西北工业大学自动化学院：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第17讲 利用根轨迹分析系统性能

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 根轨迹法的基本概念 根轨迹:系统某一参数由0→∞变化时,系统闭环极 点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点与开环零点、开环极点及K*均有关 闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 模值条件:G(s)H) K^|s-z1l…|s 根轨迹方程 sn1|…|shn 相角条件:/G(H(s)=2/sx21-2/sp=(2k+1)m KII 根轨迹增益K i=1 -pi =1

根轨迹法的基本概念 • 根轨迹： 系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极 点在s 平面相应变化所描绘出来的轨迹 • 闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关 相角条件： 模值条件： • 根轨迹方程 • 根轨迹增益 • 闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点

②西业大兽 绘制根軏迹的基本法则 法则1根轨迹的起点和终点 法则2根轨迹的分支数,对称性和连续性 ★法则3实轴上的根轨迹 法则4根之和 ∑λ=C(n-m≥2) ★法则5渐近线 ∑P-∑ s(2k+1)元 n- n- 法则6分离点∑ i=l d-pi j=d 法则7与虚轴交点ReD(o)]=ImD(jo)]=0 n ★法则8出射角/入射角∑∠(s-p:)-∑∠(s-z2)=(2k+1)z

绘制根轨迹的基本法则 ★ 法则 5 渐近线 n m p z n i m j i i a      1 1  法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 ★ 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 根之和   n i i C 1  ( n  m  2 ) 法则 6 分离点        m j j n i i 1 d p 1 d z 1 1 法则 7 与虚轴交点 ★ 法则 8 出射角/入射角 ReD( j)  ImD( j)  0 n m k a      (2 1) (2 1) m j 1 ) j ) (s z n i 1 i (s p            k

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第17讲) §4根轨迹法 §4.1根轨迹法的基本概念 §4.2绘制根轨迹的基本法则 §4.3广义根轨迹 §4.4利用根轨迹分析系统性能

自动控制原理 （第 17 讲） §4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能 §4 根轨迹法

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第17讲) §4.4利用根轨迹分析系统性能 第四章小结

自动控制原理 （第 17 讲） §4.4 利用根轨迹分析系统性能 第四章小结

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 利用根轨迹分析系航性能( 利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤 e K (1)绘制系统根轨迹; S(s+2 (2)依题意确定闭环极点位置; (3)确定闭环零点; s+4 (4)保留主导极点,利用零点极点法估算系统性能 例1已知系统结构图,K=0→,绘制系统根轨迹并确定: (1)使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围; (2)复极点对应ξ05(-600)时的K值及闭环极点位置; (3)当3=5时,λ1,2=?相应K=? 4)当K*=4时,求λ1,3并估算系统动态指标(%ts)

§4.4 利用根轨迹分析系统性能（1） 例1 已知系统结构图，K*= 0→∞，绘制系统根轨迹并确定： ⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围； ⑶ 当 35 时，1，2？相应 K? 利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤 ⑴ 绘制系统根轨迹； ⑵ 依题意确定闭环极点位置； ⑶ 确定闭环零点； ⑷ 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能 ⑵ 复极点对应 x0.5 (b60 o) 时的 K 值及闭环极点位置； ⑷ 当 K * =4 时， 求1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts)

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 利用根轨迹分析糸统性能(2) K K=K 解.绘制系统根轨迹G(s) s(s+2)(S+4 1 [s] ①实轴上的根轨迹:[-∞,-4,[-2,0 ②渐近线: 2 9a=±60°,180° ③分离点: dd+2 d+4 0 整理得:3d2+12d+8=0 解根 0.845;√d,=-3.155 d=-0.845 K=d|d+2d+4=3:08 ④虚轴交点D(s)=s(+2)(s+4)+K"=s3+62+8s+K=0 m[D(o]=-o3+80=0 √8=2828 lReD(jo)]=-602+K=0 K=48

§4.4 利用根轨迹分析系统性能（2） ( 2)( 4) ( ) *    s s s K 解. 绘制系统根轨迹 G s ② 渐近线：  (2  4) 3  2  a  60 , 180 a ① 实轴上的根轨迹：[-∞,-4], [-2,0]      1 8 * v K K ③ 分离点： 0 4 1 2 1 1      d d d 整理得： 3 12 8 0 2 d  d   解根： 0.845; 3.155 d1   d2   ④ 虚轴交点： 2 4 3.08 0.845 *      d d K d d d ( ) ( 2)( 4) 6 8 0 * 3 2 * D s  s s  s   K  s  s  s  K  Re ( ) 6 0 2 * D j     K  Im ( ) 8 0 3 D j        8  2.828 48 * K 

归首士学 r e s(s+2) NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 利用根轨迹分析糸统性能 十4 (1)使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围 3.08<K<48 依题,对应0<5<1有:3.08 K48 <K 8 88 (2)复极点对应ξ=05(B=60°时的K值及闭环极点位置 设 λ1,2=-5on±j1-5 N1-@n 由根之和C=0-2-4=-6=-25n+13 5=0.5 3=-6+25n=-6+mn 60 On 0 应有:D(s)=S(S+2)(s+4)+K"=s3+6s2+8s+K =(s-41)(S-x2)(-3)=(2+25on+a2)(s+6-an) =s+62+60,S+On(6-n) K=K/8=1.0375 比较系数6n=8 On=4/3 解根: 九1,=-0.667±11547 n(6-0n)=K K=8.3 3=-6+On=-4.667

§4.4 利用根轨迹分析系统性能（3） 依题，对应 0  x  1 设 3.08 48 *  K  应有： 解根：       2 * (6 ) 6 8 n n K n    比较系数 ⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围 有： 6 8 48 8 8 3.08 *     K K ⑵ 复极点对应 x0.5 (b60 o) 时的 K 值及闭环极点位置 n n  x j x  2 1,2    1 由根之和 C  0  2  4  6  2xn  3  xn n x        6 2 6 0.5 3 * 3 2 * D(s)  s(s  2)(s  4)  K  s  6s  8s  K      8.3 4 3 * K n                6 4.667 0.667 1.1547 8 1.0375 3 1,2 * n j K K    ( )( )( )   1  2  3 s s s 6 6 (6 ) 3 2 2 n n n  s  s   s   ( 2 )( 6 ) 2 2 n n n  s  x s  s  

归首士学 (+2) NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 利用根軌迹分析糸统性能 (3)当λ3=5时,,2=?相应K=? s2+S+3 D(s)=s3+6s2+8s+K s+5/s3+6s2+8s+K =(S+5)(2+s+3) s+SS s2+8s λ12=-0.5±j.6583 +5S K"=15 35+K K=K/8=15/8=1875 K=15← 3s+15 4)当K*4时,求123并估算系统动态指标( λ1 令K=33+212+4=4 试根A3=-4.383 D(s)s3+6s2+8s+K =-0.808±j0.509 s+4.383 s+4.383 解根1=38 =s2+1.617s+0.9127

§4.4 利用根轨迹分析系统性能（4） 3 2 * D(s)  s  6s  8s  K 2 s 解根： 试根 ⑶ 当 35 时，1，2？相应 K? ⑷ 当 K * =4 时， 求1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts) 4.383 6 8 4.383 ( ) 3 2 *       s s s s K s D s         4.383 0.808 0.509 3 1,2   j ( 5)( 3) 2  s  s  s  0.5 1.6583 1,2     j 8 15 8 1.875 * K  K   3 2 s  5s s 8s 2  s 5s 2  * 3s  K 3s  15  s  3 3 2 * s  5 s  6s  8s  K 0 K *  15  15 * K  3 3 2 3 4 4 * K        3  4.383 令 1.617 0.9127 2  s  s 

归首士学 e +2 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 利用根軌迹分析糸统性能 (4)当K=4「+h(t) t 视A12为3 y2+1617s+0.9127 4×0.9127 1 x2+1617s+0.9127 d(s)= 4(s+4) 1+ (s+4383)[s2+1617s+0.9127 (S+4.383)s+0.808±j0.509) 4(S+4) 4×0.9127 (s+4383)s2+1617s+0.9127)s2+1617s+09127 O=√09127=0955 0%=e 5x/V1-5 0.689 % 2=1617/(2×0.955)=08463 f,=3.5/50n=35/0.808=433

§4.4 利用根轨迹分析系统性能（5） 视 1,2 为主导极点 ⑷ 当 K * =4 时， 求1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts)             4 4.383 0.808 0.509 3 1,2 z j   * * * * ( 2)( 4) ( 4) ( 2)( 4) 1 ( 2) ( ) s s s K K s s s s K s s K s            ( 4.383)[ 0.808 0.509) ( 4) * 4 * s s j K s K      ( 4.383)[ 1.617 0.9127) 4( 4) 2      s s s s 1.617 0.9127 4 0.9127 2     s s         1.617 (2 0.955) 0.8463 0.9127 0.955 x n            3.5 3.5 0.808 4.33 0.689 0 0 1 0 0 2 s n t e x  x x

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY S44利用极轨迹分析系航性能 例2系统结构图如图所示。 K(s+4) (1)绘制当K0→∞时系统的根轨迹; s(+2)(s+3 (2)使复极点对E十h( (3)估算系统动还 解.(1)G(s) K s(s+ 9(s+4) (2)当ξ=0.5(1 y+2[y2-+3;9 ,2 =-1.5± 18 K=A11 +3$+9 K=K/3 K(S+4) (3)Φ(s)= s(s+2)(S+3) K(s+ a%=517% K (S+2)|s(S+3)+K" t,=162 (S+3)

§4.4 利用根轨迹分析系统性能（6） 例2 系统结构图如图所示。 4 ( 3) 2 ( 2)( 3) ( 4) ( ) * *         s s K s s s s s K s 解. (1) G s      1 3 * v K K （1）绘制当K*= 0→∞时系统的根轨迹； （2）使复极点对应的 x0.5 (b60 o ) 时的 K 及  ? ( 2)[ ( 3) ] ( 4) ( 3) 1 ( 2)( 3) ( 4) ( ) * * * * s s s K K s s s K s s s K s s                  1.62 5.17 0 0 0 0 s t (3)  （3）估算系统动态性能指标( , ts) (2) 当 x0.5 (b60 o) 时 1,2  1.5  j2.598 3 1.5 2.598 9 2 2 1 1 * K        3 3 * K  K 