归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第15讲) §4根轨迹法 §4.1根轨迹法的基本概念 §4.2绘制根轨迹的基本法则 §4.3广义根轨迹 §4.4利用根轨迹分析系统性能
自动控制原理 （第 15 讲） §4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能 §4 根轨迹法
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第15讲) §4.2绘制根轨迹的基本法则
自动控制原理 （第 15 讲） §4.2 绘制根轨迹的基本法则
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 遝程回顾 根轨迹:系统某一参数由0→∞变化时,系统闭环极 点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点与开环零点、开环极点及K*均有关 闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 KIs-z1 S-A 模值条件:G(s)H(s) 根轨迹方程 sn1|…|s-nh 相角条件:/(G(s)H(s)=∑/S2-∑SP=(2k+1)π K"II-Zi ·根轨迹增益K i=1 pj =1
课程回顾（1） • 根轨迹： 系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极 点在s 平面相应变化所描绘出来的轨迹 • 闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关 相角条件： 模值条件： • 根轨迹方程 • 根轨迹增益 • 闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 课程回顾(2) 法则1根轨迹的起点和终点: 根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;如果开环零点个数 少于开环极点个数,则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 法则2根轨迹的分支数,对称性和连续性: 根轨迹的分支数三开环极点数;根轨迹连续且对称于实轴。 法则3实轴上的根轨迹: 从实轴上最右端的开环零、极点算起,奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。 定理:若系统有2个开环极点,1个开环零点,且在复平面存在根轨迹, 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧
课程回顾（2） 法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数 少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。 法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性： 根轨迹的分支数 = 开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。 法则3 实轴上的根轨迹： 从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。 定理: 若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 绘制根轨迹的基本法则(6) 法则4根之和:∑4=C(n-m≥2) nm≥2时,闭环根之和保持一个常值。 证明:cH(=k(s=3):(s=m)=K("+bms+“+n) P1)…(S-pn) S"+a,1S"+…+a 由代数定理:-an1=∑P=∑4 C D(S=s"+a-IS H-1 十a,,S …+ao +Ks" +Kb. as +…+Kb s"+an1s"+(an2+K)sn2+(an-3+K'bn3)s"3+…+(ao+K"b D(s)=(s-x1)(-12)…(s-xn)=0 n-m≥2时,一部分根左移,另一部分根必右移,且移动总量为零
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（6） 法则4 根之和： 证明： n i i C 1 n-m ≥ 2时，闭环根之和保持一个常值。 ( n m 2 ) 0 1 1 0 1 1 * 1 1 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a s a K s b s b s p s p K s z s z GH s n n n m m m n m 由代数定理： n i n i a p 1 1 0 3 3 2 2 1 1 D(s) s a s a s a s a n n n n n n n an C n i i 1 1 0 3 * 3 * 2 * K s K b s K b n n n ( ) ( ) ( ) 0 * 0 3 3 * 3 * 2 2 1 s a 1s a K s a K b s a K b n n n n n n n n D(s) (s 1 )(s 2 )(s n ) 0 n-m ≥ 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 套绘制根轨迹的基本法则( P =1 法则5渐近线: (2k+1)丌 「sl 5 n>m时,n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。 K 例1系统开环传递函数为G(s)= 试绘制根轨迹。 S(S+2) 解.①实轴上的根轨迹:[-2,0] ∑n-∑ 2+0 ②渐近线: n 2-0 (2k+1)丌 ±90 n-
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（7） 法则5 渐近线： n m p z n i m j i i a 1 1 n > m时，n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。 n m k a (2 1) 例1 系统开环传递函数为 ( 2) ( ) * s s K G s ，试绘制根轨迹 。 解. ① 实轴上的根轨迹：[-2，0] ② 渐近线： 1 2 0 1 1 2 0 n m p z n i m j i i a 90 (2 1) n m k a
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 绘制根轨迹的基本法则(8) 例2系统结构图如图所示。 K (1)绘制当K*=0→∞时系统的根轨迹; s(s+1) (2)当Reλ1=-1时,A3=? 解.(1)G(s)= K(s+2) K=K/2 s(s+1)(s+4){v ①实轴上的根轨迹:[-4,-2],[-1,0] 0-1-4+23 ②渐近线 3-1 2 (2k+1)丌 ±90° 3-1 0}姆}*;- 用根之和法则分析绘制根轨迹: (2)an1=0-1-4=-5=A1+12+3=2(-1)+a 3=-5+2=
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（8） 例2 系统结构图如图所示。 ( 1)( 4) ( 2) ( ) * s s s K s 解. (1) G s ② 渐近线： 2 3 3 1 0 1 4 2 a 90 3 1 (2 1) k a ① 实轴上的根轨迹：[-4,-2], [-1,0] 1 2 * v K K （1）绘制当K*= 0→∞时系统的根轨迹； （2）当Re[1] = -1 时，3? 用根之和法则分析绘制根轨迹： 1 1 2 3 3 an 0 1 4 5 2(1) 5 2 3 3 (2)
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 套绘制根轨迹的基本法则( 法则6分离点d:∑ d-1(对应重根 d 说明:D(s)=s(s+1)(s+4)+K(s+2)=(S+a3)(s-d)2= dd(s) d d-(s+1)(+4)+K,(s+2)=(s-d)2+2(-)(-3)=0 d e K (s+1+4)]-κa(s+2)(s+2 s(s+1) d° s(s+1)(s+4) K(s+2) s+2 2 s+4 ln[(s+1)(+4)]=ln(s+2) [s] ds Kd=0589 Ins+In(s+1)+In(s 4)]=alm(s+2) 0.55 ds 十 十 (无零点时右端为0) dd+1d+4d+2
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（9） 法则6 分离点 d： m j j n i i 1 d p 1 d z 1 1 说明： （无零点时右端为0） （对应重根） ( ) ( 1)( 4) ( 2) * D s s s s K s ( )( ) 0 2 s 3 s d ( 1)( 4) ( 2) ( ) 2( )( ) 0 ( ) 3 * 2 s d s s d s d s ds d s s s K ds d ds dD s 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 1)( 4) ( 1)( 4) * * s s ds d K s s ds d K s s s s s s ds d ln ( 1)( 4) ln(s 2) ds d s s s ds d ln ln( 1) ln( 4) ln( 2) s ds d s s s ds d s d 2 1 4 1 1 1 1 d d d d 试根: d [1,0.5] d1 0.5 d2 0.6 0.55 d3 0.589 2 1 4 0.55 * d d d d d d K
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 绘制根轨迹的基本法则(10) K 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= 绘制根轨迹。 (S+1)(S+2) 解.G(s) K K=K s+1)(S+2) ①实轴上的根轨迹:[-∞,-2],[-1,0] 0-1-2 ②渐近线: 2k+1)丌 0 Pa 士60°,180° ③分离点:+ 0 dd+i d+2 整理得:3d2+6d+2=0解根,d1=-0.423 d,=-1.577 ④与虚轴交点:? d=-0.423 d+1d+ 0.385
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（10） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 2) ( ) * s s s K 解. G s ② 渐近线： 1 3 0 1 2 a 60 , 180 3 (2 1) k a ① 实轴上的根轨迹：[-∞,-2], [-1,0] 1 2 * v K K ( 1)( 2) ( ) * s s s K G s ，绘制根轨迹。 ③ 分离点： 0 2 1 1 1 1 d d d 整理得： 3 6 2 0 2 d d 解根： 1.577 0.423 2 1 d d ④ 与虚轴交点：? 1 2 0.385 0.423 * d d K d d d
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 套绘制根轨迹的基本法则( 法则7与虚轴交点: 1)系统临界稳定点 2)s=j是根的点 稳定范围:00 解法Ⅱ:D(jo)=-jo-302+j2m+K=0 1 ReD(o)=-302+K=0 ImD(jo +20=0 K"=6
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（11） 法则7 与虚轴交点： 解法I ： 1）系统临界稳定点 2）s = jw 是根的点 ( ) ( 1)( 2) 3 2 0 * 3 2 * D s s s s K s s s K ( 1)( 2) ( ) * s s s K [接例3] G s Routh ： 解法II ： ( ) 3 2 0 3 2 * D jw jw w j w K Re ( ) 3 0 2 * D jw w K Im ( ) 2 0 3 D jw w w w 2 6 * K 2 2 稳定范围 ：0<K<3