错! ·设问:量子力学怎么表述的? Bloch定理 ·除了一个相因子外,两者相同! ·单电子受这样的周期性势场约束 因此并非一无是处!差那么一点!换个对象看 势场和其他电子 相因子 ·设问:对自由电子,是不是满足周期性势场? 单电子波励数的形式受到一定的限制远动性质 即,v(r+R=V(r)是否成立? Bloch定理 当然成立,V=0!对任何平移变换都不变 那么它的解即平面波经平移变换应为 很有意思!仅仅相差一个的相因子! w,(k, r+R=ev,k,r) ·就按这个思路,看 如何演绎 Bloch定 Bloch定理就是:当对单电子波函敷进行一个R 理只能得出这个结论 的平移变换,除了相因子世kR,其他不变 种p∥45.2413che國体学 周此工雨具体考寨法个平移操作平移算符 2、平移算符的本征值 非简并情况 (H+H)(r,{R9})=E(r,{R}) ·既然如此,除了一个相因子外,两者应诚相同 v+rr)r)=Ey,()H与对 平移算符(r+R)=(r) 易,有共 同本征解 *该方程是平移算符的本征值方程 p:r→r+R (m)=(E以)[E 本征值与格矢有关 (TRY)=E(TRW,) 们45.24132che国体是学 趣452413 binche体嚼理学 格夫满足 R,=R+R 平移算符也满足 R ·作用在波函敷上,就有 a +a ,=A1k 注意:这里a必须是实数,所以k是实数! 它们表示的是相因子,因此,可以写成 ·否则,模不等于1 注意:夫量现在还只是一常夫量因子,还未 与波失相联系 这样就有 后国会看到,它就是波矢,一个超写状态的物理量 ·于是 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 • 错！ • 设问：量子力学怎么表述的？ • 除了一个相因子外，两者相同！ • 因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看 相因子 • 设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？ * 即，V(r+R)=V(r)是否成立？ • 当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！ • 那么它的解即平面波经平移变换应为 ( ) ( ) r R (r) k r R k R k r k R ψ ψ • + • • • + = = = i i i i e e e e • 很有意思！仅仅相差一个eik*Rl的相因子！ • 就按这个思路，看F. Bloch如何演绎Bloch定 理，Bloch定理只能得出这个结论 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 Bloch定理 • 单电子受这样的周期性势场约束 * 单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子 的平均势场同时具有同样的周期性 * 单电子波函数的形式受到一定的限制Æ运动性质 • Bloch定理 * 周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢Rl 时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子 eik.R ，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有 关的相因子外都相同 (k,r R ) (k,r) k R n i n l l ψ e ψ ⋅ + = • Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R 的平移变换，除了相因子eik.R，其他不变 • 因此下面具体考察这个平移操作——平移算符 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 ) ( ,{ }) ( ,{ }) ˆ ˆ ( 0 0 el el-N J E RJ H + H Ψ r R = Ψ r [ ( )] ( ) ( ) 2 r r r −∇ +V ψ n = En ψ n 1, 1,2 1 2 e = h = m = V (r + R) =V (r) Tˆ R : r ⇒ r + R ( ) ˆ ) ˆ ( ˆTR Hψ n = TR En ψ n ) ˆ ) ( ˆ ( ˆ H TRψ n = En TRψ n En T ψ n ψ n ), ˆ :( R 平移算符 H与T对 易，有共 同本征解 2、平移算符的本征值 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 评论： * 该方程是平移算符的本征值方程 * 本征值与格矢有关 n n l l Tˆ R ψ = λ R ψ • 既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同 1 2 = Rl λ 非简并情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 格矢满足 Rl = Rm + R p • 平移算符也满足 l m p TR TR TR ˆ = ˆ ˆ ( ) l m p i i e e α α +α = l l i e α λ R ⇔ Rl Rm R p λ = λ λ • 作用在波函数上，就有 • 它们表示的是相因子，因此，可以写成 • 这样就有 • 即 α l =α m +α p http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！ * 否则，模不等于1 • 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未 与波矢相联系 * 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量 • 于是 l k Rl α = ⋅ l l i e k R R ⋅ λ = l k Rl α = ⋅ • 这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性 关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系 • 因此，可将αl 改写成对所有α相同的常矢量k 和Rl 的乘积(如果一维，很容易理解，三维Æ矢 量) ( ) k Rm + R p = ⋅ =α m +α p