概念、方法上近于 致的现象.由于稳定性与鲁棒性都处理系统摄动的影响,因而在控制理论的架构中两 者是最能亲和而成为一体的.从前100年发展的历史可以清楚地看到其中的天然联系 4.本书内容的考虑与安排 近100年稳定性的研究和近20年鲁棒性的研究,为我们提供了成千上万的文献 文献量大,增加了选材的困难,但同时也迫使我们从这众多的文献中寻找出基本的主干 型成果,为读者创造一个基础.当然也希望在掌握了这种主干材料之后,有可能长出新 芽和出现新的生长点,或长成新的枝叶,为发展该理论提供方便 由于系统的稳定性与鲁棒性所讨论的问题有明确的物埋或工程背景,而其理论结论 又常以严谨的数学方式表达,工程或物理的直观往往是人们解决问题中的思想雏形,虽 富于启迪,但常不完善,这种粗线条的想法同严蜜的数学论证并不经常是吻合的,为了避 免误解,我们在对结论给出严格的数学阐述的同时将给出一些例子以消除由于直觉不完 善所可能引发的误解,以便对数学命题成立的条件能有更深的认识.由于本书取材力求 是主干型的内容,因而对主要结论将给出严格的证明,这无非是希望造成一个条件以使 读者不必再查阅其它文献就可有一个较坚实的基础,这对于年轻读者可能会更方便些 基于这个想法,本书的内容安排如下: 第一章是 Lyapunov稳定性理论的基础,主要阐述理论的基本内容及其最重要的发 展,包括时变、周期系统渐近稳定,渐近稳定反问题以及力学系统稳定性等著名结果
线性时不变系统的研究是最基础也是最广为应用的成果.木书将用两章篇幅来闸 述.第二章除一开始讨论系统结构性质外其余部分着重讨论多项式理论,即针对实复系 数多项式根分布来研究稳定性.其中较大的篇幅是关于现今鲁棒分析所要求的多项式族 的會棒稳定性,包括有理函数及有理函数族的严格正实性,第三章从状态空间角度讨论 稳定性问题.包括 Lyapunov方程,二次型最优及与之联系的 Riccati方程和 Hamilton 矩阵,正实矩阵,线性矩阵不等式以及二次稳定等内容 第四章专门讲述线性时变系统,主要阐述线性时变系统的稳定性,结构性质, Gronwall- Bellman方法,并从一般性层次给出线性系统的有关结果以及由此引出的无 源性、有界实结论,最后对目前常用的微分包含理论,针对线性时交系统作了必要介绍 最后两章是有关控制系统稳定性、鲁棒性的阐述第五章围绕绝对稳定性展开,充 分考虑了频域不等式和S过程,讨论的范围已不囿于绝对稳定性而涉及到其它一些总体 性质.第六章则是鲁棒稳定性的一些最重要的基硎,既包括参数不确定性的结果,也包 括互质分解上的结论.最后讲述二次最优与H。控制的有关理论基础 本书的前身是北京大学出版社1992年出版的《稳定性理论》,那时作者就刻意在 传统稳定性理论上加强控制并引进鲁棒性.这一努力见到了成效,但近10多年的发展特 别是鲁棒性研究的蓬勃发展,迫使作者在原书的基础上做大规模的变动,并将其改名为 《稳定性与鲁棒性的理论基础》出版.H于稳定性、鲁棒性的领域是一个成果浩瀚的领 域,其理论基础必然来自各方的力作,这里要特别提到的是GL995,[PS1996,前 者对H理论的叙述既考虑到理论的完整又兼顾了时变与时不变的两种情形与LQG最 优、滤波及H。控制的多种形式,这刚好符合本书的需要;而后者在绝对稳定性基础上 的展开也使作者获益匪浅,书中关于这两方面的内容主要来自它们本书各节最后均有 文献索引,这既方便读者也是对原著作人的尊重 在本书的完成过程中,得到了自然科学基金项目的持续资助,以及国家攀登项目《复 杂系统控制的基础理论研究》和国家重点研究规划项目《我国电力大系统灾变防治和经 济运行的重大科学问题的研究》的资助,作者在此对国家科技部和自然科学基金委的支 持深表谢意.本书的出版还得到了中国科学院科学出版基金的资助,在此深表感谢 北京大学力学与工程科学系,特别是系统与控制研究中心的同仁为本书的形成创造 了一个良好的学术氛围,正在或曾在该中心学习T作过的一批年轻朋友,工金枝、郁文 生、喻学刚、段志生、曾建平、杨莹、董海荣、朱俊彬等在提供材料、帮助录入、提供算 例等方面给了作者以帮助,特别是王金枝博士,还帮助作者通校了全稿,在此对他们的 帮助,深致谢意 作者十分感谢所有帮助过的同志,希望本书的出版将无愧于这些支持和帮助 由于作者水平有限,挚诚欢迎批评指正 黄琳 2002年4月
目录 前言 第一章 Lyapunov稳定性理论 ◆4·s非·甲甲章非非音;新 11稳定性的基本概念 12 Lyapunov函数 13稳定,输出稳定与部分变元稳定 (14) 1.4不稳定性 (20) 1.5渐近稳定I 16渐近稳定Ⅱ 17周期系统的一致渐近稳定( Krasovsky定理) 33 18时变系统的一致渐近稳定( Matrasov定理) …(37) 19一致渐近稳定的反问题 1.10力学系统稳定性 (49) 1.11其它稳定性问题 …(54) 第二章线性时不变系统I—一多项式理论 (61) 21线性时不变系统的结构性质∴ (61) 22线性时不变系统稳定性的特征 (67) 23 Hurwitz矩阵与 Hurwitz稳定性, 24 Hurwitz稳定的讨论 ……(79 25系数空间中的 Hurwitz区域(奇偶分解)……… 85 2.6相角微分与凸组合 2.7复 Hurwitz多项式 8相角变化与凸方向 (100) 29多项式系数空间中的稳定凸多面体 ∴,(107) 210 Schur多项式与 Schur稳定性., (112) 211边界检验,值集与值映射 212正实性与严格正实性 (125) 213映射定理与多仿射映射 (134 第三章线性时不变系统I——状态空间方法 ,··· 142 31 Lyapunov方程与二次型 Lyapunov函数∴ 32 Lyapunov函数集与公共的 Lyapunov函数 (150) 33一次近似讨论的合理性 34输出稳定性 3.5极点配置与系统镇定, 168 36二次型最优控制 (172) 37 Hamilton矩阵与 Riccati方程 ∴..(178)
3.8正实矩阵与谱分解 (186) 39正实引理 3.10矩阵的稳定半径 .(202 3.11摄动界确定的近似方法 (205) 3.12线性矩阵不等式与线性二次镇定 3.13系统族二次镇定的条件 (218) 3.14渐近稳定与二次型最优 .(223) 第四章线性时变系统 (228) 41线性时变系统的特征 4.2 Lyapunov变换与周期线性系统 4.3线性时变系统零解的指数渐近稳定 44 Gronwall-Bellman不等式及应用 (2 45线性时变系统的可控性与可观测性I (252) 46线性时变系统的可控性与可观测性I 47线性时变系统的镇定I ,(263) 4.8线性时变系统的镇定II……… 49L2上的系统及其稳定性∴ (274) 4.10一般线性系统的尺度,小增益定理 (281) 411无源性,严格正实与有界实 4.12微分包含的一般理论 4.13线性微分包含系统的一致渐近稳定∴∴………… (301) 4114线性微分包含系统渐近稳定的代数条件 第五章控制系统稳定性I—一绝对稳定性及相关问题· ∴..(314 51线性系统的频城稳定性判据 52绝对稳定性 (319) 53S过程的数学理论I频域不等式 (323) 54S过程的数学理论II—频域不等式 ,(329) 55S过程的数学理论II规划亏解问题 (338 56绝对稳定性的频域判据—圆判据 (345) 57 Popov判据 (350) 5.8反馈非线性系统的积分方程描述… (358) 59具可微非线性的情形与两个猜想 (368) 5.10超稳定性 511非线性控制系统的一些总体性质 (377 12平衡点集的稳定性 (384 5.13类摆系统 (392) 514 Lagrange稳定性与 Bakey稳定性…… 第六章控制系统稳定性Ⅱ——一鲁棒控制与鲁棒镇定 ,(404 6.1内稳定与H摄动下鲁棒稳定性 (404)
