西北工业大学自动化学院：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第11讲 线性系统的稳定性分析

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 课程回顾(1) (1)改暮三阶糸统动态性能的措施 R( K R(S) K C(s s(s+1) s(s+1) 测速反馈控制 比例+微分控制 增加阻尼 提前控制 (2)附加开环零点的影响 改变:特征方程系数→特征根→模态→阶跃响应→性能 (3)附加闭环零点的影响 改变:部分分式系数→模态的加权值→阶跃响应→性能

课程回顾（1） （1）改善二阶系统动态性能的措施 （2）附加开环零点的影响 增加阻尼 （3）附加闭环零点的影响 测速反馈控制 改变：特征方程系数→特征根→模态→阶跃响应→性能 改变：部分分式系数→模态的加权值→阶跃响应→性能 比例+微分控制 提前控制

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 课程回顾(2) §3.4.1高阶糸统单位阶跃响应 (S-Z Φ(s)= M(s)bmS"+bm-S"+..+b,S+bo n≥n D(s) anS"+au-S+.+a,s+a II(-4) j c()、M(0) +∑ M(S) (0)=-a, SD(S) +∑4 e -oi' sin((alt+q 1=-a±jod §34.2闭环主导极点 §34.3估算高阶糸统动态指标的零点极点法

课程回顾（2） n m s K s z a s a s a s a b s b s b s b D s M s s n j j m i i n n n n m m m m                        1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                    i di i i i i i j di i t i t s e A e t sD s M s D M c t         sin   ( ) ( ) (0) (0) ( ) §3.4.1 高阶系统单位阶跃响应 §3.4.2 闭环主导极点 §3.4.3 估算高阶系统动态指标的零点极点法

归首士学 旬动控制原理 (第11讲) §3线性系统的时域分析与校正 §3.1概述 §3.2一阶系统的时间响应及动态性能 §3.3二阶系统的时间响应及动态性能 §3.4高阶系统的阶跃响应及动态性能 §3.5线性系统的稳定性分析 §3.6线性系统的稳态误差 §3.7线性系统时域校正

自动控制原理 （第 11 讲） §3 线性系统的时域分析与校正 §3.1 概述 §3.2 一阶系统的时间响应及动态性能 §3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 §3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能 §3.5 线性系统的稳定性分析 §3.6 线性系统的稳态误差 §3.7 线性系统时域校正

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY (第11讲) §3.5线性系统的稳定性分析

自动控制原理 （第 11 讲） §3.5 线性系统的稳定性分析

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §3.5 线性糸统的稳定性分析(1) §3.5.1稳定性的概念 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系 统的稳定性,并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论 的基本任务之一。 稳定 临界稳定 不稳定 定义:如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态,当 扰动消失后,系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态,则系统是稳定的;否则,系统不稳定

§3.5 线性系统的稳定性分析（1） §3.5.1 稳定性的概念 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系 统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论 的基本任务之一。 定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §3.5 线性糸统的稳定性分析(2) §3.5.2稳定的充要条件 根据系统稳定的定义,若limk(t)=0,则系统是稳定的。 M(s)m(s-u(s-z2)( S-zm) 必要性:@()2D()a2(-41)(s-2)…(S-4n) C(s)=(S) 十 十∴十 s-1s-2 k()=41e+A2e+…Acex ∑4 limk(t)=lim 2A, e=0 t→∞ 1<0i=1,2, t→ 充分性:1<0i=1,2,…,n k()=∑A1c 0 系统稳定的充要条件:系统所有闭环特征根均具有负的实部, 或所有闭环特征根均位于左半S平面

§3.5 线性系统的稳定性分析（2） §3.5.2 稳定的充要条件 系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半s平面。 lim ( )0  k t t 根据系统稳定的定义，若 ,则系统是稳定的。 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n n m m a s s s b s z s z s z D s M s s                           n i i i n n s A s A s A s A C s s 2 1 2 1 1 ( ) ( )           n i t i t n t t i n i k t A e A e A e A e 1 1 2 2 ( )      lim ( ) lim 0 1      n i t i t t i k t A e  i  1, 2,, n 必要性：   0 i 充分性：  0 i i  1, 2,, n ( ) 0 1      n i t t i i k t A e 

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §3.5 线性糸统的稳定性分析(3) §3.5.3稳定判据 D(s)=ans"+an-1s"+…+a1s+a0=0(an>0) (1)必要条件a;>01=0,1,,…,n-1 说明:D(S)=(S+1)(s+2)(s+3)(s2+3s+2)(s+3) =(s2+3S+2)(S+3) s3+3s2+2s 3s2+9s+6 s3+6s2+11s+6 S+6s2+1ls+6 D(s)=s:+6s+9s-2s2+8s+12=0不稳定 例1{D(s)=s5+4+6s2+9s+8=0 不稳定 D(s)=-s4-55-7s2-2-10=0可能稳定

§3.5 线性系统的稳定性分析（3） §3.5.3 稳定判据 ( ) 1 0 0 1   1      D s a s a  s a s a n n n n  (1)必要条件 (  0) an  0 i a i  0, 1, 2,, n  1 说明： ( ) 6 9 2 8 12 0 5 4 3 2 D s  s  s  s  s  s   D(s)  (s  1)(s  2)(s  3) ( 3 2)( 3) 2  s  s  s  6 11 6 3 2  s  s  s  (s 1)(s 2) s 2s 2      s  2 3 2 2 s  s  ( 3 2)( 3) 2 s  s  s  s 3s 2s 3 2    3 9 6 2 s  s  6 11 6 3 2  s  s  s  ( ) 4 6 9 8 0 5 4 2 D s  s  s  s  s   ( ) 5 7 2 10 0 4 3 2 D s  s  s  s  s   例1 不稳定 不稳定 可能稳定

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §3.5 线性糸统的稳定性分析(4 (2)劳斯( Routh)判据 D(s)=an”+an1S"+an25"2+…+a1S+a0=0 劳斯表 n-4 n Aan-3 5 →Ln-7 b C 2 0 0 劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定,否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数

§3.5 线性系统的稳定性分析（4） ( ) 1 0 0 2 2 1   1         D s a s a  s a s a s a n n n n n n  (2) 劳斯（Routh）判据 0 3 2 1 s s s s s n n n n     劳斯表 a n a n  2 a n  4 a n  6  a n  1 a n  3 a n  5 a n  7  b 1 b 2 b 3 b 4  c 1 c 2 c 3 c 4       劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数 0 a 1 1 2 3 1       n n n n n a a a a a b 1 1 4 5 2       n n n n n a a a a a b 1 1 6 7 3       n n n n n a a a a a b 1 1 3 1 2 1 b b a a b c n  n  1 1 5 1 3 2 b b a a b c n  n  1 1 7 1 4 3 b b a a b c n  n 

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 3.5线性余统的稳定性分祈(5) 例2:D(S)=S4+5s3+7s2+2s+10=0 解.列劳斯表 10 5×7-2=335×10-1×0=10 s35 5 33 33/5×2-5×10__184 5 10 335 33 184 18433×10-5×10=10 33 184/33 10 劳斯表第一列元素变号2次,有2个正根,系统不稳定

§3.5 线性系统的稳定性分析（5） s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 解. 列劳斯表 1 7 10 5 2 劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 33 184  5 33 5 33 5 5 7 2    10 5 5 10 1 0    33 184 33 5 33 5 2 5 10    10 184 33 184 33 10 5 10      10 10 33 184  例2：D(s)=s 4+5s 3+7s 2+2s+10=0

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 3.5 性糸钪的稳定性分析(6 (3)劳斯判据特殊情况处理 例3:D(s)=s33s+2=0判定在右半平面的极点数。 解.列劳斯表 s31x3 某行第一列元素为0, E-2=-而该行元素不全为0时 2 2×∞-02将此0改为E, 0 继续运算。 0 2 劳斯表第一列元素变号2次,有2个正根,系统不稳定

§3.5 线性系统的稳定性分析（6） s 3 s 2 s 1 s 0 解. 列劳斯表 1 -3 e 2 劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 2    e 3e 2  0 例3：D(s)=s 3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数。 (3) 劳斯判据特殊情况处理 2 2 0    某行第一列元素为0， 而该行元素不全为0时: 将此0改为e， 继续运算