习题 2-1一细绳跨过一定滑轮,绳的一边悬有一质量为m1的物体,另一边穿在质量为m2的圆 柱体的竖直细孔中,圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升,柱体相对于绳 子以匀加速度a′下滑,求m,m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦 力(绳轻且不可伸长,滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计) 解:因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为a1,其对于m2则为牵连加速度,又知m2 对绳子的相对加速度为a’,故m2对地加速度,由图(b)可知,为 又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力∫在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律 有 m,g-T=m,a 7-m2g=m2a2 联立①、②、③式,得 (m-m,)g+ m,a (m,-m,)g-m,a m1+m2 m,+ m2 讨论(1)若a′=0,则a1=a,表示柱体与绳之间无相对滑动 (2)若a′=2g,则T=f=0,表示柱体与绳之间无任何作用力,此时m1,m2均作自由 落体运动 22一个质量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为a)上以初速度v运动,v的方向 与斜面底边的水平线AB平行,如图所示,求这质点的运动轨道 解:物体置于斜面上受到重力mg,斜面支持力N.建立坐标:取而方向为X轴,平行斜
1 习题二 2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 m1 的物体，另一边穿在质量为 m2 的圆 柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳 子以匀加速度 a 下滑，求 m1， m2 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦 力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1 a ，其对于 m2 则为牵连加速度，又知 m2 对绳子的相对加速度为 a ，故 m2 对地加速度，由图(b)可知，为 a = a − a 2 1 ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律， 有 m1g −T = m1a1 ② T − m2 g = m2a2 ③ 联立①、②、③式，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (2 ) ( ) ( ) m m m m g a f T m m m m g m a a m m m m g m a a + − = = + − − = + − + = 讨论 (1)若 a = 0 ，则 a1 = a2 表示柱体与绳之间无相对滑动． (2)若 a = 2g ，则 T = f = 0 ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 m1 , m2 均作自由 落体运动． 题 2-1 图 2-2 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0 v 运动， 0 v 的方向 与斜面底边的水平线 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道． 解: 物体置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐标：取 0 v 方向为 X 轴，平行斜
面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2 题2-2图 X方向: F2=0 x= vot Y方向 F=mosin a=ma y rsin 由①、②式消去1,得 23质量为16kg的质点在xO平面内运动,受一恒力作用,力的分量为f1=6N,J, 0.求 当t=2s时质点的(1)位矢;(②2)速度 f263 ms 16 7 于是质点在2s时的速度
2 面与 X 轴垂直方向为 Y 轴.如图 2-2. 题 2-2 图 X 方向： Fx = 0 x v t = 0 ① Y 方向： Fy = mg = may sin ② t = 0 时 y = 0 vy = 0 2 sin 2 1 y = g t 由①、②式消去 t ，得 2 2 0 sin 2 1 g x v y = 2-3 质量为16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 x f ＝6 N， y f ＝ -7 N，当 t ＝0时， x = y = 0， x v ＝-2 m·s -1， y v ＝0．求 当 t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度． 解： 2 m s 8 3 16 6 − = = = m f a x x 2 m s 16 7 − − = = m f a y y (1) − − = − − = + = = + = − + = − 2 0 1 0 1 2 0 0 m s 8 7 2 16 7 m s 4 5 2 8 3 2 v v a dt v v a dt y y y x x x 于是质点在 2s 时的速度 1 m s 8 7 4 5 − v = − i − j (2)
=(mn+a12)+a12 =(-2×2+×=×4)+ 2-4质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用,【=0时质点的 速度为v,证明(1)t时刻的速度为v=vem;(2)由0到t的时间内经过的距离为 x=("0)[1-em"]:(3)停止运动前经过的距离为n(m):(4)证明当t=m/k时速 k 度减至v的一,式中m为质点的质量 答:(1) 分离变量,得 d kdt n -kdt =ne x=Jud=ned="0(1-。- (3)质点停止运动时速度为零,即t→∞, 故有 voe at (4)当t=一时,其速度为 k m V=v =e-= 即速度减至v0的 2-5升降机内有两物体,质量分别为m,m2’且m2=2m·用细绳连接,跨过滑轮,绳子
3 m 8 7 4 13 ) 4 16 7 ( 2 1 4) 8 3 2 1 ( 2 2 2 1 ) 2 1 ( 2 2 0 i j i j r v t a t i a t j x y = − − − = − + + = + + 2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv ( k 为常数)作用， t =0时质点的 速度为 0 v ，证明(1) t 时刻的速度为 v ＝ t m k v e ( ) 0 − ；(2) 由0到 t 的时间内经过的距离为 x＝( k mv0 )［1- t m k e −( ) ］；(3)停止运动前经过的距离为 ( ) 0 k m v ；(4)证明当 t = m k 时速 度减至 0 v 的 e 1 ，式中m为质点的质量． 答: (1)∵ t v m kv a d d = − = 分离变量，得 m k t v dv − d = 即 − = v v t m k t v v 0 0 d d m kt e v v − ln = ln 0 ∴ t m k v v e − = 0 (2) − − = = = − t t t m k m k e k mv x v t v e t 0 0 0 d d (1 ) (3)质点停止运动时速度为零，即 t→∞， 故有 − = = 0 0 0 d k mv x v e t t m k (4)当 t= k m 时，其速度为 e v v v e v e k m m k 1 0 = 0 = 0 = − − 即速度减至 0 v 的 e 1 . 2-5 升降机内有两物体，质量分别为 m1， m2 ，且 m2＝2 m1 ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子
不可伸长,滑轮质量及一切摩擦都忽略不计,当升降机以匀加速a=-g上升时,求:(1) m4和m2相对升降机的加速度.(2)在地面上观察m1,m2的加速度各为多少? 解:分别以m1,m2为研究对象,其受力图如图(b)所示 (1)设m2相对滑轮即升降机)的加速度为a’,则m2对地加速度a2=a-a;因绳不可伸长, 故m对滑轮的加速度亦为a,又m在水平方向上没有受牵连运动的影响,所以m1在水平 方向对地加速度亦为d',由牛顿定律,有 T=m(a-a T=.a 题2-5图 联立,解得a’=g方向向下 (2)m2对地加速度为 g方向向上 m在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即a绝=a相+a牵 √5 θ= arctan= arctan=266°,左偏上 2-6一质量为m的质点以与地的仰角6=30°的初速W从地面抛出,若忽略空气阻力,求质 点落地时相对抛射时的动量的增量 解:依题意作出示意图如题2-6图
4 不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 a ＝ 2 1 g上升时，求：(1) m1 和 m2 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察 m1，m2 的加速度各为多少? 解: 分别以 m1 , m2 为研究对象，其受力图如图(b)所示． (1)设 m2 相对滑轮(即升降机)的加速度为 a ，则 m2 对地加速度 a2 = a − a ；因绳不可伸长， 故 m1 对滑轮的加速度亦为 a ，又 m1 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 m1 在水平 方向对地加速度亦为 a ，由牛顿定律，有 ( ) m2 g −T = m2 a − a T = m a 1 题 2-5 图 联立，解得 a = g 方向向下 (2) m2 对地加速度为 2 2 g a = a − a = 方向向上 m1 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 a绝 a相 a牵 = + ' ∴ g g a a a g 2 5 4 2 2 2 2 1 = + = + = a a = arctan o 26.6 2 1 = arctan = ，左偏上． 2-6一质量为 m 的质点以与地的仰角 =30°的初速 0 v 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质 点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题 2-6 图
题2-6图 在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性,故末速度与x轴夹角亦为30°,则动量的增量为 由矢量图知,动量增量大小为mo|,方向竖直向下 2-7一质量为m的小球从某一高度处水平抛出,落在水平桌面上发生弹性碰撞.并在抛出 ls,跳回到原髙度,速度仍是水平方向,速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过 程中,桌面给予小球的冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中,小球的动量是否守恒? 解:由题知,小球落地时间为0.5s.因小球为平抛运动,故小球落地的瞬时向下的速度大 小为v1=gt=0.5g8,小球上跳速度的大小亦为v2=0.5g8·设向上为y轴正向,则动量的 增量 4=m2-mm1方向竖直向上, 大小 =m2-(-m1)=mg 碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中,小球受到地面给予的冲力作用.另外,碰 撞前初动量方向斜向下,碰后末动量方向斜向上,这也说明动量不守恒 28作用在质量为10kg的物体上的力为F=(10+2)iN,式中t的单位是s,(1)求4s后, 这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体的冲量.(2)为了使这力的冲量为200N·s 该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6jm·s的物体, 回答这两个问题 解:(1)若物体原来静止,则 与=Fd=(10+2id=56kgms,沿x轴正向, Ai,=4=56m,s-7 若物体原来具有-6m·s-初速,则 P0=-m0,p=m(-0+d=-m0+Fd于是
5 题 2-6 图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为 o 30 ，则动量的增量为 0 p mv mv = − 由矢量图知，动量增量大小为 0 mv ，方向竖直向下． 2-7 一质量为 m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出 1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过 程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为 0.5 s ．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大 小为 v1 = gt = 0.5g ，小球上跳速度的大小亦为 v2 = 0.5g ．设向上为 y 轴正向，则动量的 增量 2 1 p mv mv = − 方向竖直向上， 大小 p = mv2 − (−mv1 ) = mg 碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰 撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒． 2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为 F t i = (10 + 2 ) N，式中 t 的单位是s，(1)求4s后， 这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s， 该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j − 6 m·s -1的物体, 回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则 p F t t i t i t 1 0 4 0 1 d (10 2 ) d 56 kg m s − = = + = ,沿 x 轴正向， I p i i m p v 1 1 1 1 1 1 56 kg m s 5.6 m s − − = = = = 若物体原来具有 −6 1 m s − 初速，则 = − = − + = − + t t t mv F t m F p mv p m v 0 0 0 0 0 , ( 0 d ) d 于是
Ap2=p-po 同理 △v1,l2=1 这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大, 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理. (2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即 亦即 t2+10t-200=0 解得t=10s,(t'=20s舍去) 29一质量为m的质点在xOy平面上运动,其位置矢量为 r=acos ati bsn ati 求质点的动量及t=0到。x 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量 解:质点的动量为 p=mv= mo(asin ati bcosoy) 将t=0和t=分别代入上式,得 Pi=mobj, P2=-moar 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 Ap=p2-P p(ai +bj) 2-10一颗子弹由枪口射出时速率为vm 当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为 F=(a-b)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零, 试计算子弹走完枪筒全长所需时间:(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量 解:(1)由题意,子弹到枪口时,有 F=(a-b)=0,得t (2)子弹所受的冲量 (a-bt )dt bt 将t=代入,得
6 = − = = t p p p F t p 0 2 0 d 1 , 同理， 2 1 v v = , 2 1 I I = 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 = + = + t I t t t t 0 2 (10 2 )d 10 亦即 10 200 0 2 t + t − = 解得 t = 10 s，( t = 20 s 舍去) 2-9 一质量为 m 的质点在 xOy 平面上运动，其位置矢量为 r a ti b tj = cos + sin 求质点的动量及 t ＝0 到 2 t = 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为 p mv m ( asin ti bcos tj) = = − + 将 t = 0 和 2 t = 分别代入上式，得 p m bj 1 = , p m ai 2 = − , 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 ( ) 2 1 I p p p m ai bj = = − = − + 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 1 0m s − v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( a −bt )N( a,b 为常数)，其中 t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零， 试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 F = (a − bt) = 0 ,得 b a t = (2)子弹所受的冲量 = − = − t I a bt t at bt 0 2 2 1 ( )d 将 b a t = 代入，得 b a I 2 2 =
(3)由动量定理可求得子弹的质量 n= 2-11一炮弹质量为m,以速率ν飞行,其内部炸药使此炮弹分裂为两块,爆炸后由于炸药 使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的k倍,如两者仍沿原方向飞行,试证 其速率分别为 km 证明:设一块为m1,则另一块为m2 km2及 于是得 k+1 k+1 又设m1的速度为v1,m2的速度为v2,则有 V+ -. v m,,+ m,V2 联立①、③解得 (k+1)v-kv 将④代入②,并整理得 2T k 于是有 Vkm 将其代入④式,有 2kT 又,题述爆炸后,两弹片仍沿原方向飞行,故只能取 Vki 2-12设F合=7-6八N.(1)当一质点从原点运动到F=-3+4j+16km时,求F所作 的功.(2)如果质点到r处时需0.6s,试求平均功率.(3)如果质点的质量为1kg,试求动能 的变化
7 (3)由动量定理可求得子弹的质量 0 2 0 2bv a v I m = = 2-11 一炮弹质量为 m ，以速率 v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药 使弹片增加的动能为 T ，且一块的质量为另一块质量的 k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证 其速率分别为 v + m 2kT , v - km 2T 证明: 设一块为 m1 ，则另一块为 m2， 1 2 m = km 及 m1 + m2 = m 于是得 1 , 1 1 2 + = + = k m m k km m ① 又设 m1 的速度为 1 v , m2 的速度为 2 v ，则有 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 T = m v + m v − mv ② 1 1 2 2 mv = m v + m v ③ 联立①、③解得 2 1 v = (k +1)v − kv ④ 将④代入②，并整理得 2 1 ( ) 2 v v km T = − 于是有 km T v v 2 1 = 将其代入④式，有 m kT v v 2 2 = 又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 km T v v m kT v v 2 , 2 1 = + 2 = − 证毕． 2-12 设 F 7i 6 jN 合 = − ．(1) 当一质点从原点运动到 r 3i 4 j 16km = − + + 时，求 F 所作 的功．(2)如果质点到 r 处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能 的变化．
(1)由题知,FA为恒力 F·F=(71-6j)·(-3i =-21-24=-45J A45 75w Mt0.6 (3)由动能定理,AE=A=-45J 2-13以铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在 铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内1cm,问击第二次时能击入多深,假定铁锤两次打击 铁钉时的速度相同 解:以木板上界面为坐标原点,向内为y坐标正向,如题2-13图,则铁钉所受阻力为 题2-13图 第一锤外力的功为A A==y=[小y 式中∫’是铁锤作用于钉上的力,∫是木板作用于钉上的力,在d→>0时,f=- 设第二锤外力的功为A,则同理,有 k A kud 由题意,有 A2=A1=△( kk 所以 于是钉子第二次能进入的深度为 Ay=y2-y1=√2-1=0.414cm 2-14设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为Ep(r)=k/r",试求
8 解: (1)由题知， F合 为恒力， ∴ A F r (7i 6 j) ( 3i 4 j 16k ) 合 = = − − + + = −21− 24 = −45 J (2) 75 w 0.6 45 = = = t A P (3)由动能定理， E = A = −45 J k 2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在 铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击 铁钉时的速度相同． 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 y 坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为 题 2-13 图 f = −ky 第一锤外力的功为 A1 = = − = = s s k A f y f y k y y 1 0 1 2 d d d ① 式中 f 是铁锤作用于钉上的力， f 是木板作用于钉上的力，在 dt →0 时， f = − f ． 设第二锤外力的功为 A2 ，则同理，有 = = − 2 1 2 2 2 2 2 1 d y k A ky y ky ② 由题意，有 2 ) 2 1 ( 2 2 1 k A = A = mv = ③ 即 2 2 2 1 2 2 k k ky − = 所以， y2 = 2 于是钉子第二次能进入的深度为 y = y2 − y1 = 2 −1 = 0.414 cm 2-14 设已知一质点(质量为 m )在其保守力场中位矢为 r 点的势能为 n P E (r) = k /r , 试求
质点所受保守力的大小和方向 dE(r) k 方向与位矢F的方向相反,即指向力心 2-15根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端,挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B,B的下端 一重物C,C的质量为M,如题2-15图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比 解:弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时,有 B 题2-15图 FA=FB=№ 又 FA=k1△x FB=k2△ 所以静止时两弹簧伸长量之比为 心ykw △x 弹性势能之比为 E k. Ax 2-16(1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P,距月球表面的距离是多少?地 球质量5.98×102kg,地球中心到月球中心的距离384×10m,月球质量7.35×102kg,月 球半径1.74×10m.(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零,那么 它在P点的势能为多少? 解:(1)设在距月球中心为r处F月引=F地引,由万有引力定律,有 5G物
9 质点所受保守力的大小和方向． 解: 1 d d ( ) ( ) + = = − n r nk r E r F r 方向与位矢 r 的方向相反，即指向力心． 2-15 一根劲度系数为 1 k 的轻弹簧 A 的下端，挂一根劲度系数为 2 k 的轻弹簧 B ，B 的下端 一重物 C ，C 的质量为 M ，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比． 解: 弹簧 A、B 及重物 C 受力如题 2-15 图所示平衡时，有 题 2-15 图 FA = FB = Mg 又 1 1 F k x A = 2 2 F k x B = 所以静止时两弹簧伸长量之比为 1 2 2 1 k k x x = 弹性势能之比为 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 k k k x k x E E p p = = 2-16 (1)试计算月球和地球对 m 物体的引力相抵消的一点 P ，距月球表面的距离是多少?地 球质量5.98×1024 kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108 m，月球质量7.35×1022kg，月 球半径1.74×106 m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么 它在 P 点的势能为多少? 解: (1)设在距月球中心为 r 处 F月引 = F地引 ，由万有引力定律，有 ( ) 2 2 R r mM G r mM G − = 月 地
经整理,得 A+、MR 390+73102340 =38.32×10°m 则P点处至月球表面的距离为 h=r-r月=(3832-1.74)×100=366×10 (2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为 M 667×101 7.35×10 667×10-11 598×1024 383×107 (384-383)×10 =1.28×10°J 2-17由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2 的滑块组成如题2-17图所示装置,弹簧的劲度系数为k,自然长度等于水平距离BC,m2与 桌面间的摩擦系数为μ,最初m1静止于A点,AB=BC=h,绳已拉直,现令滑块落下m1, 求它下落到B处时的速率 解:取B点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有 Am,gh=-(m,+m2)v-[m,gh+k(An)] 式中M为弹簧在A点时比原长的伸长量,则 M=AC-BC=(√2-1) 联立上述两式,得 n2m08+6(52
10 经整理，得 R M M M r 地 月 月 + = = 24 22 22 5.98 10 7.35 10 7.35 10 + 8 3.4810 38.32 10 m 6 = 则 P 点处至月球表面的距离为 (38.32 1.74) 10 3.66 10 m 6 7 h = r − r月 = − = (2)质量为 1 kg 的物体在 P 点的引力势能为 (R r) M G r M EP G − = − − 月 地 ( ) 7 24 11 7 22 11 38.4 3.83 10 5.98 10 6.67 10 3.83 10 7.35 10 6.67 10 − − = − − 1.28 10 J 6 = 2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 m1 和 m2 的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为 k ，自然长度等于水平距离 BC ，m2 与 桌面间的摩擦系数为 ，最初 m1 静止于 A 点， AB ＝ BC ＝h ，绳已拉直，现令滑块落下 m1 , 求它下落到 B 处时的速率． 解: 取 B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 ( ) ] 2 1 ( ) [ 2 1 2 1 2 2 1 2 − m gh = m + m v − m gh + k l 式中 l 为弹簧在 A 点时比原长的伸长量，则 l = AC − BC = ( 2 −1)h 联立上述两式，得 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 2 2 1 m m m m gh k h v + − + − =