《大学物理学》（下）习题解答 习题四

习题四 4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动: (1)拍皮球时球的运动 (2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 题4-1图 解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一,描述系统的各种参量,如 质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量:二,系统是在自己的稳定平衡位置 附近作往复运动:三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说,若一个系 统的运动微分方程能用 d25+022=0 描述时,其所作的运动就是谐振动 (1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置:第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都 不是线性回复力 (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过 程中,各种参量均为常量:该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点 即系统势能最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为- mosin 8,如题4-1图(b)所 示.题中所述,AS<<R,故= 0,所以回复力为-mgO.式中负号,表示回复 R 力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性 的.若以小球为对象,则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律 在凹槽切线方向上有 d e mR-=-mg 8,则有 R d20 +2=0 4-2劲度系数为k和k2的两根弹簧,与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期

1 习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系 统的运动微分方程能用 0 d d 2 2 2 +  =  t 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过 程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点， 即系统势能最小值位置点 O ；而小球在运动中的回复力为− mg sin  ，如题4-1图(b)所 示．题 中所述， S ＜＜ R ，故 R S  = →0，所以回复力为− mg .式中负号，表示回复 力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性 的．若以小球为对象，则小球在以 O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 在凹槽切线方向上有   mg t mR = − 2 2 d d 令 R g = 2  ，则有 0 d d 2 2 2 + =  t 4-2 劲度系数为 1 k 和 2 k 的两根弹簧，与质量为 m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

k L (∞)^N 题4-2图 解:(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有F=F1=F2,设串联弹簧的等效 倔强系数为K等效位移为x,则有 F==k F1=-k1x1 F2 又有 x=mtx FF. F 所以串联弹簧的等效倔强系数为 k2 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k=kk2/k+k2)的弹簧振子系统,故 小球作谐振动.其振动周期为 Vkg=2x/m(k,+k2) k2 (2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有F=F1=F2,即x=x1=x2,设并联弹 簧的倔强系数为k并,则有 knx=k.+k k并=k1+k2 同上理,其振动周期为 T=2 nk,+k2 4-3如题4-3图所示,物体的质量为m,放在光滑斜面上,斜面与水平面的夹角为6,弹 簧的倔强系数为k,滑轮的转动惯量为,半径为R.先把物体托住,使弹簧维持原长,然 后由静止释放,试证明物体作简谐振动,并求振动周期

2 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 F = F1 = F2 ，设串联弹簧的等效 倔强系数为 K串 等效位移为 x ，则有 1 1 1 F k x F k x = − = − 串 2 2 2 F = −k x 又有 1 2 x = x + x 2 2 1 1 k F k F k F x = = + 串 所以串联弹簧的等效倔强系数为 1 2 1 2 k k k k k + 串 = 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 /( ) 1 2 1 2 k = k k k + k 的弹簧振子系统，故 小球作谐振动．其振动周期为 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 k k m k k k m T + = =  =    串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有 F = F1 = F2 ，即 1 2 x = x = x ，设并联弹 簧的倔强系数为 k并 ，则有 1 1 2 2 k并 x = k x + k x 故 1 2 k并 =k +k 同上理，其振动周期为 1 2 2 k k m T +  =  4-3 如题4-3图所示，物体的质量为 m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为  ，弹 簧的倔强系数为 k ，滑轮的转动惯量为 I ，半径为 R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图 解:分别以物体m和滑轮为对象,其受力如题4-3图(b)所示,以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点,沿斜面向下为x轴正向,则当重物偏离原点的坐标为x时,有 d TR-TR=IB d2x 72=k(x+x) 式中x0=mgsn/k,为静平衡时弹簧之伸长量,联立以上三式,有 (mR+d'x kxr mR 则有 02x=0 故知该系统是作简谐振动,其振动周期为 2 mR2+I 2 2r,/m+//R2 kR K 4-4质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统,按x=0.1cos(8x+-)(SD)的规律 作谐振动,求 (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值; (②)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等? (3)l2=5s与1=ls两个时刻的位相差 解:(1)设谐振动的标准方程为x=Acos(ot+向),则知:

3 题4-3图 解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有 2 2 1 d d sin t x mg  −T = m ① T1R −T2R = I ② R t x = 2 2 d d ( ) 2 0 T = k x + x ③ 式中 x mgsin / k 0 =  ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 kxR t x R I mR+ = − 2 2 d d ( ) 令 mR I kR + = 2 2 2  则有 0 d d 2 2 2 + x = t x  故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 ) / 2 ( 2 2 2 2 2 K m I R k R mR I T + = + = =     4-4 质量为 10 10 kg −3  的小球与轻弹簧组成的系统，按 ) (SI) 3 2 0.1cos(8  x =  + 的规律 作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3) 5s t 2 = 与 1s t 1 = 两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为 cos( ) =  +0 x A t ，则知：

A=01lm,.O=87T=2z_1 s,中 又 vm =@A=0.8T m s-=2.51- 2A=632 Fml=am=0.63N En=Ek=E=1.58×102J 当EA=E时,有E=2En, kA x=一A=±m △p=o(t2-1)=87(5-1)=327 个沿x轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数 表示.如果t=0时质点的状态分别是 (2)过平衡位置向正向运动; A (3)过x 向负向运动 (4)过x=-处向正向运动 试求出相应的初位相,并写出振动方程 解:因为 xo=Acos po sn中 将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有 x=Acos(t+T) 丌x=co(x,3 t+-丌 中3 A T 3 5兀x=Acos

4 s, 2 / 3 4 2 1 0.1m, 8 , 0    A =  =  T = = = 又 vm =A = 0.8 1 m s −  = 2.51 1 m s −  63.2 2 am = A = 2 m s −  (2) Fm = am = 0.63N 3.16 10 J 2 1 2 −2 E = mvm =  1.58 10 J 2 1 −2 E p = Ek = E =  当 Ek = Ep 时，有 E = 2Ep ， 即 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 2 kx =  kA ∴ m 20 2 2 2 x =  A =  (3)  =(t 2 −t 1 ) = 8(5−1) = 32 4-5 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数 表示．如果 t = 0 时质点的状态分别是： (1) x0 = −A ； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过 2 A x = 处向负向运动； (4)过 2 A x = − 处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为    = − = 0 0 0 0 sin cos    v A x A 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 ) 2 cos( 1    =  = t + T x A ) 2 2 3 cos( 2 3 2    =  = t + T x A ) 3 2 cos( 3 3     = = t + T x A ) 4 2 5 cos( 4 5 4     = = t + T x A

4-6一质量为10×10-3kg的物体作谐振动,振幅为24cm,周期为40s,当t=0时位移 为+24cm.求: (1)t=0.5s时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向 (2)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间: (3)在x=12cm处物体的总能量 解:由题已知 A=24×10-2m,T=40s 又,t=0时,x0=+A,中=0 故振动方程为 x=24×102cos(0.5m)m (1)将t=0.5s代入得 =24x10-2cos(0.5m)m=0.17m 0.5 F=-ma=-mox )2×0.17=-42×10-N 方向指向坐标原点,即沿x轴负向 (2)由题知,t=0时,=0 且v<0,故中 △φ 2 (3)由于谐振动中能量守恒,故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 E=-k42 2 (2)2×(024) 7.1×10-4J 4-7有一轻弹簧,下面悬挂质量为10g的物体时,伸长为49cm.用这个弹簧和一个质量 为80g的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开10cm后,给予向上的初速度 v=50cm·s,求振动周期和振动表达式 解:由题知k=m8=10×10x98=02Nm1 x 4.9×10

5 4-6 一质量为 10 10 kg −3  的物体作谐振动，振幅为 24cm ，周期为 4.0s ，当 t = 0 时位移 为 + 24cm ．求： (1) t = 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 x =12cm 处所需的最短时间； (3)在 x =12cm 处物体的总能量． 解：由题已知 24 10 m, 4.0s 2 =  = − A T ∴ 1 0.5 rad s 2 − = =     T 又， t = 0 时， x0 = +A,0 = 0 故振动方程为 24 10 cos(0.5 )m 2 x t − =  (1)将 t = 0.5s 代入得 24 10 cos(0.5 )m 0.17m 2 0.5 =  = − x t ) 0.17 4.2 10 N 2 10 10 ( 3 2 3 2 − − = −    = −  = − = −  F ma m x 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向． (2)由题知， t = 0 时， 0 = 0 ， t = t 时 3 , 0, 2 0  = + v   t = A x 且 故 ∴ s 3 2 2 / 3 = =  =     t (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 7.1 10 J ) (0.24) 2 10 10 ( 2 1 2 1 2 1 4 3 2 2 2 2 2 − − =  =    = =  E kA m A 4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 1.0g 的物体时，伸长为 4.9cm ．用这个弹簧和一个质量 为 8.0g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开 1.0cm 后 ，给予向上的初速度 1 0 5.0cm s − v =  ，求振动周期和振动表达式． 解：由题知 1 2 3 1 1 0.2 N m 4.9 10 1.0 10 9.8 − − − =     = = x m g k

而t=0时,x0=-1.0×10-2mv=50×102m·s(设向上为正) 0.2 5即T 2丌 A (10×102)2+( 5.0×10 5丌 1,即 x0O1.0×10-×5 2×10-cos(5t+x) 4-8图为两个谐振动的x-t曲线,试分别写出其谐振动方程 题4-8图 解:由题4-8图(a),∵=0时,x=0,V0>0,∴如=丌,又,A=10cm,7=2s 0. Icos(rt +-T) A 5 由题4-8图(b)∵【=0时,x0=-,v>0,∴φ= 时 x1=0,v1 0 中1=0×1+x=丌 故 =0.Icos( 4-9一轻弹簧的倔强系数为k,其下端悬有一质量为M的盘子.现有一质量为m的物体 从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起,于是盘子开始振动

6 而 t = 0 时， 2 -1 0 2 0 = −1.010 m, = 5.010 ms − − x v ( 设向上为正) 又 1.26s 2 5, 8 10 0.2 3 = = =  = = −    T m k 即 2 10 m ) 5 5.0 10 (1.0 10 ) ( ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 0 − − − =   =  +  = +  v A x 4 5 1, 1.0 10 5 5.0 10 tan 2 0 2 0 0 0     = =    = − = − − 即 x v ∴ )m 4 5 2 10 cos(5 2 =  +  − x t 4-8 图为两个谐振动的 x −t 曲线，试分别写出其谐振动方程． 题4-8图 解：由题4-8图(a)，∵ t = 0 时， , , 10cm, 2s 2 3 0, 0, x0= v0  0 =  又 A = T = 即 1 rad s 2 − = =     T 故 )m 2 3 xa = 0.1cos(t +  由题4-8图(b)∵ t = 0 时， 3 5 , 0, 2 0 0 0  = v   = A x t 1 = 0 时， 2 1 0, 1 0, 1 2  x = v   =  + 又     2 5 3 5 1 = 1+ = ∴   6 5 = 故 xb t )m 3 5 6 5 0.1cos(  =  + 4-9 一轻弹簧的倔强系数为 k ，其下端悬有一质量为 M 的盘子．现有一质量为 m 的物体 从离盘底 h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点,位移以向下为正,并以弹簧开始振动时作为计时起点,求初位相并 写出物体与盘子的振动方程 解:(1)空盘的振动周期为2m1,落下重物后振动周期为2z、M+m町增大 (2)按(3)所设坐标原点及计时起点,t=0时,则x0=k 8.碰撞时,以m,M为一系统 动量守恒,即 mv2gh=(m+ M)vo 则有 high m+M 于是 A (")2 1g V(m+M) ig 2kh k (m+M)g 2kh (3)tanφo xOV(M+m。(第三象限),所以振动方程为 mg 1+ 2kh k t+ arctan (m+ Mg m+M V(M+m)g 4-10有一单摆,摆长l=1.0m,摆球质量m=10×10-3kg,当摆球处在平衡位置时,若 给小球一水平向右的冲量FM=1.0×10-kgms-,取打击时刻为计时起点(t=0),求 振动的初位相和角振幅,并写出小球的振动方程 解:由动量定理,有 F·M=n-0 1.0×10-4 1.0×10~3≈001 按题设计时起点,并设向右为x轴正向,则知t=0时,x0=0,vo=00lms->0 =3r/2 又 8 =3.13rad.s VI V1.0

7 (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并 写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为 k M 2 ，落下重物后振动周期为 k M + m 2 ，即增大． (2)按(3)所设坐标原点及计时起点， t = 0 时，则 k mg x0 = − ．碰撞时，以 m, M 为一系统 动量守恒，即 0 m 2gh = (m + M)v 则有 m M m gh v + = 2 0 于是 m M g k h k mg m M m gh k v mg A x ( ) 2 1 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 0 2 2 0 + = + + = + = +  （3） M m g k h x v ( ) 2 tan 0 0 0 + = − =   (第三象限)，所以振动方程为       + + + + = + M m g k h t m M k m M g k h k m g x ( ) 2 cos arctan ( ) 2 1 4-10 有一单摆，摆长 l =1.0m ，摆球质量 10 10 kg −3 m =  ，当摆球处在平衡位置时，若 给小球一水平向右的冲量 4 1 1.0 10 kg m s − − Ft =    ，取打击时刻为计时起点 (t = 0) ，求 振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有 F t = mv−0 ∴ -1 3 4 0.01 m s 1.0 10 1.0 10 =    =  = − − m F t v 按题设计时起点，并设向右为 x 轴正向，则知 t = 0 时， 1 0 0 0, 0.01m s − x = v =  ＞0 ∴ 0 = 3 / 2 又 1 3.13rad s 1.0 9.8 − = = =  l g 

x2+()="001 =3.2×10-3m 3.13 故其角振幅 A 3.2×10-rad 小球的振动方程为 0=32×10cos(313t+r)ad 4-11有两个同方向、同频率的简谐振动,其合成振动的振幅为020m,位相与第一振动 的位相差为,已知第一振动的振幅为0173m,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振 动的位相差. O br8 题4-11图 解:由题意可做出旋转矢量图如下 由图知 A=A,+A--2A, Acos 30 =(0.1732+(0.2)2-2×0.173×02x√3/2 0.01 A2=0 设角AAO为O,则 A=A1+A-2A, A2 cos0 eos=4+4-f2=0173)2+(01)2-(002) 2A1A2 2×0.173×0.1 0 即θ=x,这说明,A与A2间夹角为,即二振动的位相差为x 4-12试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅: ()-1=5cos(3t+)cm x,=5cos(3t+cm 7丌 x, 5cos(3t )cm 5c0s(31+-) 7x丌 解:(1)∵ △p=中2-中= 33

8 ∴ 3.2 10 m 3.13 0.01 ( ) 2 0 2 0 3 0 − = + = = =    v v A x 故其角振幅 3.2 10 rad −3  = =  l A 小球的振动方程为 )rad 2 3 3.2 10 cos(3.13 3  =  +  − t 4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 0.20m ，位相与第一振动 的位相差为 6  ，已知第一振动的振幅为 0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振 动的位相差． 题4-11图 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 0.01 (0.173) (0.2) 2 0.173 0.2 3 / 2 2 cos30 2 2 1 2 2 1 2 2 = = + −    A = A + A − A A  ∴ A2 = 0.1m 设角 AA1O为 ，则 2 1 2 cos 2 2 2 1 2 A = A + A − A A 即 0 2 0.173 0.1 (0.173) (0.1) (0.02) 2 cos 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 =   + − = + − = A A A A A  即 2   = ，这说明， A1 与 A2 间夹角为 2  ，即二振动的位相差为 2  . 4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： (1)      = + = + )cm 3 7 5cos(3 )cm 3 5cos(3 2 1   x t x t (2)      = + = + )cm 3 4 5cos(3 )cm 3 5cos(3 2 1   x t x t 解： (1)∵ 2 , 3 3 7 2 1     =  − = − =

合振幅 A=A,+A,= 10cm 4 △φ= 合振幅 A=0 4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为 x1=0.4cos(2+)m x2=0.3c0s(21-x)m 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相,并写出谐振方程。 A=|4-A2|=0m A, sin,+ A2 sin 42 0.4×sn--0.3sm tan40+420sp:04c0+030s3z3 6 其振动方程为 0.lcos(21+-)m (作图法略) 4-14如题4-14图所示,两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆,已知x方向的振 动方程为x=6c0s2mcm,求y方向的振动方程 题4-14图 解:因合振动是一正椭圆,故知两分振动的位相差为一或一:又,轨道是按顺时针方向旋 转,故知两分振动位相差为一.所以y方向的振动方程为 y=12 cos(2nm+-)cm

9 ∴合振幅 A = A1 + A2 =10cm (2)∵ , 3 3 4     = − = ∴合振幅 A = 0 4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为      = − = + )m 6 5 0.3cos(2 )m 6 0.4cos(2 2 1   x t x t 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵     = − − ) = 6 5 ( 6 ∴ A合 = A1 − A2 = 0.1m 3 3 6 5 0.3cos 6 0.4cos 6 5 0.3sin 6 0.4 sin cos cos sin sin tan 2 1 2 2 1 1 2 2 = +  − = + + =          A A A A ∴ 6   = 其振动方程为 )m 6 0.1cos(2  x = t + (作图法略) * 4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 x 方向的振 动方程为 x = 6cos2tcm ，求 y 方向的振动方程． 题4-14图 解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 2  或 2 3 ；又，轨道是按顺时针方向旋 转，故知两分振动位相差为 2  .所以 y 方向的振动方程为 )cm 2 12cos(2  y = t +