第一章 线性控制系统的状态间描述 济南大学信息学院 Epantment of Information and Contral Engineering Of Jinan Universiy httplice.sdibm.edu.cn, 翻开进入
第一章 线性控制系统的状态空间描述 第一章 线性控制系统的状态空间描述 济南大学信息学院 Epantment of Information and Contral Engineering Of Jinan Universiy http://ice.sdibm.edu.cn/ 翻开进入
目录 11状态空间描述的概念 12系统的一般时域描述化为状态空间描述 1.3系统的频域描述为状态空间描述 14据状态变量图列写线性系统的状态空间描述 15据系统方块图导出状态空间描述 16将状态方程化为规范形式 ↓
目录 1.1 状态空间描述的概念 1.2 系统的一般时域描述化为状态空间描述 1.3 系统的频域描述为状态空间描述 1.4 据状态变量图列写线性系统的状态空间描述 1.5 据系统方块图导出状态空间描述 1.6 将状态方程化为规范形式
1.1状态空间描述的概念 基本定义 l数学描述的三种形式 例1:如图RLC网络 u输入变量u-输出变量 R L du √ di L-t ritu =u 消去中间变量: +rc-ctu=u 传函表示形式: U(s) LCS+RCS+1
1.数学描述的三种形式 例 1：如图 R-L-C 网络 u-输入变量 u c -输出变量 消去中间变量： 传函表示形式： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = Ri u u dt di L i dt u C c d c 1.1状态空间描述的概念 一 .基本定义 R L c u u u dt du RC dt d u LC c c c + + = 2 u i C 1 1 ( ) ( ) 2 + + = U s LCS RCS U s c
阶微分方程表示形式: RiX dt L 向量矩阵表示形式: l「0Tl「0 1二R 从上述例题中看出描述可分为两种基本类型 外部描述 内部描述 2内部描述与外部描述
一阶微分方程表示形式： 向量矩阵表示形式： 从上述例题中看出,描述可分为两种基本类型 外部描述 内部描述 2.内部描述与外部描述 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − + = = u L i L R u dt L di i i dt c du u c c c 1 1 1 & & u i u i u L c L R L c C ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 0 0 & & ⎩ ⎨ ⎧
)外部描述--输入-输出描述 描述的前提是把系统视为一个“黑箱”,不去表征系统的内部结 构和内部变量,只是反映外部变量间的因果关系,即输入一输出 间的因果关系 表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。 2)内部描述 是基于系统内部分析的一类数学模型,它需要有2个数学方程来 组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数 学表达式,称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量 组和输出变量组间转换关系的数学表达式,称输出方程。 3定义 状态变量:动力学系统的状态是指能完整地确定地描述系统的时 域行为的最小一组变量。如果给定了tto时刻这组变量 值,和t>=to时输入的时间函数,那么,系统在t>=to的 任何瞬间的行为就完全确定了,这组变量称为状态变
１.)外部描述 ---- 输入-输出描述 描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入—输出 间的因果关系。 表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。 2.)内部描述： 是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有2个数学方程来 组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数 学表达式，称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量 组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。 3.定义: 状态变量:动力学系统的状态是指能完整地,确定地描述系统的时 域行为的最小一组变量。如果给定了t=to时刻这组变量 值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的 任何瞬间的行为就完全确定了 ，这组变量 称为状态变 量
状态向量:以状态变量为元所组成的向量称为状态向量。如 xn(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为 x,(t x(t) 或x2=1()x0).xn() 状态空间:以状态变量x1x2xn为坐标轴组成的n维正交空间称 为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变 量的唯一的,特定的一组值
状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态 向量。如 x1(t) 、 x 2(t)……x n(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为： 状态空间：以状态变量 x1,x 2,…x n为坐标轴,组成的 n维正交空间称 为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变 量的唯一的，特定的一组值 。 [ ( ), ( )... ( ) ] ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 x x t x t x t x t x t x t x t n T n = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 或
被控过程的状态空间描述 L被控过程的动力学描述及控制系统方框图 1.)被控过程动力学描述 里 部 控对象 部 输出变量 输入变量 状态变量
二．被控过程的状态空间描述 1.被控过程的动力学描述及控制系统方框图 . １.）被控过程动力学描述 输入变量 执行部件 被控对象 则量部件 输出变量 n x x M 1 n y y M 1 M u r u1 状态变量
2)控制系统 被控过程 r ,, 」控制器 2状态空间描述的建立 方法:把一个高阶微分方程化为所确定的状态变量相应的一阶微分方 程组,然后用向量矩阵形式表示 例12RCL网络如图所示。e(t)输入变 量,l2()输出变量。试求其状态空间描 R 述 e(t 解:1.)确定状态变量 选llc和l构成最小变量组, 组成状态向量x=[lll
2.)控制系统 2.状态空间描述的建立 方法:把一个高阶微分方程化为所确定的状 态变量相应的一阶微分方 程组,然后用向量矩阵形式表示. 例1.2 R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变 量， -输出变量。试求其状态空间描 述 解：1.)确定状态变量 选 和 构成最小变量组, 组成状态向量 x=[ ] 1 y n y 1 u r u l i ( ) 2 u t R + − e(t) uc uc l i 控制器 被控过程 R1 L + uc − − + R uR2 2 c ic il
2)列写网络方程并化为一阶微分方程组 R(ic+iL)+L=e(t) R(+i1)+lc+R2ic=e(1)( 消去不是所确定的状态变量即将i。=c如代入 Ri +r,c duc+uc+r2c du c=e(t r,i, +rc duct dt e(t) (4) 由(3)式得 dt R e(t) (5) dt (R+r2)C(R,+R2)C(R,+R2)c 由(4)式得 rc du R +-e(t l dt L L (5)式代入(6)式 R1 rR2 R2 dt (R+R)L (R+R)L(R+R)lo
2.)列写网络方程并化为一阶微分方程组: 消去不是所确定的状态变量,即将 代入 由（ 3）式得 由（ 4）式得 （ 5）式代入（ 6）式 ： dt du c c i = c ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + = ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 2 1 R i i u R i e t e t dt di R i i L C L C C L C L ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + + = ( ) (4) ( ) (3) 1 1 1 1 2 e t dt di L dt du R i R C e t dt du u R C dt du R i R C C L L C C C L ( ) (5) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 e t R R C i R R C R u dt R R C du C L C + + + − + = − ( ) ( 6 ) 1 1 1 e t L i L R dt du L R C dt di L L C = − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 e t R R L R i R R L R R u R R L R dt di C L L + + + − + =
3.)状态空间描述 R 状态方程: (R1+R2)C (R1+R2)C (R1+R2)C e(t) R1 rR2 R2 i」L(R+R2)L (R+R2)L」[2」L(R+R2)L 输出方程: RlC R+R2 Rr R u =Ric=R,c dt R+R2 R1+R2 R RI R R2 R1+R2 R1+R2 R1+R2 R1 (R1+R2)C A= (R+R2)C B=(R+R)C R1 R,R2 R2 (R1+R2)L (R+R2)L I (R+R2)L2 R RR2 D R2 R1+R2 R+R2」12 R+R
3.)状态空间描述 输出方程: 令： ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 e t R R L R R R C i u R R L R R R R L R R R C R R R C i u L C L C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ & & ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 e t R R R i R R R R u R R R dt du u R i R C C L C R C + + + − + = = = − [ ] [ ] ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 e t R R R i u R R R R R R R u L C R ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = − 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 , ( ) ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 × × × × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − = R R R D R R R R R R R C R R L R R R C B R R L R R R R L R R R C R R R C A 状态方程：
