复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第30讲输运理论.pdf_大学文库

第30讲、输运理论 1、概述 1.概述非均匀体系:温度、密度、电势等不均匀 2. Boltzmann方程将引起量、粒子数、电荷的输运—输运现象非平衡过程和非平衡分布的数非平衡分布的数的 Boltzmann方程 =-DVn 3.电子一声子相互作用 J =-OVo=dE 4.弛豫时间与散射矩阵 5.金属电导率宏观唯象系数如热导系教、扩散系教、电导系数输运的原因是不均—宏观强度量的不均匀的核心是破撞过唯象系数将仅种p∥45.2413che國体学政中4524l3-iche 体理学回到金属电导率问题电阻机制电子受晶体原子散射 ·回顾 ·问:电导率与温度有关意味着什么? 不考虑具体结构,均匀正电背景自 ·热运动!与晶格振动有关! 考惑原子核运动时忽略电子的运动理想晶体中运动的电子没有被散射的机制电子是Boch波,稳定态,无散射机制,求不衰减 ·周期性势场(能带理电子受晶体中原子散射电子没有散射机制电导率无限大→与实验不符面,以及 ·实验事实电导率随温度变化 ·周期性势场的相干性被破坏,电子受散射电阻极低温下也有电阻(剩余电阻) 现在只考虑晶体原子热适动所引起的散射可能的解释其他引起理想周期性破缺的描写比较复杂 Bloch定理的前提,周期性势场假定不成立电子受晶格的散射→电子与声子相互作用 ·声子就是晶格热振动能量子,周期性隐含其中 45.24112gche园体制学电子声子相互作用图象处理问题框架 ·只考虑电子一声子相互作用,电子面对的不是静问:如何考虑散射导致的电阻? 止晶格等,都在与声子相互作用中考虑 ·电阻就是声子与电子的相互作用的散射机制体要典处通问题方法相继恃承成幅完这是种非平衡过程,如何处理? ·输运过程归结为对电子分布函数的影响电于散射:电子从外场中吸收能量,受声子散 ·考虑受晶格散射后电子分布励数的变化 ·分布的数随时间的变化滿足 Boltzmann方程发是格振动一一声子 Boltzmann方程中碰撞项太复杂→弛豫时闻近似问:如何描写晶格散射与弛豫时间的关系当然也可以反过来,电子从晶格中吸收能量 ·绝热近似加微扰这样,达到平衡时,形成非零的稳定电流弛豫时闻与温度的关系,得到电阻与湿度的关系外场的作用仍用半经典处理 http:Ia45].132ichey 是学种p4524.13- fache回体物理

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第30讲、输运理论 1. 概述 2. Boltzmann方程 * 非平衡过程和非平衡分布函数 * 非平衡分布函数的Boltzmann方程 3. 电子—声子相互作用 4. 弛豫时间与散射矩阵 5. 金属电导率 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、概述 • 非均匀体系：温度、密度、电势等不均匀 * 将引起能量、粒子数、电荷的输运——输运现象 • 宏观唯象系数如热导系数、扩散系数、电导系数与微观性质的联系 * 输运的原因是不均匀——宏观强度量的不均匀 * 输运的核心是碰撞过程——否则，这些唯象系数将仅仅依赖于品两端相应的强度量差，而不是它们的梯度 J E J J σ ϕ σ κ = − ∇ = = − ∇ = − ∇ e n u D n T http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 回到金属电导率问题 • 回顾 * 不考虑具体结构，均匀正电背景——自由电子 * 电子运动时原子核固定在平衡位置——能带理论 * 考虑原子核运动时忽略电子的运动——晶格振动 • 周期性势场(能带理论) * 电子没有散射机制Æ电导率无限大Æ与实验不符 • 实验事实 * 电导率随温度变化 * 极低温下也有电阻（剩余电阻） • 可能的解释 * Bloch定理的前提，周期性势场假定不成立？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 电阻机制——电子受晶体原子散射 • 问：电导率与温度有关意味着什么？ • 热运动！与晶格振动有关！ • 理想晶体中运动的电子没有被散射的机制 * 电子是Bloch波，稳定态，无散射机制，永不衰减 • 电子受晶体中原子散射 * 实际晶体总是不完整的：杂质、缺陷、表面，以及晶体中原子的热运动，会偏离周期性势场 * 周期性势场的相干性被破坏，电子受散射Æ电阻 • 现在只考虑晶体原子热运动所引起的散射 * 其他引起理想周期性破缺的描写比较复杂 * 电子受晶格的散射Æ电子与声子相互作用 • 声子就是晶格热振动能量子，周期性隐含其中 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 电子—声子相互作用图象 • 只考虑电子—声子相互作用，电子面对的不是静止晶格等，都在与声子相互作用中考虑 • 电阻就是声子与电子的相互作用的散射机制 * 固体物理学典型处理问题方法相继传承、构成一幅完整的图象 • 电子散射：电子从外场中吸收能量，受声子散射——与声子（晶格）交换能量 * 与晶格相互作用，激发晶格振动——声子 * 电子通过这种形式，将能量传递给声子 * 当然也可以反过来，电子从晶格中吸收能量 * 这样，达到平衡时，形成非零的稳定电流 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 处理问题框架 • 问：如何考虑散射导致的电阻？ * 电子如受声子的散射，或在外场作用下，电子的状态会发生变化，注意，已经脱离原子的周期性排列 * 这是一种非平衡过程，如何处理？ • 输运过程归结为对电子分布函数的影响 * 考虑受晶格散射后电子分布函数的变化 * 分布函数随时间的变化满足Boltzmann方程 * Boltzmann方程中碰撞项太复杂Æ弛豫时间近似Æ • 问：如何描写晶格散射与弛豫时间的关系 • 绝热近似加微扰 * 弛豫时间与温度的关系，得到电阻与温度的关系 • 外场的作用仍用半经典处理

2、 Boltzmann方程若分布函数不受外电场影响,电流为零出发点:散射对电子分布的影响考虑能带结构和电子的分布函数,电导应为分布函数F时刻,在第n能带中,在(r,k)相空间附近单位体积内电子数已经假定系统可以用单粒子Bch回数定态描写如果分布函数/不受外电场的影响,即仍是平衡态分布,后,那么由能带的反演对称性,即热平衡状态下,体系均匀,分布与r无关,电于系 E(k=E(-k,可得,f(k=f(k,D 统的分布是Ferm份布此外,由速度与能带关系,可得速度是关于k是反对称的,即v(k)=V(k),因此,如果分布函数不受外电场影响,电流为零 ay小wMA=0 种p∥45.2413che國体学种中4524132 非平衡分布函数非平衡分布函数满足的关系显然对子非平衡分布, ·偏高平衡态时,非平衡分布函数∫随空间位置r f(k,T)≠f(+k,r) 和时间t的变化而变化 ·不再是k的对称函敷,如果假定外电场不影响能带如果不考虑碰撞,则结构,则速度k的关系不变,仍是,v(k=v(-k) f(r, k,i)=f(r-idi, k-kdt, t-dt) 3.2)vk)/k2≠0 ·即t时刻(r,k)处的电子来自前一1d时, 电于在外场下偏高平衡态,这时即使撒高电场, ·如考虑碰,则加上一项碰撞项,即在其他地也不会自动恢复平衡经碰撞后到(r,k)处散射→平衡态:电子受到散射,使电子失去外电场中获得的定向适动,重新获得平衡 f(r,k,)=f(r-id, k-kdu, l-dr)+ hrp的a45.2432/che 是学趣452413 binche体嚼理学 ·前式展开,只保留对t一次导敷项,得近看Bolt 方程 g+.yk.92(9 tk ak( ar 对稳态,第一项为零,得 ·而稳定电流时,ddr为零;而 .9+k.9(9 a(k)Fal ·这就是 Boltzmann方程即电子波夫的时间变化率与外场和能带结构有关左边是派移项,即两次碰之间的动力学规律所确 L用半经典的理论框架来处理本质多粒子问题,虽有局限,但还是右边是碰撞项,即使系统从非平衡趋于平衡,是不半导体中的输运问题 ·解 Boltzmann方程的困难在于碰撞项种45.2413yche是学趣452413 binche物理学

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 2、Boltzmann方程 • 出发点：散射对电子分布的影响 Æ分布函数满足的Boltzmann方程 • 分布函数f：t时刻，在第n能带中，在 (r,k)相空间附近单位体积内电子数 * 已经假定系统可以用单粒子Bloch函数定态描写 • 热平衡状态下，体系均匀，分布与r无关，电子系统的分布是Fermi分布 [ ] ( ) ( ) ( ) 1 1 0 + = E −EF kBT e f E k / k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 若分布函数f不受外电场影响，电流为零 • 考虑能带结构和电子的分布函数，电导应为 ( ) ()() ∫ = − 3 3 2 2 J v k f k dk e e π ( ) () () 0 2 2 3 = − 3 0 ≡ ∫ J v k f k dk e e π • 如果分布函数f不受外电场的影响，即仍是平衡态分布，f0，那么由能带的反演对称性，即 * E(k)=E(-k)，可得， f0(k, T)= f0(-k, T) • 此外，由速度与能带关系，可得速度是关于k是反对称的，即v(k)=-v(-k)，因此，如果分布函数f0不受外电场影响，电流为零 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 非平衡分布函数 • 显然对于非平衡分布， f (k,T ) ≠ f (− k,T ) ( ) ()() 0 2 2 3 3 = − ≠ ∫ J v k f k dk e e π • 不再是k的对称函数，如果假定外电场不影响能带结构，则速度k的关系不变，仍是， v(k)=-v(-k)，则 • 电子在外场下偏离平衡态，这时即使撤离电场，也不会自动恢复平衡 • 散射Æ平衡态：电子受到散射，使电子失去外电场中获得的定向运动，重新获得平衡 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 非平衡分布函数满足的关系 • 偏离平衡态时，非平衡分布函数 f 随空间位置r 和时间 t 的变化而变化 f (r,k,t) = f (r − rdt,k −kdt,t − dt) & & • 即 t 时刻(r,k) 处的电子来自前一 t-dt 时刻，… • 如考虑碰撞，则加上一项碰撞项，即在其他地方经碰撞后到(r,k)处 ( ) ( ) dt t f f t f dt dt t dt 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r,k, = r − r& ,k −k& , − + • 如果不考虑碰撞，则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ t f f f t f k k r r & & 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & • 前式展开，只保留对 t 一次导数项，得 • 对稳态，第一项为零，得 • 这就是Boltzmann方程 * 左边是漂移项，即两次碰撞之间的动力学规律所确定的，是可逆的 * 右边是碰撞项，即使系统从非平衡趋于平衡，是不可逆的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 近看Boltzmann方程 • 即电子波矢的时间变化率与外场和能带结构有关 • 评论：实际上是用半经典的理论框架来处理本质上是量子力学的多粒子问题，虽有局限，但还是有效的，比如在半导体中的输运问题 • 解Boltzmann方程的困难在于碰撞项碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & ( ) ( ) ( ) k E k k F k k k k ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂f f e f h h & • 而稳定电流时，df/dr为零；而

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 弛豫时间近似 • 考虑偏离平衡不远时，分布的时间变化率与偏离的程度和单位时间里碰撞的次数，即弛豫时间有关， τ 0 f f t f − ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 碰撞 • 其解为 ( ) /τ 0 1 1 0 t f f f f t e− − = = = • 显然，这里f1表示对平衡分布函数的偏离，也即假定分布函数对外场的线性响应 • 现在的问题是，如何确定弛豫时间？ * 两次碰撞（被声子散射）的时间间隔？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 3、电子—声子相互作用 • 晶体中，电子主要与晶格碰撞 * 电子不会受晶格上静止原子作用 * 电子与声子(晶格振动)的碰撞，即受声子的散射 • 如何描写电子被声子散射？ • 绝热近似作为零级近似，任一时刻，原子运动破坏周期性势场，电子受到这种非周期性势场的散射，即原子振动偏离平衡位置，偏离周期性势场 * 与声子联系起来 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 现在实际的哈密顿量为 = ∑[ ] ( − − )− ( − ) R Hˆ ' V r R u(R) V r R = −∑ ( )⋅∇ ( − ) R u R V r R • u是原子振动偏离平衡位置，将此作为微扰 = +∑ ( − − ) R T R u(R) Hˆ ˆ V r = +∑ ( − )+∑[ ] ( − − )− ( − ) R R Hˆ Tˆ V r R V r R u(R) V r R H' Hˆ ˆ = +0 • 现在u可与振动联系起来 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 微扰项 • 考虑简单情况，即原胞内只有一个原子，仅有声学支，位移为 ( ) ( ) i( )t i( )t A e A e A t ω ω ω ⋅ − − ⋅ − = + = ⋅ − q R q R nˆ nˆ u R nˆ cos q R 2 1 2 1 • 微扰势成为 ( ) = ∑ ⋅∇ ( ) − = + ± ⋅ − ± + − − R q R nˆ r R H' ˆ s A e V e s e s i t i t i t ω ω ω 2 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 微扰矩阵元 • 正负号分别对应吸收或放出一个声子 • 由于声子能量远比电子小，可以看成是弹性散射，即对吸收或释放声子矩阵元相同 [ ( ) ( ) () ψ ψ δ ( ) () ( ) ω ] ψ ψ δ ω π h h h + − + Θ = − − − + k k' k' k k' k k,k' k' k s E E s E E 2 2 2 • 求微扰矩阵元，其中 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 散射矩阵元为 = − ∑ ⋅∇ ( ) − ± ⋅ ± R k' k q R ψ k' s ψ k A e ψ nˆ V r R ψ i 2 1 (r R) () r k k R ψ k ψ⋅ + = i e • 利用波函数满足Bloch定理 ( ) = − ∑ ⋅∇ ( ) − ± ⋅ ± R k' k k k' q R k' k ψ s ψ A e ψ nˆ V r ψ i 2 1 • 平移R后，得

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 即电子受声子散射要保持能量、动量守恒 * K等于零的过程称为正常过程，即N过程 * K不等于零的过程称为倒逆过程，即U过程 • 声子的最大能量为kBΘD量级 * 所以声子散射引起的电子能量上的变化不大，即对电子发射或吸收声子在能量上变化不大，可以忽略 • 因此电子受声子散射主要是改变电子运动方向 • 总的微扰要考虑所有格波的贡献，因此还应对波矢q和振动各个方向n求和 k − k'±q = K • 求和还需满足动量守恒关系 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 4、弛豫时间与散射矩阵 • 单位时间内，由于碰撞，电子从k态散射到k’态的几率是Θk,k’，碰撞项可写成 ⎟ ⎟ = ∑{ } Θ [] [ ] − −Θ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ k ' k ',k k ,k ' f (k') f (k ) f (k ) f (k') t f 1 1 碰撞 • 前一项表示，f(k’)分布的k’态电子，以散射矩阵Θk’,k确定的几率散射到k态，但前提是这时k 态必须有空位，1-f(k)，才能散射到k态； * 后一项倒过来，从k到k’态 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 • 在热平衡条件下，达到细致平衡 Θk',k Θk,k' = ⎟ ⎟ = ∑ Θ [ ] − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ k ' k ',k f (k') f (k ) t f 碰撞 • 于是， • 利用费米分布，在弹性散射的条件下，E=E’，有 ( ' )[] [ ] 1 ( ) ( ) 1 ( ') ', , ' k k k k k k k k Θ f − f = Θ f − f http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 因为假定偏离平衡态不远，f1是个小量 0 1 f = f + f • 则 ⎟ ⎟ = ∑ Θ [ ] − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ k ' k ',k (k') (k ) 1 1 f f t f 碰撞 • 与弛豫时间近似比较，得 ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = Θ − k ' k ',k (k ) (k') 1 1 1 1 f f τ ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − Θ − k ' k ',k (k ) (k') (k ) 1 1 1 1 f f f http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 进一步简化 • 如果电子的费米面是球面，即各向同性的散射，对于弹性散射，散射矩阵只依赖于k和k’的模与它们的夹角，取电场沿kz方向，则得 ∑ = ∑ Θ [ ] − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Θ − k ' k ',k k ' , k ',k cosϑ τ 1 1 1 z z k k • 表示电子沿电场方向因散射而损失的动量同原来动量之比，散射角大的电子对系统恢复到平衡贡献大 () ( ) z f k = ϕ E k 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • Θk,k’与总的声子数变化相当 * 已知低温时，声子比热与T3成正比，如声子平均能量为kBT，则总的声子数随T3变化 • 而 ( ) [ ] cos k' k ',k d = ∫ Θ − ϑ τ π 1 2 1 1 • 将求和改为积分 3 k ' k q ϑ 2 F D max 2 2 2 1 ~ 2 1 2 1 cos 2 sin ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = k q T k q F ϑ ϑ 1 5 ≈ T τ • 所以 • 高温时声子数随T变化，而散射角与温度无关 ≈ T τ 1

5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 5、金属电导率 • 由Boltzmann方程碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & • 考虑金属处于恒定温度下，仅在外电场作用下 eE dt d = − k h • 如形成稳定的电流，这时第一项为零 • 第二项是外场作用改变状态，半经典处理外场作用。当外场是电场时，根据能带理论碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ t f f k k& http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 碰撞项用弛豫时间近似，于是就有 τ 0 0 e f f − f = − ∂ ∂ − ⋅ h k E ∂k ∂ = ⋅ 0 1 e f f h τE • 即非平衡分布函数f1相当于平衡分布函数f沿电场相反方向刚性平移 (k) (k ) h eτE f = f0 + • 即 • 等价于 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 • 改写 E E f E f f ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 0 0 v(k) k (k) k h • 于是前式为 ( ) τ 0 0 f f E e f − = ∂ ∂ ⋅hv k h E • 即 ( ) E f f e ∂ ∂ = ⋅ 0 1 τ E v k • 每个电子对电流密度的贡献为-ev，于是电流密度为(f0对电流的贡献为零) J f vdk e ∫ = − 3 4π f vdk e ∫ = − 3 1 4π v( ) v dk E e f ∫ ∂ ∂ = − ⋅ 0 3 2 4 τ E π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 • 改为等能面（并假定是球面）上积分 ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⋅ − dE v dS E e f h 0 3 2 4 J τv E v π ⎟⋅E ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ F dS v e vv J τ π h 3 2 4 • 利用f在Fermi面处的分布的δ函数性质 • 电导率就是 ∫ = F dS v e vv τ π σ h 3 2 4 (k) ∇kE http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • 电导率是个张量 ∫ = F dS v e v vα β αβ τ π σ h 3 2 4 • 对于立方晶体，电导率简化为标量 ∫ = F x xx dS v e v2 3 2 4 τ π σ h • 由于对称性 ∫ xx = F vdS e τ π σ h 3 2 12 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 • 假定导电电子可用有效质量描述，则弛豫时间与k无关， * m k v F kF h = ( ) * m ne EF τ σ 2 = • 根据前面弛豫时间与温度的关系，得到低温时 5 ρ ~ T • 高温时 ρ ~ T 形式上同经典，但用有效质量，弛豫时间的意义！

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第30讲 输运理论

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第30讲输运理论