习题七 7-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正 (1)△O=△E+△A (2) Q=E+∫ (3) 们×1-9 (4)nm<1-9 解:(1)不正确,O=△E+A (2不正确,Q=△E+po (3)不正确,n=1 22 ()不正确,刀不可逆=1 22 7-2p-V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大,是否效率越高? 答:封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功.由于n=Q ,Aa面积越大,效 率不一定高,因为7还与吸热Q有关 7-3如题7-3图所示,有三个循环过程,指出每一循环过程所作的功是正的、负的,还是 零,说明理由 解:各图中所表示的循环过程作功都为0.因为各图中整个循环分两部分,各部分面积大小 相等,而循环方向一个为逆时针,另一个为顺时针,整个循环过程作功为0 题7-3图 7-4用热力学第一定律和第二定律分别证明,在p-V图上一绝热线与一等温线不能有两 等温线 绝热线b 题7-4图
1 习题七 7-1 下列表述是否正确?为什么?并将错误更正． （1） Q = E + A （2） Q = E + pdV （3） 1 2 1 Q Q − （4） 1 2 1 Q Q 不可逆 − 解：(1)不正确， Q = E + A (2)不正确， Q =ΔE + pdV (3)不正确， 1 2 1 Q Q = − (4)不正确， 1 2 1 Q Q 不可逆 = − 7-2 p −V 图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高? 答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于 Q1 A净 = ， A净 面积越大，效 率不一定高，因为 还与吸热 Q1 有关． 7-3 如题 7-3 图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是 零，说明理由． 解：各图中所表示的循环过程作功都为 0 ．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小 相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为 0 ． 题 7-3 图 7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在 p −V 图上一绝热线与一等温线不能有两 个交点． 题 7-4 图
解:1.由热力学第一定律有 Q=△E+A 若有两个交点a和b,则 经等温a→b过程有 △E1=Q1-A1=0 经绝热a→b过程 E2+A1=0 E2=-A2<0 从上得出△E1≠△E2,这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾 2.若两条曲线有两个交点,则组成闭合曲线而构成了一循环过程,这循环过程只有吸热,无 放热,且对外做正功,热机效率为100%,违背了热力学第二定律 7-5一循环过程如题7-5图所示,试指出: (1)ab,bc,ca各是什么过程 (2)画出对应的p-V图 (3)该循环是否是正循环? (4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? (5)用图中的热量Qa,Qk,Q表述其热机效率或致冷系数 解:(1)ab是等体过程 bc过程:从图知有V=KT,K为斜率 由 故bc过程为等压过程 ca是等温过程 (2)p-V图如题7-5图 题7-5'图 (3)该循环是逆循环
2 解：1.由热力学第一定律有 Q = E + A 若有两个交点 a 和 b ，则 经等温 a →b 过程有 E1 = Q1 − A1 = 0 经绝热 a →b 过程 E2 + A1 = 0 E2 = −A2 0 从上得出 E1 E2 ，这与 a , b 两点的内能变化应该相同矛盾． 2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无 放热，且对外做正功，热机效率为 100% ，违背了热力学第二定律． 7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出： (1) ab,bc, ca 各是什么过程； (2)画出对应的 p −V 图； (3)该循环是否是正循环? (4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? (5)用图中的热量 Qab Qbc Qac , , 表述其热机效率或致冷系数． 解：(1) a b 是等体过程 bc 过程：从图知有 V = KT ， K 为斜率 由 pV = vRT 得 K vR p = 故 bc 过程为等压过程 ca 是等温过程 (2) p −V 图如题 7 − 5 图 题 7 − 5 图 (3)该循环是逆循环
(4)该循环作的功不等于直角三角形面积,因为直角三角形不是p-V图中的图形 (5) e= Ob +o-o 题75图 题7-6图 7-6两个卡诺循环如题7-6图所示,它们的循环面积相等,试问: (1)它们吸热和放热的差值是否相同 (2)对外作的净功是否相等 (3)效率是否相同? 答:由于卡诺循环曲线所包围的面积相等,系统对外所作的净功相等,也就是吸热和放热的 差值相等.但吸热和放热的多少不一定相等,效率也就不相同 7-7评论下述说法正确与否 (1)功可以完全变成热,但热不能完全变成功 (2)热量只能从高温物体传到低温物体,不能从低温物体传到高温物体 (3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程,不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程 答:(1)不正确.有外界的帮助热能够完全变成功:功可以完全变成热,但热不能自动地完 全变成功; (2)不正确.热量能自动从高温物体传到低温物体,不能自动地由低温物体传到高温物体.但 在外界的帮助下,热量能从低温物体传到高温物体 (3)不正确.一个系统由某一状态出发,经历某一过程达另一状态,如果存在另一过程,它 能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态,这样的过程就是 可逆过程.用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程.有些过程 虽能沿反方向进行,系统能回到原来的状态,但外界没有同时恢复原状态,还是不可逆过程 7-8热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B.如果P为可逆过程,其熵变为: Bdo S-S1=,4,如果P为不可迎过程,其楠变为S-S=x,你说对吗? 哪一个表述要修改,如何修改? 答:不对.熵是状态函数,熵变只与初末状态有关,如果过程P为可逆过程其熵变为 Sn-S,=「,如果过程P为不可逆过程,其熵变为
3 (4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是 p −V 图中的图形． (5) bc ca ab ab Q Q Q Q e + − = 题7-5图 题7-6图 7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同? 答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的 差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同． 7-7 评论下述说法正确与否? (1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功； (2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体． (3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程． 答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完 全变成功； (2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但 在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体． (3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它 能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程． 7-8 热力学系统从初平衡态 A 经历过程 P 到末平衡态 B．如果 P 为可逆过程，其熵变为 ： − = B A B A T Q S S d 可逆 ，如果 P 为不可逆过程，其熵变为 − = B A B A T Q S S d 不可逆 ，你说对吗？ 哪一个表述要修改，如何修改？ 答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程 P 为可逆过程其熵变为： − = B A B A T Q S S d 可逆 ，如果过程 P 为不可逆过程，其熵变为 − B A B A T Q S S d 不可逆
7-9根据SB-SA= 7及S2-S、了dQ不,这是否说明可逆过程的嫡变大于 不可逆过程熵变?为什么?说明理由 答:这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变,熵是状态函数,熵变只与初末状态有 关,如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同,具有相同的熵变.只能说在不可逆过程中, 系统的热温比之和小于熵变. 7-10如题7-10图所示,一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中,有350J热量传入系统 而系统作功126J. (1)若沿adb时,系统作功42J,问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时,外界对系统作功为84J,试问系统是吸热还 是放热?热量传递是多少? 题7-10图 解:由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q=△E+A △E=O-A=350-126=224J abd过程,系统作功A=42J Q=△E+A=224+42=266J系统吸收热量 ba过程,外界对系统作功A=-84J O=△E+A=-224-84=-308J系统放热 7-111mol单原子理想气体从300K加热到350K,问在下列两过程中吸收了多少热量?增加 了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变 (2)压力保持不变 解:(1)等体过程 由热力学第一定律得Q=△E 吸热 Q=△E=UC√(72-11)=U=R(T2-T1) Q=△E=×8.31×(350-300)=62325J 对外作功 (2)等压过程
4 7-9 根据 − = B A B A T Q S S d 可逆 及 − B A B A T Q S S d 不可逆 ，这是否说明可逆过程的熵变大于 不可逆过程熵变?为什么?说明理由． 答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有 关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中， 系统的热温比之和小于熵变． 7-10 如题7-10图所示，一系统由状态 a 沿 acb 到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统， 而系统作功126 J． (1)若沿 adb 时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态 b 沿曲线 ba 返回状态 a 时，外界对系统作功为 84 J，试问系统是吸热还 是放热?热量传递是多少? 题 7-10 图 解：由 abc 过程可求出 b 态和 a 态的内能之差 Q = E + A E = Q − A = 350 −126 = 224 J abd 过程，系统作功 A = 42 J Q = E + A = 224 + 42 = 266 J 系统吸收热量 ba 过程，外界对系统作功 A = −84 J Q = E + A = −224 − 84 = −308 J 系统放热 7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加 了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程 由热力学第一定律得 Q = E 吸热 ( ) 2 ( ) V 2 1 R T2 T1 i Q = E = C T −T = − 8.31 (350 300) 623.25 2 3 Q = E = − = J 对外作功 A = 0 (2)等压过程
Q=Cp(72-7)=b--R(72-T1) 5 吸热 Q=×8.31×(350-300)=1038.75 △E=Cy(72-T1) 内能增加 △E=×8.31×(350-300)=62325J 对外作功 A=Q-△E=103875-6235=415.5J 7-12一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mml,比热容比为y的理想气体,整个容器以速 度v运动,若容器突然停止运动,求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内 解:整个气体有序运动的能量为mu2,转变为气体分子无序运动使得内能增加,温度变 化 △E=Cv△T=-mu △T=-M Mmou(r-1) C 2R 7-130.01m3氮气在温度为300K时,由0.1MPa(即1atm)压缩到10MPa.试分别求氮 气经等温及绝热压缩后的(1)体积;(2)温度:(3)各过程对外所作的功 解:(1)等温压缩 T=300K 由pV1=P2V2求得体积 2=P。1 =×0.01=1×10-3m P210 对外作功 A=VRT In 2=p, VI PL P ×1013×105×001×hn001 =-467×103J (2)绝热压缩C R y5 由绝热方程pV=P2V2V2 P
5 ( ) 2 2 ( ) P 2 1 R T2 T1 i Q C T T − + = − = 吸热 8.31 (350 300) 1038.75 2 5 Q = − = J ( ) E =CV T2 −T1 内能增加 8.31 (350 300) 623.25 2 3 E = − = J 对外作功 A = Q − E = 1038.75 − 623.5 = 415.5 J 7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为 Mmol ，比热容比为 的理想气体，整个容器以速 度 v 运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内 能)． 解：整个气体有序运动的能量为 2 2 1 mu ，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变 化 2 V 2 1 C T mu M m E = = ( 1) 2 1 1 2 1 2 mol V 2 = mol = M u − C R T M u 7-13 0.01 m3 氮气在温度为 300 K 时，由 0.1 MPa(即 1 atm)压缩到 10 MPa．试分别求氮 气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T = 300 K 由 p1V1 = p2V2 求得体积 3 2 1 1 2 0.01 1 10 10 1 − = = = p p V V 3 m 对外作功 2 1 1 1 2 ln ln p p p V V V A =VRT = 1 1.013 10 0.01 ln 0.01 5 = 3 = −4.6710 J (2)绝热压缩 C R 2 5 V = 5 7 = 由绝热方程 p1V1 = p2V2 1/ 2 1 1 2 ( ) p p V V =
pI p3 0.01=1.93×10 由绝热方程Tp=72p2得 P 3004×(10)04T2=5 热力学第一定律O=△E+A,O=0 所以 A C(72-T) M MRT,A=_P,5 M Rr2K(2-7) 1.013×10×0.0015 A 300 ×(579-300=-23.5×103J 7-14理想气体由初状态(P1,H1)经绝热膨胀至末状态(P2,V2)·试证过程中气体所作的功 1I 式中y为气体的比热容比 答:证明:由绝热方程 pH=P2V2=C得P=P1 A dv p, VI PI A=-P1i' (2+-V1+)
6 1 1 2 1/ 1 2 1 1 2 ( ) ( ) V p p p p V V = = 4 3 1 ) 0.01 1.93 10 10 1 ( − = = m 由绝热方程 − − − = 2 2 1 T1 p1 T p 得 300 (10) 2 579K 1.4 0.4 1 1 1 1 2 2 = = = − − T p T p T 热力学第一定律 Q = E + A，Q = 0 所以 ( ) 2 1 mol C T T M M A = − V − RT M M pV mol = ， ( ) 2 5 2 1 1 1 1 R T T RT p V A = − − 3 5 (579 300) 23.5 10 2 5 300 1.013 10 0.001 − = − A = − J 7-14 理想气体由初状态 ( , ) p1 V1 经绝热膨胀至末状态 ( , ) p2 V2 ．试证过程中气体所作的功 为 1 1 1 2 2 − − = p V p V A ，式中 为气体的比热容比. 答：证明： 由绝热方程 pV = pV = p V = C 1 1 2 2 得 V p p V 1 = 1 1 = 2 1 d V V A p V − − − − = = − 2 1 ) 1 1 ( 1 d 1 1 1 2 1 1 1 1 V V r V V pV v v A pV [( ) 1] 1 1 2 1 1 1 − − = − − V p V V 又 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 − + − + − − = − V V p V A
P, VV+-P2V2V2t 所以 A=P11-p22 7-151mol的理想气体的TV图如题7-15图所示,ab为直线,延长线通过原点0.求ab 过程气体对外做的功 题7-15图 解:设T=KT由图可求得直线的斜率K为 K To 得过程方程 K 由状态方程 pV=URT URT cb过程气体对外作功 A dl=[R d V21 Pvo odv=RT 7-16某理想气体的过程方程为 aa为常数,气体从V膨胀到V2·求其所做的功 解:气体作功 "d=(- 7-17设有一以理想气体为工质的热机循环,如题7-17图所示.试证其循环效率为
7 1 1 2 2 2 1 1 1 1 − − = − + − + p V V p V V 所以 1 1 1 2 2 − − = p V p V A 7-15 1 mol 的理想气体的 T-V 图如题 7-15 图所示， ab 为直线，延长线通过原点 O．求 ab 过程气体对外做的功． 题 7-15 图 解：设 T = KV 由图可求得直线的斜率 K 为 0 0 2V T K = 得过程方程 V V T K 0 0 2 = 由状态方程 pV = RT 得 V RT p = ab 过程气体对外作功 = 0 0 2 d V v A p V = = = = 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 d 2 d 2 d V V V v V V RT V V RT V V V T V R V V RT A 7-16 某理想气体的过程方程为 Vp a,a 1/ 2 = 为常数，气体从 V1 膨胀到 V2 ．求其所做的功． 解：气体作功 = 2 1 d V v A p V = = − = − − 2 1 2 1 ) 1 1 d ( ) ( 1 2 2 1 2 2 2 V V V V V V a V a V V a A 7-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题 7-17 图所示．试证其循环效率为
pI 答:等体过程 吸热 =uCV(72-T) 旦=g=Cv( 绝热过程 Q2=0 等压压缩过程 放热 Q2=Cp(72-T) Q2=|=-x(72-7) CP/P2l RR 循环效率 2=1-C(p Q Cv(p2-p2v2 少≈1,(v1y=1) (P1/P2-1) 题7-17图 题7-19图 7-18一卡诺热机在1000K和300K的两热源之间工作,试计算 (1)热机效率; (2)若低温热源不变,要使热机效率提髙到80%,则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变,要使热杋效率提髙到80%,则低温热源温度需降低多少? 解:(1)卡诺热机效率少=1
8 1 1 1 2 1 2 1 − − = − p p V V 答：等体过程 吸热 ( ) Q1 = CV T2 −T1 ( ) 1 2 2 1 1 1 V R p V R pV Q = Q = C − 绝热过程 Q3 = 0 等压压缩过程 放热 ( ) Q2 = Cp T2 −T1 ( ) Q2 Q2 = − CP T2 −T1 = ( ) 2 1 2 2 P R p V R p V = C − 循环效率 1 2 1 Q Q = − ( / 1) ( / 1) 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 V 1 2 2 2 p 2 1 2 2 1 2 − − = − − − = − = − p p C pV p V C p V p V Q Q 题7-17图 题7-19图 7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率； (2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到 80%，则低温热源温度需降低多少? 解：(1)卡诺热机效率 1 2 1 T T = −
300 =70% (2)低温热源温度不变时,若 30080% 要求T=1500K,高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时,若 80% 1000 要求T2=200K,低温热源温度需降低100K 7-19如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程,其中AB和CD是等压过程,BC 和DA为绝热过程,已知B点和C点的温度分别为T2和73求此循环效率.这是卡诺循环 解:(1)热机效率 O2 O AB等压过程 C=Cp(72-7 吸热 CpT8-T) M CD等压过程 C=vCP (T-T) 放热 O2 Cp(TC-TD) 0, T-TD T(1-Tp/To) Q TR-TA TR(-T/TB 根据绝热过程方程得到 AD绝热过程 PAT=Pp TD BC绝热过程 Pg T8= PcTC PA=p Pc=pD T TB 7=1 T3 72
9 70% 1000 300 = 1− = (2)低温热源温度不变时，若 80% 300 1 1 = − = T 要求 T1 =1500 K，高温热源温度需提高 500 K (3)高温热源温度不变时，若 80% 1000 1 2 = − = T 要求 T2 = 200 K，低温热源温度需降低 100 K 7-19 如题 7-19 图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中 AB 和 CD 是等压过程， BC 和 DA 为绝热过程，已知 B 点和 C 点的温度分别为 T2 和 T3 ．求此循环效率．这是卡诺循环 吗? 解：(1)热机效率 1 2 1 Q Q = − AB 等压过程 ( ) Q1 = CP T2 −T1 吸热 ( ) P mo 1 B A l C T T M M Q = − CD 等压过程 ( ) 2 P T2 T1 Q = vC − 放热 ( ) P mol 2 2 C TC TD M M Q = −Q = − (1 / ) (1 / ) 1 2 B A B C D C B A C D T T T T T T T T T T Q Q − − = − − = 根据绝热过程方程得到 AD 绝热过程 − − − − pA TA = pD TD 1 1 BC 绝热过程 − − − − pB TB = pC TC 1 1 1 又 C B D A B C D T T T T p = p p = p = 2 3 1 T T = −
(2)不是卡诺循环,因为不是工作在两个恒定的热源之间 7-20(1)用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000J的热量传向27℃的热源,需要 多少功?从-173℃向27℃呢? (2)一可逆的卡诺机,作热机使用时,如果工作的两热源的温度差愈大,则对于作功就 愈有利.当作致冷机使用时,如果两热源的温度差愈大,对于致冷是否也愈有利?为什么? 解:(1)卡诺循环的致冷机 e=92=-72 7℃→27℃时,需作功 Q3=300280 A=- 280×1000=714J 173℃→27℃时,需作功 A2=-2g2=3010 1000=2000J 100 (②)从上面计算可看到,当高温热源温度一定时,低温热源温度越低,温度差愈大,提取同 样的热量,则所需作功也越多,对致冷是不利的 7-21如题7-21图所示,1mol双原子分子理想气体,从初态V=20L,T1=300k经历三 种不同的过程到达末态H2=40L,72=300K·图中1→2为等温线,1→4为绝热线,4→2 为等压线,1→3为等压线,3→2为等体线.试分别沿这三种过程计算气体的熵变 题7-21图 解:1→>2熵变 等温过程dO=dA,dA=pd pV=RT S,-S=2d_1r2R1 S,=RIn 2 Rh2=576J·K 1→2→3熵变
10 (2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间． 7-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要 多少功?从-173℃向27℃呢? (2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就 愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机 1 2 2 2 T T T A Q e − = = 静 7 ℃→ 27 ℃时，需作功 1000 71.4 280 300 280 2 2 1 2 1 = − = − = Q T T T A J −173 ℃→ 27 ℃时，需作功 1000 2000 100 300 100 2 2 1 2 2 = − = − = Q T T T A J (2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同 样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的． 7-21 如题 7-21 图所示，1 mol 双原子分子理想气体，从初态 V1 = 20L,T1 = 300K 经历三 种不同的过程到达末态 V2 = 40L,T2 = 300K ． 图中 1→2 为等温线，1→4 为绝热线，4→2 为等压线，1→3 为等压线，3→2 为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变． 题 7-21 图 解： 1→2 熵变 等温过程 dQ = dA , dA = pdV pV = RT − = = 2 1 1 1 2 1 2 1 d d 1 V V V V RT T T Q S S ln ln 2 5.76 ! 2 2 − 1 = = R = V V S S R J 1 K − 1→2 →3 熵变