Chapter 2 Calculus of variations 2.1 Euler-Lagrange Equations 考虑求函数f(x)的极值,一个必要条件是Vf(x0)=0。如果Vf(xo0)≠0, 用 Taylor公式, f(o+ay)=f(ao)+avf(ao).y+O(a) 这里y可以表示一个方向,a∈R表示某个方向前进的大小,而ay表示偏 离xo的一个小扰动。可以看到,如果Ⅴf(xo)≠0,我们可以找到一个方 向y使得,Vf(x0)·y≠0,比如y就取Vf(xo)的单位方向,那么如果α<0, 则f(xo+ay)<f(xo)。而如果f(x)=0,而它两阶导数的Hese矩阵对称 正定,则为极小点。 如果F(x,y,x)是关于三个变量x,y,z的函数,我们希望找一个函数y(x)使 得 J(y)=/F(, y(a), 取得极值。我们考虑在分片连续空间PC0,1上可能的y(x),并且y(0)= v,y(1)=犰。我们把满足这种边界条件且分片光滑的函数的全体称为允许 函数集。可以看到J是关于函数y(x)的函数,我们称为泛函。假设(x)最 9Chapter 2 Calculus of Variations 2.1 Euler-Lagrange Equations Ħ¼êf(x)4Š§‡7‡^‡´∇f(x0) = 0"XJ∇f(x0) 6= 0§ ^Taylorúª§ f(x0 + αy) = f(x0) + α∇f(x0) · y + O(α 2 ) ùpyŒ±L«‡•§α ∈ RL«,‡•c?Œ§ αyL«  lx0‡6Ä"Œ±w§XJ∇f(x0) 6= 0§·‚Œ±é‡ •y¦§∇f(x0)·y 6= 0§'XyÒ∇f(x0)ü •§@oXJα < 0§ Kf(x0 + αy) < f(x0)" XJ∇f(x) = 0§ §üêHesseÝ é¡ ½§K4:" XJF(x, y, z)´'un‡Cþx, y, z¼ê§·‚F"釼êy(x)¦  J(y) = Z 1 0 F(x, y(x), dy dx)dx 4Š"·‚Ä3©¡ëYmP C[0, 1]þŒUy(x)§¿…y(0) = y0, y(1) = y1"·‚r÷vù«>.^‡…©¡1w¼êN¡#N ¼ê8"Œ±wJ´'u¼êy(x)¼ê§·‚¡¼"by0(x) 9