复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第15讲 Bloch定理和能带概念.pdf_大学文库

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 课堂练习 • A原子构成体心立方结构，立方体边长为a，如右上图；在A原子构成的体心立方结构的面心上再加上B原子，如右下图。试： * 给出它的物理学原胞的基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢； * 对右下图所示的结构，设A和B原子的原子散射因子分别是fA和fB，试确定几何结构因子。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 • 首先判断晶胞内有两个A原子，三个B原子。根据晶胞含整数个原胞，没有更小的公约原子数，所以原胞就是晶胞 ( ) ( ) ( ) ( ) a i b j c k τ i j τ j k τ i k τ τ i j k a i b j c k ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 0, , ˆ , ˆ , ˆ 3 4 5 1 2 a a a a a a B a A a a a π π π = = = = + = + = + = = + + = = = ∗ ∗ ∗ 原子：原子： ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) i h k i k l i h k B i h k l hkl A S K f e f e e e − + + − + − + − + = + + + + π π π π 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 举例 • A原子构成正方形结构，边长为a；在A原子构成的正方形结构的边的中心，再加上B原子，如右图。 a) 给出物理学原胞基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢 b) 设A和B原子的散射因子分别是fA和fB，求其几何结构因子 c) 假定A和B原子的散射因子满足fA=fB ，即A和B原子是同种原子，讨论消光条件。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 解答 • A原子组成正方格子，晶胞内有一个A原子，两个B原子，不可能再分，晶胞就是原胞 τ τ i τ j a i b j a i b j ˆ 2 ;ˆ 2 0; ˆ 2 ,ˆ 2 ˆ ,ˆ 1 2 3 a a a a a a = = = = = = = ∗ π ∗ π ( ) ( ) ( ) = ( ) 1+ + ? = 0 = = + + − − − • − − ∑ i h i l hl i h i l A B i i hl i S f e e S f e f f e e hl i π π π π K K K τ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 举例 • 对于闪锌矿结构。试 * 确定它的物理学原胞基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢； * 不同原子的散射因子分别用合适的符号表示，求闪锌矿结构的几何结构因子； * 假定不同原子的散射因子相等，讨论所满足的消光条件。有两种原子A和B。在结构上，A和B分别构成两个面心立方结构。属于面心立方格子。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 解答 a) 原胞为面心立方结构，有两种原子A和B。原点如定在A原子上，原胞基矢、原胞内原子位矢和倒格子基矢可以是 ( ) ( ) ( ) ( ) b ( ) i j k b ( ) i j k b ( ) i j k τ i j k τ a i j a j k a k i ˆ ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 4 0 ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 1 1 1 2 1 1 2 3 = − + + = − + = + − = + + = = + = + = + a a a a B A a a a π π π 倒格子基矢原子原子原胞基矢

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 b) 这时是指晶胞。共有8个原子在晶胞内，A和 B各4个。晶胞基矢和倒格子基矢很简单，都是立方的。用晶胞基矢先写出晶胞内原子位矢，它们分别是 * A：（0, 0, 0），（0, 0.5, 0.5），（0.5, 0, 0.5），（0.5, 0.5, 0） * B：（0.25, 0.25, 0.25），（0.25, 0.75, 0.75），（0.75, 0.75, 0.25），（0.75, 0.25, 0.75）。 * 倒格矢和结构因子分别是 ∗ ∗ ∗ K = ha + kb + lc ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + = + + + + − + + − + + − + + − + + − + − + − + i h k l i h k l i h k l i h k l B i k l i h l i h k A f e e e e S f e e e 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 1 π π π π π π π K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 c) 消光条件 * fA=fB=f时，有 * 当h+k+l=4n+2时； * 当h，k和l部分为偶数，部分为奇数时 ( ) () () ( ) [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + + + − + + − + − + − + i h k l i k l i h l i h k S f e e e e 2 1 1 π π π π K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 第15讲、Bloch定理和能带概念 1. Bloch定理所要解决的问题 * 确定在周期性势场下单电子的运动性质 * 由Bloch定理规定了它的波函数所必须具有的形式 2. 平移算符的本征值 * 非简并情况 * 简并情况 3. Bloch定理的推论 * 推论一 * 推论二 4. Bloch定理带来的新概念——能带能带理论的基础 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 1、 Bloch定理所要解决的问题 • Bloch定理——固体物理学的基础 * 1928年由年仅23岁的F. Bloch证明 • Bloch思考的问题 * 由自由电子气体知道，充满离子实的金属内部对电子运动来说，竟然好象是空的！难以想象！ * 离子既然能够束缚住芯电子不得动弹，但为何惟独对价电子视而不见呢？谁动了我的离子实？ • Sommerfeld也思考过类似的问题 * 曾经因引入费米分布概念而成功解释了电子气的比热问题，还局限在这一思路上 # 真是成也费米分布，败也费米分布 • Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 周期性势场 • Bloch定理的适用范围（三个近似） 1、绝热近似；2、单电子近似；3、周期性势场近似 * 周期性为Bloch定理所必需，其他已在Schroedinger方程中，但如前两个中的任何一个不成立，周期性势场也不会成立 ( ) = −∑ ( − ) − J el N J V v 0 r r R V r R V(r) J = −∑ el−N ( − J ) = 0 晶体周期性结构 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ V (r + R) =V (r) ( + ) = −∑ ( + − ) − J J el N J J V v 0 0 ' 0 r R ' r R R http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 周期势场下单电子波函数性质的猜想 • 设问：既然周期性势场，我们自然要推测： * 周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平移周期性？ • 这看上去是很自然的，因为既然 V(r+R)=V(r)，似乎应该有 [ ( )] ( ) ( ) 2 r r r −∇r +V ψ n = En ψ n [ ( )] ( ) ( ) 2 −∇r +V r + R ψ n r + R = En ψ n r + R (r R) () r ψ n + = =ψ n ? • 两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 • 错！ • 设问：量子力学怎么表述的？ • 除了一个相因子外，两者相同！ • 因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看相因子 • 设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？ * 即，V(r+R)=V(r)是否成立？ • 当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！ • 那么它的解即平面波经平移变换应为 ( ) ( ) r R (r) k r R k R k r k R ψ ψ • + • • • + = = = i i i i e e e e • 很有意思！仅仅相差一个eik*Rl的相因子！ • 就按这个思路，看F. Bloch如何演绎Bloch定理，Bloch定理只能得出这个结论 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 Bloch定理 • 单电子受这样的周期性势场约束 * 单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子的平均势场同时具有同样的周期性 * 单电子波函数的形式受到一定的限制Æ运动性质 • Bloch定理 * 周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢Rl 时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子 eik.R ，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有关的相因子外都相同 (k,r R ) (k,r) k R n i n l l ψ e ψ ⋅ + = • Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R 的平移变换，除了相因子eik.R，其他不变 • 因此下面具体考察这个平移操作——平移算符 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 ) ( ,{ }) ( ,{ }) ˆ ˆ ( 0 0 el el-N J E RJ H + H Ψ r R = Ψ r [ ( )] ( ) ( ) 2 r r r −∇ +V ψ n = En ψ n 1, 1,2 1 2 e = h = m = V (r + R) =V (r) Tˆ R : r ⇒ r + R ( ) ˆ ) ˆ ( ˆTR Hψ n = TR En ψ n ) ˆ ) ( ˆ ( ˆ H TRψ n = En TRψ n En T ψ n ψ n ), ˆ :( R 平移算符 H与T对易，有共同本征解 2、平移算符的本征值 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 评论： * 该方程是平移算符的本征值方程 * 本征值与格矢有关 n n l l Tˆ R ψ = λ R ψ • 既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同 1 2 = Rl λ 非简并情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 格矢满足 Rl = Rm + R p • 平移算符也满足 l m p TR TR TR ˆ = ˆ ˆ ( ) l m p i i e e α α +α = l l i e α λ R ⇔ Rl Rm R p λ = λ λ • 作用在波函数上，就有 • 它们表示的是相因子，因此，可以写成 • 这样就有 • 即 α l =α m +α p http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！ * 否则，模不等于1 • 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未与波矢相联系 * 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量 • 于是 l k Rl α = ⋅ l l i e k R R ⋅ λ = l k Rl α = ⋅ • 这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系 • 因此，可将αl 改写成对所有α相同的常矢量k 和Rl 的乘积(如果一维，很容易理解，三维Æ矢量) ( ) k Rm + R p = ⋅ =α m +α p

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 简并情况 • 如果是fn度简并的，即有fn个相互正交的本征函数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合 ∑= = n l l f T n n n ' 1 ' ' ˆ υ υ υυ υ ψ λ ψ R R • 平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ fn l nf nf l nf l nf l fn l l l nf l l fn l n n n n n n n n n n n n n n n T ψ ψ ψ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ψ ψ ψ ... , ,..., ... , ,..., , ,..., ... ˆ 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 R R R R R R R R R R n n n l l T ψ λ ψ ˆ ~ ~R ~ R = 用~符号放在字母上表示矩阵 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 ( )' ~ ~ λ υ δ υυ l l l n n n R R R = Λ ⇒ Λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Λ Λ Λ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ l fn l l l fn fn l fn l fn l nf l l l fn l l n n n n n n n n n n n n R R R R R R R R R R R R 0, 0,..., ... 0, ,..., 0 , 0,..., 0 , ,..., ... , ,..., , ,..., 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ • λ矩阵也构成一个群，可由fn个相互正交的本征函数的线性组合产生新的基函数。在新的基中，λ矩阵为对角形式 • 即在新的基函数下，平移算符对本征函数作用后，有 ∑= = = Λ n l l l f T n n n n n ' 1 ' ' ˆ υ υ υ υυ υ υ υ ϕ λ ψ ϕ R R R http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 l l i n e R k⋅R Λ = υ • 就是新的基函数，而Λ是平移算符T在新的基函数下的本征值，它们的关系就与非简并的情况相同， Λ也应该只是个相因子，因此，可以写成 ϕ n • 综合非简并和简并情况，我们都有 ( ) ( ) ˆ r r k R R n i n l l T ψ e ψ ⋅ = • 就是平移算符的本征值是一个与k和格矢有关的相因子 • 这种矩阵满足与平移算符相同的乘法规则 l m p l m p T T T n n n R R R R R R λ λ λ ~ ~ ~ ˆ = ˆ ˆ ⇒ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 4、Bloch定理的表述 • 我们知道，对每一个ψ，总是存在一个常数矢量k，使ψ是平移算符TR的本征值为eik.R的本征函数 • 即平移算符的本征值也依赖于k，因此， k也是一个描写状态的量子数——后面再与波矢相联系 ( ) ( ) ˆ r r k R R n i n l l T ψ e ψ ⋅ = • 由平移算符的本征值方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 Bloch定理的数学形式 • 这样的ψn(k,r)称为Bloch函数，其描写的电子称为Bloch电子 • Bloch定理：周期性势场中运动的电子，其波函数平移格矢Rl 时，波函数增加一个eik.Rl的相因子，即 ( , ) ( , ) ˆ n n l l TR ψ k r =ψ k r + R (k,r) k R n i l e ψ ⋅ = (k,r R ) (k,r) k R n i n l l ψ e ψ ⋅ + = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 推论一 • 如果将波函数写成调幅平面波的形式，即 (k,r) (k,r) k r n i n e u ⋅ ψ = • 因为 • 所以其调幅波函数也具有同样的周期性（这是用得最多的一个推论，也有作为定理表述） (k,r) = (k,r + R) un un ( , ) ( , ) ( ) k r R k r R k r R + = + ⋅ + n i n ψ e u ( , ) ( ) k r k r R n i e u ⋅ + = (k,r R) (k,r) k R n i n ψ e ψ⋅ + = • 根据Bloch定理，有 (k,r) (k,r) k r n i n e u ⋅ ψ =

常数因子k的物理意义讨论: h波是周期性调幅的平面波!周期性站构 ·如果将调幅函数置为1,即u(k,r)=1,则中的波,都具有Boch波的形式 vn(k,r)→ehr W (k, r)=e"u,(k,r 问:调幅画数设置为1是什么含义? (k, r)=u,(k, r+R) 自由电子! ·解就是平面波! 为什么?T的本征值只与平移对称有关,与H L就是波矢! 无关,任何方程只要具有平移对称,其解就 L就是描写不状态的量子数具有这种形式常数因子k的物理意义就与波失联系起来 Boch波是调幅的平面波e",调幅函数na(kr) 具有与晶体相同的周期性种p∥45.2413che國体学政中4524l3-iche 体理学 3.设问:离子实的作用呢? 2. Bloch波告诉我们什么? 三钟正屯票出这用考如果求其模即在空间出现的几率)会得到什电子受库仑势的散射,只不过有周期性么? ·周期性调幅因子u来与离子实有关,但它除了使电子空间分布是一个周期性起伏的函数! 电子分布有起伏外,并没有阻碍电子到处出现电子为什么可以到无穷远,即自由程无限大,好 ·位相因子ck'使 Bloch波与平面波类似,在整象高子实对它没有阻碍似的? 个空间出现 ·原子的周期性排列!电子在整个晶体中不再并不局限于某个区城,而是扩展至薹个空闻1 属于个原子,属于全体原子共有对所有原子是一样的,并没有限制在哪个原子上罔期排列离子买对电子散射是相干散射,因此这 loch电子是整个空闻共有的! 样的散射不是产生电阻的机制因此可以只限定在某个原胞内解薛定事方程们45.24132che国体是学趣452413 binche体嚼理学这一推论令人相当震惊!质凝? 得出这一推论时,将波函敷写成调幅平面波推论二果任何解都可以写成调幅既然k是波失,那么,如果K是例格矢.则并不是所有解都能改写成调幅平面波的 TRvn(k+K2r)=ckk)Rvn(k+K2r) Bloch电子无电阻机制的关健是:如果电子处 ey(k+Kh r 于某一状态(n,k),这时k必须是实数写状态的物理量是实数,这样相子的模才等 a(k,r)与vn(k+Kn,r)有共同的本征值c l,才能求不衰减地传 ·虽然推论令人震惊,但这是在一定条件下经严 ·k与k+K都是描写状态的量子数格证明得到的定理,不是必需有实验验证的定 ·所以,k与k+K是两个等价状态! 律!当、且仅当三个条件中的任何一条不再成 ·因此,只需将k限制在一个包括所有不等价的k 立才能被推翻的区域第一 Brillouin区! 期动近根改要法动电子焉做电子关联和趣452413 binche物理学

5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 常数因子k的物理意义 • 问：调幅函数设置为1是什么含义？ • 自由电子！ • 解就是平面波！ * k就是波矢！ * k就是描写不同状态的量子数 • 常数因子k的物理意义就与波矢联系起来 k r k r → i ⋅ n ψ ( , ) e • 如果将调幅函数置为1，即un(k,r)=1，则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 为什么？T的本征值只与平移对称有关，与H 无关，任何方程只要具有平移对称，其解就具有这种形式 • Bloch波是调幅的平面波eik.r，调幅函数un(k,r) 具有与晶体相同的周期性 (k,r) (k,r) k r n i n e u ⋅ ψ = (k,r) = (k,r + R) n n u u 1. Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构中的波，都具有Bloch波的形式讨论： http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 2. Bloch波告诉我们什么？ • 如果求其模(即在空间出现的几率)会得到什么？ • 电子空间分布是一个周期性起伏的函数！ • 位相因子eik*r使Bloch波与平面波类似，在整个空间出现 * 并不局限于某个区域，而是扩展至整个空间！ * 对所有原子是一样的，并没有限制在哪个原子上 * Bloch电子是整个空间共有的！ • 因此可以只限定在某个原胞内解薛定鄂方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 3. 设问：离子实的作用呢？ * 与自由电子气体模型不同，现在这里的离子实并非作为均匀抹平的正电背景出现，而是V，已经考虑了电子受库仑势的散射，只不过V有周期性 * 周期性调幅因子u看来与离子实有关，但它除了使电子分布有起伏外，并没有阻碍电子到处出现 * 电子为什么可以到无穷远，即自由程无限大，好象离子实对它没有阻碍似的？ • 原子的周期性排列！电子在整个晶体中不再属于个别原子，属于全体原子共有！ * 周期排列离子实对电子散射是相干散射，因此这样的散射不是产生电阻的机制 • 这一推论令人相当震惊！质疑？ • 得出这一推论时，将波函数写成调幅平面波 * 质疑：能不能这样做？如果任何解都可以写成调幅平面波，那不是所有的解都可以在全空间不会衰减？ • 并不是所有解都能改写成调幅平面波的 • Bloch电子无电阻机制的关键是：如果电子处于某一状态(n,k)，这时k必须是实数 * 描写状态的物理量k是实数，这样相因子的模才等于1，才能永不衰减地传播 • 虽然推论令人震惊，但这是在一定条件下经严格证明得到的定理，不是必需有实验验证的定律！当、且仅当三个条件中的任何一条不再成立才能被推翻 * 绝热近似(原子核静止)、单电子近似(电子关联)和周期势场近似(原子核热运动后偏离) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 推论二 • k与k+Km都是描写状态的量子数 • 所以，k与k+Km是两个等价状态！ • 因此，只需将k限制在一个包括所有不等价的k 的区域——第一Brillouin区！ ( , ) ( , ) ( ) k K r k K r k K R R n h i n h h l l T + = e + + ⋅ ψ ψ (k K ,r) k R n h i l = e + ⋅ ψ l i n n m e k R k r k K r ⋅ ψ ( , )与ψ ( + , )有共同的本征值 • 既然k是波矢，那么，如果Kh是倒格矢。则