课堂练习 解答 A原子构成体心立方结构,立方 ·首先判断晶胞内有两个A原子,三个B原 体边长为a,如右上图;在A原子 子。根据晶胞含整数个原胞,没有更小的公 构成的体心立方结构的面心上再 约原子数,所以原胞就是晶胞 加上B原子如右下图。诚: 给出它的物理学原胞的基矢、原胞 A原子:x1=0r2=2 +j+) 子散射因子分别是和/,试 B原子:v1=+],=6+k,=(+ A原子B原子 k)=/+e+)+(e-+e)+e) 种p∥45.2413che國体学 m中∥4.4 IJ--fgcley ●A原子◎B原子 举例 解答 A原子构成正方形结构,边 ·A原子组成正方格子,晶胞内。。。。 长为a;在A原子构咸的正 有一个A原子,两个B原子,。。。 方形站构的边的中心,再加·A原子。B原子 不可能再分晶融就是原胞·。·。·o 上B原子,如右图。 a)绌出物理学原胞基矢、原胞 ●。·O·。 内原子位矢、倒格子墓矢 a=2xib·=2xj b)设A和B子的散射因子分别 c)假定A和B原子的散射因子满 T1=0,τ ●。●。 s(K)=∑e水…=f+f(m+e-) 45.24112gche园体制学 K)=f +e+e -1d)?=0 举例 解答 ·对子闪锌矿结构。试 a)原胞为面心立方站构,有两种原子A和B.原 点加定在A原于上,原胞基失、原胞内原子位 失和倒格子基失可以是 原胞基矢 足的消光条件。 面心立方格子。 倒格子基矢b=2(i计于+b2=26-于+)b,=26+j-) 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 课堂练习 • A原子构成体心立方结构，立方 体边长为a，如右上图；在A原子 构成的体心立方结构的面心上再 加上B原子，如右下图。试： * 给出它的物理学原胞的基矢、原胞 内原子位矢、倒格子基矢； * 对右下图所示的结构，设A和B原子 的原子散射因子分别是fA和fB，试 确定几何结构因子。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 • 首先判断晶胞内有两个A原子，三个B原 子。根据晶胞含整数个原胞，没有更小的公 约原子数，所以原胞就是晶胞 ( ) ( ) ( ) ( ) a i b j c k τ i j τ j k τ i k τ τ i j k a i b j c k ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 0, , ˆ , ˆ , ˆ 3 4 5 1 2 a a a a a a B a A a a a π π π = = = = + = + = + = = + + = = = ∗ ∗ ∗ 原子： 原子： ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) i h k i k l i h k B i h k l hkl A S K f e f e e e − + + − + − + − + = + + + + π π π π 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 举例 • A原子构成正方形结构，边 长为a；在A原子构成的正 方形结构的边的中心，再加 上B原子，如右图。 a) 给出物理学原胞基矢、原胞 内原子位矢、倒格子基矢 b) 设A和B原子的散射因子分别 是fA和fB，求其几何结构因子 c) 假定A和B原子的散射因子满 足fA=fB ，即A和B原子是同种 原子，讨论消光条件。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 解答 • A原子组成正方格子，晶胞内 有一个A原子，两个B原子， 不可能再分，晶胞就是原胞 τ τ i τ j a i b j a i b j ˆ 2 ;ˆ 2 0; ˆ 2 ,ˆ 2 ˆ ,ˆ 1 2 3 a a a a a a = = = = = = = ∗ π ∗ π ( ) ( ) ( ) = ( ) 1+ + ? = 0 = = + + − − − • − − ∑ i h i l hl i h i l A B i i hl i S f e e S f e f f e e hl i π π π π K K K τ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 举例 • 对于闪锌矿结构。试 * 确定它的物理学原胞 基矢、原胞内原子位 矢、倒格子基矢； * 不同原子的散射因子 分别用合适的符号表 示，求闪锌矿结构的 几何结构因子； * 假定不同原子的散射 因子相等，讨论所满 足的消光条件。 有两种原子A和B。在结构 上，A和B分别构成两个面 心立方结构。 属于面心立方格子。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 解答 a) 原胞为面心立方结构，有两种原子A和B。原 点如定在A原子上，原胞基矢、原胞内原子位 矢和倒格子基矢可以是 ( ) ( ) ( ) ( ) b ( ) i j k b ( ) i j k b ( ) i j k τ i j k τ a i j a j k a k i ˆ ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 4 0 ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ 2 1 1 1 2 1 1 2 3 = − + + = − + = + − = + + = = + = + = + a a a a B A a a a π π π 倒格子基矢 原子 原子 原胞基矢
b)这时是 共有8个原子在晶胞内,A和 胞基夫和倒格子基夫很简单,都 是立方 晶胞基失先写出晶胞内原子位 失,它们分别是 c)消光条件 B:(0.25,0.25,0.25),(0.25,0.75,0.75), 币+c++e-1+2 倒格矢和结构因了分别是 当h+k+=和m+2时 K=ha·+kb"+lc 当,A和部分为偶数 k)=+e-+-+-+ 种p∥45.2413che國体学 体理学 第15讲、 Bloch定理和能带概念 l、 Bloch定理所要解决的问题 1. Bloch定理所要解决的问题 确定在周期性势场下单电子的运动性质 · Bloch定理—囿体物理学的基础 数所助须具有的形式 1928年由年仅23岁的 F. Bloch证明 平移算符的本征值 Boch思考的问题 简并情况 但为何惟独 3.Boch定理的推论 宽电答覆能 Sommerfeld也思考过类似的问题 推论二 布概念而成功解释了电子气的比 4. Bloch定理带来的新概念—能带 #真是成也费米分布,败也费米分布 能带理论的基础 Bloch摘到了果子—周期性势场中电子适动 45.2412gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 周期性势场 「晶体周期性结构 周期势场下单电子波函数性质的猜想 · Bloch定理的适用 R9=R9+R9 设问:既然周期性势场,我们自然要推测 范围(三个近似) l、绝热近似;2、单 v(r) ·这看上去是很自然的,因为朊然 期性势场近似v(r+R)=-∑”+R-R9 Ⅴ(r+R)=Ⅴ(r),似乎应该有 周期性为 Bloch定 I-V+v(r)lw (r)=E,y,(r) I-V+V(r+ Rly (r+r)=E,w,(r+r) 两个哈密顿相等,它们的解是否也应诚相等? (r+R)=l(r) +R)=? yn 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 b) 这时是指晶胞。共有8个原子在晶胞内，A和 B各4个。晶胞基矢和倒格子基矢很简单，都 是立方的。用晶胞基矢先写出晶胞内原子位 矢，它们分别是 * A：（0, 0, 0），（0, 0.5, 0.5），（0.5, 0, 0.5）， （0.5, 0.5, 0） * B：（0.25, 0.25, 0.25），（0.25, 0.75, 0.75）， （0.75, 0.75, 0.25），（0.75, 0.25, 0.75）。 * 倒格矢和结构因子分别是 ∗ ∗ ∗ K = ha + kb + lc ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + = + + + + − + + − + + − + + − + + − + − + − + i h k l i h k l i h k l i h k l B i k l i h l i h k A f e e e e S f e e e 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 1 π π π π π π π K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 c) 消光条件 * fA=fB=f时，有 * 当h+k+l=4n+2时； * 当h，k和l部分为偶数，部分为奇数时 ( ) () () ( ) [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + + + − + + − + − + − + i h k l i k l i h l i h k S f e e e e 2 1 1 π π π π K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 第15讲、Bloch定理和能带概念 1. Bloch定理所要解决的问题 * 确定在周期性势场下单电子的运动性质 * 由Bloch定理规定了它的波函数所必须具有的形式 2. 平移算符的本征值 * 非简并情况 * 简并情况 3. Bloch定理的推论 * 推论一 * 推论二 4. Bloch定理带来的新概念——能带 能带理论的基础 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 1、 Bloch定理所要解决的问题 • Bloch定理——固体物理学的基础 * 1928年由年仅23岁的F. Bloch证明 • Bloch思考的问题 * 由自由电子气体知道，充满离子实的金属内部对电 子运动来说，竟然好象是空的！难以想象！ * 离子既然能够束缚住芯电子不得动弹，但为何惟独 对价电子视而不见呢？谁动了我的离子实？ • Sommerfeld也思考过类似的问题 * 曾经因引入费米分布概念而成功解释了电子气的比 热问题，还局限在这一思路上 # 真是成也费米分布，败也费米分布 • Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 周期性势场 • Bloch定理的适用 范围（三个近似） 1、绝热近似；2、单 电子近似；3、周 期性势场近似 * 周期性为Bloch定 理所必需，其他已 在Schroedinger方 程中，但如前两个 中的任何一个不成 立，周期性势场也 不会成立 ( ) = −∑ ( − ) − J el N J V v 0 r r R V r R V(r) J = −∑ el−N ( − J ) = 0 晶体周期性结构 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ V (r + R) =V (r) ( + ) = −∑ ( + − ) − J J el N J J V v 0 0 ' 0 r R ' r R R http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 周期势场下单电子波函数性质的猜想 • 设问：既然周期性势场，我们自然要推测： * 周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平 移周期性？ • 这看上去是很自然的，因为既然 V(r+R)=V(r)，似乎应该有 [ ( )] ( ) ( ) 2 r r r −∇r +V ψ n = En ψ n [ ( )] ( ) ( ) 2 −∇r +V r + R ψ n r + R = En ψ n r + R (r R) () r ψ n + = =ψ n ? • 两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？
错! ·设问:量子力学怎么表述的? Bloch定理 ·除了一个相因子外,两者相同! ·单电子受这样的周期性势场约束 因此并非一无是处!差那么一点!换个对象看 势场和其他电子 相因子 ·设问:对自由电子,是不是满足周期性势场? 单电子波励数的形式受到一定的限制远动性质 即,v(r+R=V(r)是否成立? Bloch定理 当然成立,V=0!对任何平移变换都不变 那么它的解即平面波经平移变换应为 很有意思!仅仅相差一个的相因子! w,(k, r+R=ev,k,r) ·就按这个思路,看 如何演绎 Bloch定 Bloch定理就是:当对单电子波函敷进行一个R 理只能得出这个结论 的平移变换,除了相因子世kR,其他不变 种p∥45.2413che國体学 周此工雨具体考寨法个平移操作平移算符 2、平移算符的本征值 非简并情况 (H+H)(r,{R9})=E(r,{R}) ·既然如此,除了一个相因子外,两者应诚相同 v+rr)r)=Ey,()H与对 平移算符(r+R)=(r) 易,有共 同本征解 *该方程是平移算符的本征值方程 p:r→r+R (m)=(E以)[E 本征值与格矢有关 (TRY)=E(TRW,) 们45.24132che国体是学 趣452413 binche体嚼理学 格夫满足 R,=R+R 平移算符也满足 R ·作用在波函敷上,就有 a +a ,=A1k 注意:这里a必须是实数,所以k是实数! 它们表示的是相因子,因此,可以写成 ·否则,模不等于1 注意:夫量现在还只是一常夫量因子,还未 与波失相联系 这样就有 后国会看到,它就是波矢,一个超写状态的物理量 ·于是 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 • 错！ • 设问：量子力学怎么表述的？ • 除了一个相因子外，两者相同！ • 因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看 相因子 • 设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？ * 即，V(r+R)=V(r)是否成立？ • 当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！ • 那么它的解即平面波经平移变换应为 ( ) ( ) r R (r) k r R k R k r k R ψ ψ • + • • • + = = = i i i i e e e e • 很有意思！仅仅相差一个eik*Rl的相因子！ • 就按这个思路，看F. Bloch如何演绎Bloch定 理，Bloch定理只能得出这个结论 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 Bloch定理 • 单电子受这样的周期性势场约束 * 单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子 的平均势场同时具有同样的周期性 * 单电子波函数的形式受到一定的限制Æ运动性质 • Bloch定理 * 周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢Rl 时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子 eik.R ，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有 关的相因子外都相同 (k,r R ) (k,r) k R n i n l l ψ e ψ ⋅ + = • Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R 的平移变换，除了相因子eik.R，其他不变 • 因此下面具体考察这个平移操作——平移算符 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 ) ( ,{ }) ( ,{ }) ˆ ˆ ( 0 0 el el-N J E RJ H + H Ψ r R = Ψ r [ ( )] ( ) ( ) 2 r r r −∇ +V ψ n = En ψ n 1, 1,2 1 2 e = h = m = V (r + R) =V (r) Tˆ R : r ⇒ r + R ( ) ˆ ) ˆ ( ˆTR Hψ n = TR En ψ n ) ˆ ) ( ˆ ( ˆ H TRψ n = En TRψ n En T ψ n ψ n ), ˆ :( R 平移算符 H与T对 易，有共 同本征解 2、平移算符的本征值 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 评论： * 该方程是平移算符的本征值方程 * 本征值与格矢有关 n n l l Tˆ R ψ = λ R ψ • 既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同 1 2 = Rl λ 非简并情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 格矢满足 Rl = Rm + R p • 平移算符也满足 l m p TR TR TR ˆ = ˆ ˆ ( ) l m p i i e e α α +α = l l i e α λ R ⇔ Rl Rm R p λ = λ λ • 作用在波函数上，就有 • 它们表示的是相因子，因此，可以写成 • 这样就有 • 即 α l =α m +α p http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！ * 否则，模不等于1 • 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未 与波矢相联系 * 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量 • 于是 l k Rl α = ⋅ l l i e k R R ⋅ λ = l k Rl α = ⋅ • 这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性 关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系 • 因此，可将αl 改写成对所有α相同的常矢量k 和Rl 的乘积(如果一维，很容易理解，三维Æ矢 量) ( ) k Rm + R p = ⋅ =α m +α p
λ矩阵也构成一个群,可由个相互正交的本 简并情况 征函数的线性蛆合产生新的基画数。在新的基 ·如果是度简并的,即有个相互正交的本征画 中,λ矩阵为对角形式 A 数属于同一本征值,可以写成它们的线性组合 ·平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示 , ,,…, TU,=Amy 用符号放在字 即在新的基函数下,平移算符对本征函敷作用 母上表示矩阵 后,有 =空戏以=A以 种p∥45.2413che國体学 政中4524Em n就是新的基函敷,而A是平移算符T在断的 基函教下的本征值,它们的关系就与非简并的 4、 Bloch定理的表述 情况相同,A也应诚只是个相因子,因此, 以写成 ·由平移算符的本征值方程 这种矩阵满足与平移算符相同的乘法规则 TRU(r)=e"v,(r) =T,→A= ·我们知道,对每一个中,总是存在一个常数矢 量k,使中是平移算符TR的本征值为euR的本征 函数 综合非简并和简并情况,我们都有 ·即平移算符的本征值也俄赖于k,因此,k也是 TRU(r)=ey(r) 一个描写状态的量子数—后面再与波失相联 ·就是平移算符的本征值是一个与k和格失有关 的相因子 45.2412gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 Bloch定理的数学形式 推论一 TRV,(k, r)=v(k,r+R,) 果将波函数写成调幅平面波的形式,即 k,r) w (k, r)=e u,(k,r) 样的中kr)称为 Bloch函数,其描写的电于 ·因为vn(kr+R)=ean(k,r+R) 称为Boch电子 ·根据Boch定理,有 · Bloch定理:周期性势场中运动的电子 波 y (k, r+R)=e"y(k, r) 画敷平移格R时,波函数增加一个R的相 eu,(k,r) 因子,即 所以其调幅波函数也具有同样的周期性(这是 y, (k, r+R=ely. (k, r) 用得最多的一个推论,也有作为定理表述) 种45.2413yche是学 趣452413 binche/物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 简并情况 • 如果是fn度简并的，即有fn个相互正交的本征函 数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合 ∑= = n l l f T n n n ' 1 ' ' ˆ υ υ υυ υ ψ λ ψ R R • 平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ fn l nf nf l nf l nf l fn l l l nf l l fn l n n n n n n n n n n n n n n n T ψ ψ ψ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ψ ψ ψ ... , ,..., ... , ,..., , ,..., ... ˆ 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 R R R R R R R R R R n n n l l T ψ λ ψ ˆ ~ ~R ~ R = 用~符号放在字 母上表示矩阵 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 ( )' ~ ~ λ υ δ υυ l l l n n n R R R = Λ ⇒ Λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Λ Λ Λ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ l fn l l l fn fn l fn l fn l nf l l l fn l l n n n n n n n n n n n n R R R R R R R R R R R R 0, 0,..., ... 0, ,..., 0 , 0,..., 0 , ,..., ... , ,..., , ,..., 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ • λ矩阵也构成一个群，可由fn个相互正交的本 征函数的线性组合产生新的基函数。在新的基 中，λ矩阵为对角形式 • 即在新的基函数下，平移算符对本征函数作用 后，有 ∑= = = Λ n l l l f T n n n n n ' 1 ' ' ˆ υ υ υ υυ υ υ υ ϕ λ ψ ϕ R R R http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 l l i n e R k⋅R Λ = υ • 就是新的基函数，而Λ是平移算符T在新的 基函数下的本征值，它们的关系就与非简并的 情况相同， Λ也应该只是个相因子，因此，可 以写成 ϕ n • 综合非简并和简并情况，我们都有 ( ) ( ) ˆ r r k R R n i n l l T ψ e ψ ⋅ = • 就是平移算符的本征值是一个与k和格矢有关 的相因子 • 这种矩阵满足与平移算符相同的乘法规则 l m p l m p T T T n n n R R R R R R λ λ λ ~ ~ ~ ˆ = ˆ ˆ ⇒ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 4、Bloch定理的表述 • 我们知道，对每一个ψ，总是存在一个常数矢 量k，使ψ是平移算符TR的本征值为eik.R的本征 函数 • 即平移算符的本征值也依赖于k，因此， k也是 一个描写状态的量子数——后面再与波矢相联 系 ( ) ( ) ˆ r r k R R n i n l l T ψ e ψ ⋅ = • 由平移算符的本征值方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 Bloch定理的数学形式 • 这样的ψn(k,r)称为Bloch函数，其描写的电子 称为Bloch电子 • Bloch定理：周期性势场中运动的电子，其波 函数平移格矢Rl 时，波函数增加一个eik.Rl的相 因子，即 ( , ) ( , ) ˆ n n l l TR ψ k r =ψ k r + R (k,r) k R n i l e ψ ⋅ = (k,r R ) (k,r) k R n i n l l ψ e ψ ⋅ + = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 推论一 • 如果将波函数写成调幅平面波的形式，即 (k,r) (k,r) k r n i n e u ⋅ ψ = • 因为 • 所以其调幅波函数也具有同样的周期性（这是 用得最多的一个推论，也有作为定理表述） (k,r) = (k,r + R) un un ( , ) ( , ) ( ) k r R k r R k r R + = + ⋅ + n i n ψ e u ( , ) ( ) k r k r R n i e u ⋅ + = (k,r R) (k,r) k R n i n ψ e ψ⋅ + = • 根据Bloch定理，有 (k,r) (k,r) k r n i n e u ⋅ ψ =
常数因子k的物理意义 讨论: h波是周期性调幅的平面波!周期性站构 ·如果将调幅函数置为1,即u(k,r)=1,则 中的波,都具有Boch波的形式 vn(k,r)→ehr W (k, r)=e"u,(k,r 问:调幅画数设置为1是什么含义? (k, r)=u,(k, r+R) 自由电子! ·解就是平面波! 为什么?T的本征值只与平移对称有关,与H L就是波矢! 无关,任何方程只要具有平移对称,其解就 L就是描写不状态的量子数 具有这种形式 常数因子k的物理意义就与波失联系起来 Boch波是调幅的平面波e",调幅函数na(kr) 具有与晶体相同的周期性 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 3.设问:离子实的作用呢? 2. Bloch波告诉我们什么? 三钟正屯票出这用考 如果求其模即在空间出现的几率)会得到什 电子受库仑势的散射,只不过有周期性 么? ·周期性调幅因子u来与离子实有关,但它除了使 电子空间分布是一个周期性起伏的函数! 电子分布有起伏外,并没有阻碍电子到处出现 电子为什么可以到无穷远,即自由程无限大,好 ·位相因子ck'使 Bloch波与平面波类似,在整 象高子实对它没有阻碍似的? 个空间出现 ·原子的周期性排列!电子在整个晶体中不再 并不局限于某个区城,而是扩展至薹个空闻1 属于个原子,属于全体原子共有 对所有原子是一样的,并没有限制在哪个原子上 罔期排列离子买对电子散射是相干散射,因此这 loch电子是整个空闻共有的! 样的散射不是产生电阻的机制 因此可以只限定在某个原胞内解薛定事方程 们45.24132che国体是学 趣452413 binche体嚼理学 这一推论令人相当震惊!质凝? 得出这一推论时,将波函敷写成调幅平面波 推论二 果任何解都可以写成调幅 既然k是波失,那么,如果K是例格矢.则 并不是所有解都能改写成调幅平面波的 TRvn(k+K2r)=ckk)Rvn(k+K2r) Bloch电子无电阻机制的关健是:如果电子处 ey(k+Kh r 于某一状态(n,k),这时k必须是实数 写状态的物理量是实数,这样相子的模才等 a(k,r)与vn(k+Kn,r)有共同的本征值c l,才能求不衰减地传 ·虽然推论令人震惊,但这是在一定条件下经严 ·k与k+K都是描写状态的量子数 格证明得到的定理,不是必需有实验验证的定 ·所以,k与k+K是两个等价状态! 律!当、且仅当三个条件中的任何一条不再成 ·因此,只需将k限制在一个包括所有不等价的k 立才能被推翻 的区域第一 Brillouin区! 期动近根改要法动电子焉做电子关联和 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 常数因子k的物理意义 • 问：调幅函数设置为1是什么含义？ • 自由电子！ • 解就是平面波！ * k就是波矢！ * k就是描写不同状态的量子数 • 常数因子k的物理意义就与波矢联系起来 k r k r → i ⋅ n ψ ( , ) e • 如果将调幅函数置为1，即un(k,r)=1，则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 为什么？T的本征值只与平移对称有关，与H 无关，任何方程只要具有平移对称，其解就 具有这种形式 • Bloch波是调幅的平面波eik.r，调幅函数un(k,r) 具有与晶体相同的周期性 (k,r) (k,r) k r n i n e u ⋅ ψ = (k,r) = (k,r + R) n n u u 1. Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构 中的波，都具有Bloch波的形式 讨论： http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 2. Bloch波告诉我们什么？ • 如果求其模(即在空间出现的几率)会得到什 么？ • 电子空间分布是一个周期性起伏的函数！ • 位相因子eik*r使Bloch波与平面波类似，在整 个空间出现 * 并不局限于某个区域，而是扩展至整个空间！ * 对所有原子是一样的，并没有限制在哪个原子上 * Bloch电子是整个空间共有的！ • 因此可以只限定在某个原胞内解薛定鄂方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 3. 设问：离子实的作用呢？ * 与自由电子气体模型不同，现在这里的离子实并 非作为均匀抹平的正电背景出现，而是V，已经考 虑了电子受库仑势的散射，只不过V有周期性 * 周期性调幅因子u看来与离子实有关，但它除了使 电子分布有起伏外，并没有阻碍电子到处出现 * 电子为什么可以到无穷远，即自由程无限大，好 象离子实对它没有阻碍似的？ • 原子的周期性排列！电子在整个晶体中不再 属于个别原子，属于全体原子共有！ * 周期排列离子实对电子散射是相干散射，因此这 样的散射不是产生电阻的机制 • 这一推论令人相当震惊！质疑？ • 得出这一推论时，将波函数写成调幅平面波 * 质疑：能不能这样做？如果任何解都可以写成调幅 平面波，那不是所有的解都可以在全空间不会衰 减？ • 并不是所有解都能改写成调幅平面波的 • Bloch电子无电阻机制的关键是：如果电子处 于某一状态(n,k)，这时k必须是实数 * 描写状态的物理量k是实数，这样相因子的模才等 于1，才能永不衰减地传播 • 虽然推论令人震惊，但这是在一定条件下经严 格证明得到的定理，不是必需有实验验证的定 律！当、且仅当三个条件中的任何一条不再成 立才能被推翻 * 绝热近似(原子核静止)、单电子近似(电子关联)和周 期势场近似(原子核热运动后偏离) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 推论二 • k与k+Km都是描写状态的量子数 • 所以，k与k+Km是两个等价状态！ • 因此，只需将k限制在一个包括所有不等价的k 的区域——第一Brillouin区！ ( , ) ( , ) ( ) k K r k K r k K R R n h i n h h l l T + = e + + ⋅ ψ ψ (k K ,r) k R n h i l = e + ⋅ ψ l i n n m e k R k r k K r ⋅ ψ ( , )与ψ ( + , )有共同的本征值 • 既然k是波矢，那么，如果Kh是倒格矢。则
4、 Bloch定理带来的新概念能带 连续分布的能级形成能带En(k) 由推论二,在倒空间可以把问题限制在第 由于E(k)是k的周期函数,必然有上、下界, Brillouin区范国内,即 使得一个n的不同k的所有能级在一个能量范围 W, (k, r)=y, (k+km,r 内,形咸连续的分布 to Hy ( k, r)=E (k)y (k, r) E(k)是一个k连续的函数,称 为能 带结构,也称色散关系 得到En(k)=En(k+K) 对每一个k,有一系列分裂的能级E(k),n=1, 什么意思? 2,3,,就是一条条能带 Ea(k)是K的周期画敷!K是倒格失 种p∥45.2413che國体学 体理学 本讲要点 概念要点 Boch定理:描写周期性势场中单电子的性质 Bloch波, Bloch电子 Bloch电子 罔期性结构中的波都具有 Bloch波的形式 能带 电于共有化运动 平面波部分描写整个晶体的共有运动 调幅部分写原胞内的远动限制在原肥内 *K+与k等价,K是倒格矢—限制在第一布里渊区 能带概念 能量与波矢之间的关系 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 思考问题 习题 ·平移算符是否满足=1T 1.一维周期性势场中电子的波函数应当满足 Boch定理。若晶格常数为a,电子的波函数 为为 v(x)=∑f(x-la) 求电子在这些状态的波失 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 4、Bloch定理带来的新概念——能带 • 什么意思？ • En(k)是Kh的周期函数！Kh是倒格矢 • 由推论二，在倒空间可以把问题限制在第一 Brillouin区范围内，即 (k,r) (k K ,r) ψ n =ψ n + h • 由 ( , ) ( ) ( , ) ˆ H k r k k r ψ n = En ψ n • 得到 ( ) ( ) En k = En k + Kh http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 连续分布的能级形成能带 • 由于En(k)是k的周期函数，必然有上、下界， 使得一个n的不同k的所有能级在一个能量范围 内，形成连续的分布 • 即对每一个n，En(k)是一个k连续的函数，称 为能带——能带结构，也称色散关系 • 对每一个k，有一系列分裂的能级En(k)，n=1, 2, 3, …，就是一条条能带 (k) En http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 本讲要点 • Bloch定理：描写周期性势场中单电子的性质 * Bloch波，Bloch电子 * 周期性结构中的波都具有Bloch波的形式 • 电子共有化运动 * 平面波部分描写整个晶体的共有运动 * 调幅部分描写原胞内的运动——限制在原胞内 * K+k与k等价，K是倒格矢——限制在第一布里渊区 • 能带概念 * 能量与波矢之间的关系 * 一些能带性质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 概念要点 • Bloch波 • Bloch电子 • 能带 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 思考问题 • 平移算符是否满足 l m p TR TR TR ˆ = ˆ ˆ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 习题 1. 一维周期性势场中电子的波函数应当满足 Bloch定理。若晶格常数为a，电子的波函数 为为 试求电子在这些状态的波矢。 ∑ ( ) ∞ =−∞ = − = = l k k k x f x la x a x i x a x ( ) 3 ( ) cos ( ) sin ψ π ψ π ψ
第二章补充习题 右图的二维晶体结构 原子处于正六边形角上(边··。·◆ 长为a),B原子处于正六·o·· 边形中心 和,动分·· A原子oB原子 c)如果(唏,讨论它所鸿足的 种p∥45.2413che國体学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 第二章补充习题 • 如右图的二维晶体结构，A 原子处于正六边形角上（边 长为a），B原子处于正六 边形中心。 a) 确定它的物理学原胞基矢、 原胞内原子位矢、倒格子基 矢 b) 假定A和B原子的散射因子分 别是fA和fB ，求它的结构因 子，讨论它所满足的消光条 件 c) 如果fA=fB，讨论它所满足的 消光条件
