随机变量组{15n…}称为独立,如果对任意n,{51 都是独立的 两个随机向量,n称为独立,如果VA,B→5∈A与∈B都独立,这等价于 W g= Elf(g(= ef(eg(n 设随机变量ξη独立且分别具有密度∫(x),g(x),则其和ξ+n具有密度(称为f,g的 卷积) (*g)(x)= f(r-u)g(u)du=(g*f)(x) 特别地,如果在x<0时f(x)=g(x)=0,则上面的∫*g(或g*∫的积分表示化为 (*g(x)=lf(x-u)g(u)du (1.8) 1,5 Chebyshev不等式 设占为随机变量,amr5为其方差,则有 Chebyshev不等式P(5-B)s Chebysherⅴ不等式给出了用方差来估计随机变量与它的数学期望的偏差超过某个值的概 率的上界.它的优点是不依赖随机变量的分布.但是正因为如此,它就很粗糙.例如,如果 已知ξ服从正态分布,即ξ~N(μ,a2),那么下面的上界估计就更为精确 P(5-E50)=2(1-Φ(2) 其中(x)==ed是标准正态分布N(0.)的分布函数 1,6基本极限与基本极限定理(大数定律与中心极限定理) 定义1·6如果随机变量序列ξ与随机变量ξ间满足 VE>0→P(5n-5E)->0 则称随机变量序列ξn依概率收敛到随机变量ξ,记为5n—>5·此定义的含义为,如果 忽略一个小的概率E,那么5n可以近似5 又若对于任意的分量i≤d都有5→>E,则称为 5(其中 5=(51…5),5=(51…d) 对于连续函数f(x),我们有 5P>5→f()-P>f(5)4 随机变量组{ ,... } x1 xn L 称为独立, 如果对任意 n, { ,..., } 1 n x x 都是独立的. 两个随机向量x ,h 称为独立, 如果 "A, B Þx Î A与h Î B 都独立, 这等价于 "f , g Þ E[ f (x )g(h)] = Ef (x )Eg(h). (1. 6) 设随机变量x ,h 独立且分别具有密度 f (x), g( x) , 则其和x +h 具有密度(称为 f , g 的 卷积) ò * = - = * D ( f g)(x) f (x u)g(u)du (g f )(x) . (1. 7) 特别地，如果在x < 0时 f (x) = g( x) = 0 , 则上面的 f * g （或 g * f 的积分表示化为 ò * = - D x f g x f x u g u du 0 ( )( ) ( ) ( ) . (1. 8) 1，５ Chebyshev 不等式 设x 为随机变量，Varx 为其方差，则有 Chebyshev 不等式 2 (| | ) d x x x d Var P - E ³ £ ． Chebyshev 不等式给出了用方差来估计随机变量与它的数学期望的偏差超过某个值的概 率的上界. 它的优点是不依赖随机变量的分布. 但是正因为如此, 它就很粗糙. 例如, 如果 已知x 服从正态分布，即 ~ ( , ) 2 x N m s , 那么下面的上界估计就更为精确: (| | ) 2(1 ( )) 2 s d P x - Ex ³ d = - F , 其中 ò-¥ - F = x z x e dz 2 2 1 2 1 ( ) p 是标准正态分布 N(0,1) 的分布函数. 1, ６ 基本极限与基本极限定理(大数定律与中心极限定理) 定义１．６ 如果随机变量序列 n x 与随机变量x 间满足 " > 0 Þ (| - |³ ) ¾ ¾®0 n®¥ P n e x x e ， (1. 9) 则称随机变量序列 n x 依概率收敛到随机变量x , 记为x ¾®x p n ． 此定义的含义为, 如果 忽略一个小的概率e , 那么 n x 可以近似x . 又若 对于任意的分量i £ d 都有 i n p i x ¾®x ( ) , 则称为x ¾®x p (n) （其中 ( , , ) ( ) ( ) 1 ( ) n d n n x = x L x ， ( , , ) 1 d x = x L x . 对于连续函数 f (x), 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x p n p n ¾® Þ ¾® . (1. 10)