《大学物理学》（下）习题解答 习题一

习题解答 1AF1与有无不同?出和有无不同?出和出有无不同其不同在 d 试举例说明 解:(1)1M是位移的模,△r是位矢的模的增量,即M=-,=- (2)是速度的模,即 只是速度在径向上的分量 dr d ∵有r=rr(式中r叫做单位矢),则 dtdt dt 式中一就是速度径向上的分量 d i 不同如题1-1图所示 o出表示加速度的,即出出是加速度a在切向上的分量 ∵有v=Vr(z表轨道节线方向单位矢),所以 d t T+1 式中就是加速度的切向分量 (∵与一的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) 1-2设质点的运动方程为x=x(1),y=y(1),在计算质点的速度和加速度时,有人先求 后根据v 及 而求得结果:又有人先计算速度和加速度 dt 的分量,再合成求得结果,即 d2 及 你认为两种方法哪一种 dt

习题解答 习题一 1-1 ｜ r ｜与 r 有无不同? d t dr 和 d t dr 有无不同? d t dv 和 d t dv 有无不同?其不同在哪里? 试举例说明． 解：（1） r 是位移的模，  r 是位矢的模的增量，即 r 2 1 = r −r ， 2 1 r r r    = − ； （2） d t dr 是速度的模，即 d t dr = v = t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有 r = rr ˆ （式中 r ˆ 叫做单位矢），则 t ˆ ˆ r t r t d d d d d d r r r = + 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图 (3) d t dv 表示加速度的模，即 t v a d d   = ， t v d d 是加速度 a 在切向上的分量. ∵有     v = v ( 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d      = + 式中 dt dv 就是加速度的切向分量. ( t t r d d ˆ d dˆ     与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为 x = x ( t )， y = y ( t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r＝ 2 2 x + y ，然后根据 v = t r d d ，及 a ＝ 2 2 d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度 的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2 d d d d        +      t y t x 及 a = 2 2 2 2 2 2 d d d d         +         t y t x 你认为两种方法哪一种

正确?为什么?两者差别何在? 解:后一种方法正确因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有F=xi+y dt dt d dr d'x- dy 故它们的模即为 出)“(出) d2 a- +a dt dt 而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作 其二,可能是将与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模 而只是速度在径向上的分量,同样,d 也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中 的一部分ad2r/dO|。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢F在径向(即 量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢F及速度v的方向随间的变化率对速度、加速 度的贡献 1-3一质点在xOy平面上运动,运动方程为 x=31+5,y=t2+3t-4 2 式中t以s计,x,y以m计,(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s时刻和t=2s时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移:(3)计算t=0s时刻到t=4s 时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4s时质点的速度;(5)计算t= 0s到t=4s内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s时质点 的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成 直角坐标系中的矢量式). 解:(1) F=(3+5)+(t2+3-4)jm (2)将t=1,t=2代入上式即有 万1=8-0.5jm 2

2 正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 r xi yj    = + ， j t y i t x t r a j t y i t x t r v         2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d = = +  = = + 故它们的模即为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d         +         = + =        +      = + = t y t x a a a t y t x v v v x y x y 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2 2 d d d d t r a t r v = = 其二，可能是将 2 2 d d d d t r t r 与 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 t r d d 不是速度的模， 而只是速度在径向上的分量，同样， 2 2 d d t r 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中 的一部分               = − 2 2 2 d d d d t r t r a  径 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r  在径向（即 量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r  及速度 v  的方向随间的变化率对速度、加速 度的贡献。 1-3 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =3 t +5, y = 2 1 t 2 +3 t -4. 式中 t 以 s计， x , y 以m计．(1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出 t =1 s 时刻和 t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算 t ＝0 s时刻到 t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算 t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算 t ＝ 0s 到 t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t ＝4s 时质点 的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成 直角坐标系中的矢量式)． 解：（1） r t i t t j    3 4) 2 1 (3 5) ( 2 = + + + − m (2)将 t =1, t = 2 代入上式即有 r i j    1 = 8 − 0.5 m

72 11i+aim J A=2-=3j+45jm =5j-4j,F=17i+1 Ar I4 -ro +20 4 3+5jm dr (4) =3i+(+3)jm v4=3+7jm (5) v=3+3j,v4=3+7j a=A=-o=4 =lj m dt 这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量 1-4在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以 vo(m·s-1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小 图1-4 解:设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成O角,由图可知 12=h2 将上式对时间t求导,得

3 r j j    2 =11 + 4 m r r r j j       = 2 − 1 = 3 + 4.5 m (3)∵ r j j r i j       0 = 5 − 4 , 4 =17 +16 ∴ 4 0 1 3 5 m s 4 12 20 4 0 − = +  + = − − =   = i j r r i j t r v         (4) 1 3 ( 3) m s d d − = = i + t + j  t r v     则 v i j    4 = 3 + 7 1 m s −  (5)∵ v i j v i j       0 = 3 + 3 , 4 = 3 + 7 4 0 2 1 m s 4 4 4 − = =  − =   = j v v t v a      (6) 2 1 m s d d − = = j  t v a    这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以 0 v (m· −1 s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小． 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成  角，由图可知 2 2 2 l = h + s 将上式对时间 t 求导，得 t s s t l l d d 2 d d 2 = 题 1-4 图

根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的 Vo.1 出 ds l d I 或 Wvo(h2+s2) vo 将v再对t求导,即得船的加速度 船 o)o h22 1-5质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为a=2+6x2,a的单位为m·s-2,x的单位 为m.质点在x=0处,速度为10ms-,试求质点在任何坐标处的速度值 分离变量: udu=adx=(2+6x)dx 两边积分得 由题知,x=0时,v0=10,∴C=50 v=2√x3 1-6已知一质点作直线运动,其加速度为a=4+31ms2,开始运动时,x=5m,v 0,求该质点在t=10s时的速度和位置 分离变量,得 dv=(4+3t )dt 积分,得 v=4t+-t2+c, 由题知,t=0,v0=0,∴c1=0

4 根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的， ∴ t s v v t l v d d , d d 绳 = − = 0 船 = − 即 d cos d d d 0 0 v v s l t l s l t s v船 = − = − = = 或 s h s v s lv v 0 2 2 1/ 2 0 ( + ) 船 = = 将 v船 再对 t 求导，即得船的加速度 3 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 2 0 ( ) d d d d d d s h v s v s l s v s v s lv v s t s l t l s t v a = − + = − + = − = = 船 船 1-5 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+6 2 x ，a 的单位为 2 m s −  ，x 的单位 为 m. 质点在 x ＝0处，速度为10 1 m s −  ,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ x v v t x x v t v a d d d d d d d d = = = 分离变量： d adx (2 6x )dx 2   = = + 两边积分得 v = x + x + c 2 3 2 2 2 1 由题知， x = 0 时， v0 = 10 ,∴ c = 50 ∴ 3 1 2 25 m s − v = x + x +  1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3 t 2 m s −  ，开始运动时， x ＝5 m， v =0，求该质点在 t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t v a 4 3 d d = = + 分离变量，得 dv = (4 + 3t)dt 积分，得 1 2 2 3 v = 4t + t + c 由题知， t = 0, v0 = 0 ,∴ c1 = 0

=4t+ 3 又因为 分离变量,dx=(4+2)dr 积分得 x=22+t3+c2 由题知t=0,x0=5,∴c2=5 所以t=10s时 4×10+-×102=190 x0=2×102+×103+5=705m 1-7一质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为b=2+313,式中以弧度计,t以秒计, 求:(1)t=2s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时, 其角位移是多少? d =91,B= d=18t dt da (1)t=2s时 a2=RB=1×18×2=36ms2 an=Ro2=1×(9×2)2=1296ms2 (2)当加速度方向与半径成45°角时,有 Ro=R 亦即 (92)2=18t 则解得 于是角位移为 b=2+313=2+3 2.67 rad

5 故 2 2 3 v = 4t + t 又因为 2 2 3 4 d d t t t x v = = + 分离变量， x t t )dt 2 3 d (4 2 = + 积分得 2 2 3 2 1 x = 2t + t + c 由题知 t = 0, x0 = 5 ,∴ c2 = 5 故 5 2 1 2 2 3 x = t + t + 所以 t = 10 s 时 10 5 705 m 2 1 2 10 10 190 m s 2 3 4 10 2 3 10 2 1 10 =  +  + = =  +  =  − x v 1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为  =2+3 3 t ， 式中以弧度计， t 以秒计， 求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时， 其角位移是多少? 解： t t t t 18 d d 9 , d d 2 = = = =     (1) t = 2 s 时， 2 1 18 2 36 m s − =  =   =  a R 2 2 2 2 1 (9 2 ) 1296 m s − a = R =   =  n (2)当加速度方向与半径成 ο 45 角时，有 tan 45 = = 1 an a 即 R = R 2 亦即 (9t ) 18t 2 2 = 则解得 9 3 2 t = 于是角位移为 2.67 rad 9 2 2 3 2 3 3  = + t = +  =

1-8质点沿半径为R的圆周按s=va-br2的规律运动,式中s为质点离圆周上某点的弧 长,vo,b都是常量,求:(1)时刻质点的加速度;(2)t为何值时,加速度在数值上等于b 解:(1) du1o-br (vo-br) R R (vo -) 加速度与半径的夹角为 r6 p= arctan - (o-br (2)由题意应有 =b=1b2+ (vo-br) b2=b2+ (v-b7) br)2=0 当t=0时,a=b 1-9半径为R的轮子,以匀速v沿水平线向前滚动:()证明轮缘上任意点B的运动方程为 x=R(ot-snon),y=R(l- cos or),式中O=v/R是轮子滚动的角速度,当B与 水平线接触的瞬间开始计时,此时B所在的位置为原点,轮子前进方向为x轴正方向;(2) 求B点速度和加速度的分量表示式 解:依题意作出下图,由图可知 题1-9图 (1) x=v.t-2Rsin-cos = v.t-rsin e =R(ot-Rsm at)

( sin 6 ) sin 2 cos 2 2 sin 0 0 R t R t v t R x v t R      = − = − = − 1-8 质点沿半径为 R 的圆周按 s ＝ 2 0 2 1 v t − bt 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧 长, 0 v ，b 都是常量，求：(1) t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b ． 解：（1） v bt t s v = = 0 − d d R v bt R v a b t v a n 2 0 2 ( ) d d − = =  = = − 则 2 4 2 2 2 0 ( ) R v bt a a an b − =  + = + 加速度与半径的夹角为 2 0 ( ) arctan v bt Rb a a n − − = =   (2)由题意应有 2 4 2 0 ( ) R v bt a b b − = = + 即 , ( ) 0 ( ) 4 2 0 4 2 2 0  − = − = + v bt R v bt b b ∴当 b v t 0 = 时， a = b 1-9 半径为 R 的轮子，以匀速 0 v 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 B 的运动方程为 x＝ R (t − sin t) ， y ＝ R (1− cost) ，式中 0  = v / R 是轮子滚动的角速度，当 B 与 水平线接触的瞬间开始计时．此时 B 所在的位置为原点，轮子前进方向为 x 轴正方向；(2) 求 B 点速度和加速度的分量表示式． 解：依题意作出下图，由图可知 题 1-9 图 (1)

y=2Rsin 22 = R(-cos0)=R(-cosar) dx Rsin at) a ro2 sin ot= dt dy a ro2 1-10以初速度v0=20ms-抛出一小球,抛出方向与水平面成幔60°的夹角 求:(1)球轨道最高点的曲率半径R1:(2)落地处的曲率半径R (提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示 题1-10图 (1)在最高点 v=vx= Vo cos60° g ms 又 2sV(20×c0s60) 10m

7 (1 cos ) (1 cos ) 2 sin 2 2 sin R R t y R     = − = − = (2)        = = = = − sin ) d d (1 cos ) d d R t t y v R t t x v y x           = = = = t v a R t t v a R t y y x x d d cos d d sin 2 2     1-10 以初速度 0 v ＝20 1 m s −  抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R1；(2)落地处的曲率半径 R2 ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示． 题 1-10 图 (1)在最高点， o v1 = vx = v0 cos602 1 10 m s − a = g =  n 又∵ 1 2 1 1  v an = ∴ 10 m 10 (20 cos60 ) 2 2 1 1 1 =   = = an v 

(2)在落地点 an2= g xcos60° a.10×c0s6008m 1-11飞轮半径为0.4m,自静止启动,其角加速度为B=0.2rad·s2,求t=2s时边缘 上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解:当t=2s时,O=B=02×2=04rads 则v=RO=04×04=0.16m·s an=Ro2=04×(0.4)2=0.064ms2 3B=0.4×0.2=0.08 a=√a2+a2=√0064)2+(008)2=0.102ms 1-12如题1-12图,物体A以相对B的速度v=√2gy沿斜面滑动,y为纵坐标,开始时 A在斜面顶端高为h处,B物体以u匀速向右运动,求A物滑到地面时的速度. 解:当滑至斜面底时,y=h,则v=√2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响, 因此,A对地的速度为 l+1 =(u+√2 gh cosa)+(√2 hsin a)j 题1-12图 1-13一船以速率v=30km·h沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速率v=40km·h 沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解:(1)大船看小艇,则有v2=2一可,依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

8 (2)在落地点， v2 = v0 = 20 1 m s −  , 而 o cos60 2 an = g  ∴ 80 m 10 cos60 (20) 2 2 2 2 2 =   = = an v  1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为 β= 0.2 rad· 2 s − ，求 t ＝2s时边缘 上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：当 t = 2 s 时，  = t = 0.2 2 = 0.4 1 rad s −  则 v = R = 0.40.4 = 0.16 1 m s −  0.4 (0.4) 0.064 2 2 an = R =  = 2 m s −  a = R = 0.40.2 = 0.08 2 m s −  2 2 2 2 2 (0.064) (0.08) 0.102 m s − = + = + =  a an a 1-12 如题 1-12 图，物体 A 以相对 B 的速度 v ＝ 2gy 沿斜面滑动， y 为纵坐标，开始时 A 在斜面顶端高为 h 处， B 物体以 u 匀速向右运动，求 A 物滑到地面时的速度． 解：当滑至斜面底时， y = h ，则 v  A = 2gh , A 物运动过程中又受到 B 的牵连运动影响， 因此， A 对地的速度为 u gh i gh j v u v A A      ( 2 cos ) ( 2 sin ) ' = +  +  地 = + 题 1-12 图 1-13 一船以速率 1 v ＝30km·h -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 2 v ＝40km·h -1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有 21 2 1 v v v    = − ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)

U 题1-13图 由图可知 21=vv2+v2=50kmh-1 方向北偏西 0=arctan -=arctan ==36.870 (2)小船看大船,则有节2=可1一2,依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法,得 12=50km.h-1 方向南偏东3687° 1-14当一轮船在雨中航行时,它的雨篷遮着篷的垂直投影后2m的甲板上,篷高4皿但当 轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3m,如雨滴的速度大小为8m·s,求 轮船的速率 解:依题意作出矢量图如题1-14所示 沿地 题1-14图 V雨=V雨船+v 由图中比例关系可知 船=雨=8m·s-1

9 题 1-13 图 由图可知 2 1 2 2 21 1 50 km h − v = v + v =  方向北偏西 = = = 36.87 4 3 arctan arctan 2 1 v v  (2)小船看大船，则有 12 1 2 v v v    = − ，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图(b)，同上法，得 v12 = 50 1 km h −  方向南偏东 o 36.87 1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当 轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s -1，求 轮船的速率． 解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示． 题 1-14 图 ∵ v雨船 v雨 v船    = − ∴ v雨 v雨船 v船    = + 由图中比例关系可知 1 8 m s − v船 = v雨 = 