概率论中最重要的定理之一,就是大数定律,它断定:若ξn为独立同分布的随机变量 序列,且EEn=4(n=1,2,…),则 注若ξn为非负的独立同分布的随机变量序列,而EEn=+∞(n=1,2,),则 →+∞,意即 vC>0→P(n≤C)-”>0 此结论可视为大数定律的推广 定义1.7如果随机变量序列ξ与随机变量ξ之间满足 E|5n-52 (1.11) 则称随机变量序列n均方收敛到随机变量ξ,记为5n一2→5 由 Chebysherⅴ不等式立刻可以得到均方收敛一定能推出依概率收敛 定义1.8如果随机变量序列ηn与随机变量η之间满足P(ηn-”-→>η)=1,即 7n→>n”是一个概率为1的事件,则称随机变量序列nn概率为1收敛到随机变量n,记 为nn—《>n.这里ae.是 almost everywhere的缩写 概率为1收敛一定可以推出概率收敛 (这个事实的证明需要用到一点测度论或实变函数的知识.其证明如下:事件{n→>n就是“任 给一>0,必存在n0只要n≥n0,就有|n-nk亠”.把它写成式子,就是 ∩∪∩n→nk}.故由P(n n)=1推出 m n =l eno P(U∩n→nk1)≥∩U∩an→nk2)=1 由此即能推出 lim P(nn-nk-)=1) 若随机变量序列E,独立同分布且期望有限,则5++5“E(m→),此结论 称为强大数定律 这个定理在非数学专业的概率论课程中,一般较少论及,主要因为”随机变量列的收5 概率论中最重要的定理之一，就是大数定律, 它断定: 若 n x 为独立同分布的随机变量 序列, 且 Exn = m (n = 1,2,L) , 则 m x x ¾® + + n p n 1 L . 注 若 n x 为 非负的独 立同分布的随机变量序列 , 而 E = +¥(n = 1,2,L) n x , 则 ¾®+¥ + + n p n x L x 1 , 意即 " > 0 Þ (x £ ) ¾ ¾®0 n®¥ C P n C . 此结论可视为大数定律的推广． 定义１．７ 如果随机变量序列 n x 与随机变量x 之间满足 | | 0 E x n - x 2® ， (1. 11) 则称随机变量序列 n x 均方收敛到随机变量x , 记为x ¾¾®x 2 L n ． 由 Chebyshev 不等式立刻可以得到均方收敛一定能推出依概率收敛. 定义１．８ 如果随机变量序列hn与随机变量h 之间满足 ( ¾ ¾® ) = 1 ®¥ h h n P n , 即 “hn ®h ” 是一个概率为 1 的事件, 则称随机变量序列hn概率为１收敛到随机变量h ，记 为 h ¾¾®h a .e. n . 这里 a.e. 是 almost everywhere 的缩写. 概率为 1 收敛一定可以推出概率收敛 (这个事实的证明需要用到一点测度论或实变函数的知识. 其证明如下: 事件{h ®h} n 就是 “任 给 0 1 > m , 必存在 n0 只 要 n ³ n0 , 就 有 m n 1 |h -h |< ”. 把它写成式子 , 就 是 } 1 {| | 0 0 1 m n m n n n ® < ¥ = ¥ = IU I h h . 故由 ( ¾ ¾® ) = 1 ®¥ h h n P n 推出 }) 1 ( {| | 0 0 1 m P n n n n ® < ¥ = ¥ = U I h h }) 1 1 ( {| | 0 0 1 ³ ® < = ¥ = ¥ = m P n m n n n IU I h h . 由此即能推出 ) 1 1 lim ®¥ (| - |< = m n P hn h ). 若随机变量序列 n x 独立同分布且期望有限, 则 ( ) 1 . . 1 ® ® ¥ + + E n n a e n x x L x ， 此结论 称为强大数定律．. 这个定理在非数学专业的概率论课程中，一般较少论及, 主要因为 ”随机变量列的收