习题八 8-1电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解:如题8-1图示 (1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q为负电荷 cos30° 4πEo√3 解得 q (2)与三角形边长无关 题8-1图 题8-2图 8-2两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电 量,静止时两线夹角为2,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计,求每个小球所带的电量 解:如题8-2图示 Tcos0= mg Tsin 0=Fe 4TEo(2Isin 0) 解得q=2lsiO√4 TEo mg tan 8 8-3根据点电荷场强公式E ,当被考察的场点距源点电荷很近(r 0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?
1 习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q 为负电荷 0 2 2 2 0 ) 3 3 ( 4π 1 cos30 4π 1 2 a qq a q = 解得 q q 3 3 = − (2)与三角形边长无关． 题 8-1 图 题 8-2 图 8-2 两小球的质量都是 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电 量，静止时两线夹角为2 ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题 8-2 图示 = = = 2 2 0 4π (2 sin ) 1 sin cos l q T F T mg e 解得 q = 2lsin 4 0mg tan 8-3 根据点电荷场强公式 2 4 0 r q E = ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解:-4x26仅对点电荷成立,当r→0时,带电体不能再视为点电 荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大 8-4在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分 别为+q和-q·则这两板之间有相互作用力f,有人说∫= 又有人 4丌E.d 说,因为f=qE,E=,所以f=9,试间这两种说法对吗?为什么? Es E ∫到底应等于多少? 解:题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的,第二种说法把合场强E=9看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的.正确解答应为一个板的电场为E=9,另一板受它的作用 力∫=q q,这是两板间相互作用的电场力 EoS eOs 8-5一电偶极子的电矩为p=ql,场点到偶极子中心0点的距离为r,矢量F 与l的夹角为6,(见题8-5图),且r>>l.试证P点的场强E在r方向上的分 量E,和垂直于r的分量E分别为 cOS 6 6 E E 40 证:如题8-5所示,将p分解为与F平行的分量psnO和垂直于F的分量
2 解: 2 0 4π 0 r r q E = 仅对点电荷成立，当 r →0 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有 A ，B 两平行板，相对距离为 d ，板面积为 S ，其带电量分 别为+ q 和- q ．则这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f = 2 0 2 4 d q ,又有人 说，因为 f = qE , S q E 0 = ，所以 f = S q 0 2 ．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的，第二种说法把合场强 S q E 0 = 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 S q E 2 0 = ，另一板受它的作用 力 S q S q f q 0 2 2 0 2 = = ，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为 p ql = ，场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r 与 l 的夹角为 ,(见题8-5图)，且 r l ．试证P点的场强 E 在 r 方向上的分 量 Er 和垂直于 r 的分量 E 分别为 Er = 3 2 0 cos r p , E = 3 4 0 sin r p 证: 如题 8-5 所示，将 p 分解为与 r 平行的分量 p sin 和垂直于 r 的分量 p sin ． ∵ r l
∴场点P在r方向场强分量 Er pcos 6 2πEor 垂直于r方向,即θ方向场强分量 E=Pso ping 题8-5图 题8-6图 8-6长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=50X109C·m的 正电荷试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强 (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强 解:如题8-6图所示 (1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为 dE P4πEc 401(a-x)2 4 用l=15cm,4=50×10-C·m-1,a=125cm代入得
3 ∴ 场点 P 在 r 方向场强分量 3 2π 0 cos r p Er = 垂直于 r 方向，即 方向场强分量 3 0 0 4π sin r p E = 题 8-5 图 题 8-6 图 8-6 长 l =15.0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 =5.0x10-9C·m -1 的 正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距 1 a =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 2 d =5.0cm 处 Q 点的场强． 解： 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为 2 0 ( ) d 4π 1 d a x x EP − = 2 2 0 2 ( ) d 4π d a x x E E l P P l − = = − ] 2 1 2 1 [ 4π 0 l a l a + − − = π (4 ) 2 2 0 a l l − = 用 l =15 cm， 9 5.0 10− = 1 C m − , a =12.5 cm 代入得
Ep=674×102NC方向水平向右 (2)同理dEQ24x0x2+d adx方向如题8-6图所示 由于对称性dE=0,即E。只有y分量, 1 adx 4 d Eo =dEar"4Ts2 i(x+d2) 2+4d 以2=50×10-C·cm-,l=15cm,d2=5cm代入得 EQ=E0,=1496×102N.C-,方向沿y轴正向 8-7一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O点的场 强 解:如8-7图在圆上取dl=Rdp 题8-7图 dq=Adl=Rdp,它在O点产生场强大小为 dE ARdo 方向沿半径向外 4πEnR
4 2 EP = 6.7410 1 N C − 方向水平向右 (2)同理 2 2 2 0 d d 4π 1 d + = x x EQ 方向如题 8-6 图所示 由于对称性 = l dEQx 0 ，即 EQ 只有 y 分量， ∵ 2 2 2 2 2 2 2 0 d d d d 4π 1 d + + = x x x EQy 2 2 4π d d = = l EQy EQy − + 2 2 2 3 2 2 2 ( d ) d l l x x 2 2 2 2π 0 + 4d = l l 以 9 5.0 10− = 1 C cm− , l =15 cm, d2 = 5 cm 代入得 2 EQ = EQy =14.9610 1 N C − ，方向沿 y 轴正向 8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 O 点的场 强． 解: 如 8-7 图在圆上取 dl = Rd 题 8-7 图 dq = dl = Rd ，它在 O 点产生场强大小为 2 4π 0 d d R R E = 方向沿半径向外
sin dop 4πE。R de= dE cos(T-o)= cos do 4πEnR 积分E 4IE p sin od 2πE。R cos d=0 4πER E=E ,方向沿x轴正向 2兀E0R 8-8均匀带电的细线弯成正方形,边长为l,总电量为q.(1)求这正方形轴 线上离中心为r处的场强E;(2)证明:在r>>l处,它相当于点电荷q产生 的场强E 解:如8-8图示,正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图,大 小为 de= a(cose, -cos0,) 4πEn cose cos e =-cos 6
5 则 sin d 4π d d sin 0R Ex = E = cos d 4π d d cos( ) 0R Ey E − = − = 积分 R R Ex 0 0 0 2π sin d 4π = = cos d 0 4π 0 0 = − = R Ey ∴ R E Ex 2π 0 = = ，方向沿 x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q ．(1)求这正方形轴 线上离中心为 r 处的场强 E ；(2)证明：在 r l 处，它相当于点电荷 q 产生 的场强 E ． 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷 4 q 在 P 点产生物强 EP d 方向如图，大 小为 ( ) 4 4π cos cos d 2 2 0 1 2 l r EP + − = ∵ 2 2 cos 2 2 1 l r l + = 2 1 cos = −cos
dEp在垂直于平面上的分量dE= dEp coS B 4πE。1r2+ dEp 题8-8图 由于对称性,P点场强沿OP方向,大小为 En=4×dE 4/11 E 方向沿OP 8-9(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示,在 点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平面轴线上的A点处,求: 通过圆平面的电通量.(a= arctan 解:(1)由高斯定理Ed5=4
6 ∴ 4 2 4π d 2 2 2 2 0 l r l l r EP + + = EP d 在垂直于平面上的分量 dE⊥ = dEP cos ∴ 4 2 4 4π d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E + + + ⊥ = 题 8-8 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为 2 ) 4 4π ( 4 4 d 2 2 2 2 0 l r l r lr EP E + + = ⊥ = ∵ l q 4 = ∴ 2 ) 4 4π ( 2 2 2 2 0 l r l r qr EP + + = 方向沿 OP 8-9 (1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在 点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面． q 在该平面轴线上的 A 点处，求： 通过圆平面的电通量．( x R = arctan ) 解: (1)由高斯定理 0 d q E S s =
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等 各面电通量 (2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的 立方体中心,则边长2a的正方形上电通量60 对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则d。=9 24E0 如果它包含q所在顶点则Φ。=0 如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图 题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为√R2+x2的球冠面 的电通量,球冠面积* S=2m(R2+x2)1 40 E04π(R2+x2) R2+ *关于球冠面积的计算:见题8-9(c)图
7 立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 6 0 q e = ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 2a 的立方体，使 q 处于边长 2a 的 立方体中心，则边长 2a 的正方形上电通量 6 0 q e = 对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则 24 0 q e = ， 如果它包含 q 所在顶点则 e = 0． 如题 8-9(a)图所示．题 8-9(3)图 题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图 (3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 2 2 R + x 的球冠面 的电通量，球冠面积* 2π( )[1 ] 2 2 2 2 R x x S R x + = + − ∴ 4π( ) 2 2 0 0 R x q S + = 2 0 q = [ 2 2 1 R x x + − ] *关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图 = 0 S 2πrsin rd
sIn a 2Tr(1-cosa) 8-10均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×10-3C·m3 求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强 解:高斯定理「E.ds∑q q ,E4r2= Eo 当r=5cm时,∑q=0,E=0 r=8cm时,∑q E 一≈348×104N.C-1,方向沿半径向外 ∑q 4: ≈410×104N·C-沿半径向外 4πE0 8-11半径为R和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别 带有电量和-,试求:(1)rR2处各点 的场强 解:高斯定理Ed=2 取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2π 则 E2πr 对(1) r<R∑q=0,E=0
8 = 0 2 2πr sin d 2π (1 cos ) 2 = r − 8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× 5 10 − C·m -3 求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理 0 d = q E S s , 0 2 4π = q E r 当 r = 5 cm 时， q = 0 , E = 0 r = 8 cm 时， q 3 4π = p 3 (r ) 3 − r内 ∴ ( ) 2 0 3 2 4π 3 4π r r r E − 内 = 4 3.4810 1 N C − ， 方向沿半径向外． r = 12 cm 时, 3 4π q = − 3 (r外 r内 3） ∴ ( ) 4 2 0 3 3 4.10 10 4π 3 4π − = r r r E 外 内 1 N C − 沿半径向外. 8-11 半径为 R1 和 R2 ( R2 ＞ R1 )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别 带有电量 和- ,试求:(1) r ＜ R1 ；(2) R1 ＜ r ＜ R2 ；(3) r ＞ R2 处各点 的场强． 解: 高斯定理 0 d = q E S s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S = 2πrl 则 E S E rl S d = 2π 对(1) R1 r q = 0,E = 0
R<r<R2∑q=1 E 沿径向向外 2πEo R2∑q=0 E=0 题8-12图 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和a2 试求空间各处场强 解:如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为O1与a2, 两面间,E=(01-02 1面外,E=-(σ1+2 2面外,E=(G1+a2 2 万:垂直于两平面由G面指为G,面 8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为p,若在球内挖去一块半 径为r<R的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心O与O点的场强, 并证明小球空腔内的电场是均匀的 解:将此带电体看作带正电p的均匀球与带电-P的均匀小球的组合,见 题8-13图(a) (1)+p球在O点产生电场E10=0
9 (2) 1 R2 R r q = l ∴ r E 2π 0 = 沿径向向外 (3) R2 r q = 0 ∴ E = 0 题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1 和 2 ， 试求空间各处场强． 解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， 两面间， E n ( ) 2 1 1 2 0 = − 1 面外， E n ( ) 2 1 1 2 0 = − + 2 面外， E n ( ) 2 1 1 2 0 = + n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面． 8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半 径为 r ＜ R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O 点的场强， 并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 − 的均匀小球的组合，见 题 8-13 图(a)． (1) + 球在 O 点产生电场 E10 = 0
p球在O点产生电场E20= 4πEnd O点电场E0=200 and 2)+p在O产生电场E5如p p球在O产生电场E20=0 O’点电场En=DOo 题8-13图(a) 题8-13图(b) (3)设空腔任一点P相对O的位矢为F,相对O点位矢为产(如题8-13(b) 则 Po 380 ∴腔内场强是均匀的. 8-14一电偶极子由q=1.0×10°℃的两个异号点电荷组成,两电荷距离 d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×105N·C的外电场中,求外电场作用于 电偶极子上的最大力矩
10 − 球在 O 点产生电场 ' 4π d π 3 4 3 0 3 20 OO r E = ∴ O 点电场 ' 3 d 3 0 3 0 OO r E = ； (2) + 在 O 产生电场 ' 4π d d 3 4 3 0 3 E10 OO = − 球在 O 产生电场 E20 = 0 ∴ O 点电场 0 0 3 E = OO' 题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) (3)设空腔任一点 P 相对 O 的位矢为 r ，相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b) 图) 则 3 0 r EPO = ， 3 0 r EPO = − , ∴ 0 0 3 0 ' 3 ( ) 3 d EP EPO EPO r r OO = + = − = = ∴腔内场强是均匀的． 8-14 一电偶极子由 q =1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离 d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105 N·C -1 的外电场中，求外电场作用于 电偶极子上的最大力矩．