为Z[的单位元。证毕。2分 14、证明若环R有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群。 证明：设S是由环R的全体正则元作成的集合，并令a、b∈S,且ab)c=O,于是 得abc=0。但a是正则元，故bc=0,又因b是正则元，故c=0。..5分 同理，由cab)=0可得c=0,因此ab是正则元，ab∈S,从而S半群。..5分 三、解答题（每小题10分，共30分） 15、写出阶为5的循环群G=(a〉的自同构群Aut(G),说明Aut(G)是否是循环群。 解：Aut(G)={a1,2,3,4},其中 a=e aa ad a" e aaaa = a-e a aaa aaa a e a a2 aa e a'aaa 8分 Aut(G)是循环群，2,3都是其生成元。2分 16、将置换g分解成不相交轮换的乘积，其中有1个1轮换，有2个2轮换，…， 有m个n轮换()可以是0)，给一种编码，形式上记为xx2…x。,称其为置换g的轮 换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有2个1轮换，1个2的轮换，1个3轮换，0个4轮 换，0个5轮换，0个6轮换，0个7轮换，故其轮换指数是x2x3X9X5X8x9,在不会混 淆的情况下也简单记为xx2x。求置换 (12345678 9 123456789 = 97621435 8 7 98432156 的轮换指数。 解：0=(1985)(27346)，指数x4x,,B=(17)(296)(385)(4),指数x1x2x3.10分 17、关于群的同态你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有明确答案，写对一条4分，写对两条7分，写对三条及以上10分。如： 同态映射将群中单位元映成单位元，互逆的元映成互逆的元，子群映成子群，子群的逆 是子群，每个群能且只能与它的商群同态，循环群的同态像是循环群。为 Z[i]的单位元。证毕。......2 分 14、证明若环 R 有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群。 证明：设 S 是由环 R 的全体正则元作成的集合，并令 a、b∈S，且(ab)c=0，于是 得 a(bc)=0。但 a 是正则元，故 bc=0，又因 b 是正则元，故 c=0。……5 分 同理，由 c(ab)=0 可得 c=0，因此 ab 是正则元，ab∈S，从而 S 半群。……5 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出阶为 5 的循环群 G=   a 的自同构群 Aut(G)，说明 Aut(G)是否是循环群。 解：Aut(G)={α1，α2，α3，α4}，其中 2 3 4 1 2 3 4 e a a a a e a a a a           ， 2 3 4 2 2 4 3 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 3 3 4 2 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 4 4 3 2 e a a a a e a a a a         。......8 分 Aut(G)是循环群，α2，α3 都是其生成元。......2 分 16、将置换 g 分解成不相交轮换的乘积，其中有 λ1 个 1 轮换，有 λ2 个 2 轮换，……， 有 λn 个 n 轮换(λi 可以是 0)，给一种编码，形式上记为 n x x x n    1 1 2 2  ，称其为置换 g 的轮 换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有 2 个 1 轮换，1 个 2 的轮换，1 个 3 轮换，0 个 4 轮 换，0 个 5 轮换，0 个 6 轮换，0 个 7 轮换，故其轮换指数是 0 7 0 6 0 5 0 4 1 3 1 2 2 x1 x x x x x x ，在不会混 淆的情况下也简单记为 2 3 2 x1 x x 。求置换          9 7 6 2 1 4 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9  ，          7 9 8 4 3 2 1 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9  的轮换指数。 解：α=(1985)(27346)，指数 x 4 x 5 ，β=(17)(296)(385)(4)，指数 2 x1 x 2 x 3 。......10 分 17、关于群的同态你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有明确答案，写对一条 4 分，写对两条 7 分，写对三条及以上 10 分。如： 同态映射将群中单位元映成单位元，互逆的元映成互逆的元，子群映成子群，子群的逆 是子群，每个群能且只能与它的商群同态，循环群的同态像是循环群