第27讲、光子晶体 1、周期结构中波的传播 1.周期结构中波的传播 电导之迷(19世纪) 导体 电子波 2.一维光子晶体总有禁带 3.电子晶体和光子晶体比较 4.光子晶体的应用 电子平均自由程 专题7:波在周期性结构中的传播 pp:45.24132che体 体理学 电子平均自由程之迷19世纪) Boch定理给出了解释! 是体导体 ·量于力学→电子是波 ⑥团团 ·在周期性结构中传播的波没有散射 期 ⑥⊕@的倍 ·解的形式为Boch波 ·而且这个极其重要的结论 ·并不依于与具体的波动方程 电导率O量 电子平均自由程 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 波在周期结构中 电子晶体[v2+(ryr)=Ev(r) 电子晶体 电子满足的不含时的 Schroedinger方程 de broglie波 Schroedinger方程 原子排列→电子能:电绝缘体 周期性势场H(r)=(r+R) 平(r)是电子波函数 ◆格波、弹性波: Newton方程、弹性波波动方程 de broglie波长如果与R相当,电子波在周期性 弹性常数材料周期排列→声波频隙:声“绝缘体” 结构传播并不自由,受约束形成 Bloch波 光子晶体 本征值性质 Iwe方程 能量和波矢近似成二次抛物线关系,存在能 电磁介质材料排列→光子频隙:光“绝缘体 ·解为Bloc波的形式—调幅平面波 XX波:Xx方程? XX介质材料排列XX“绝缘体”、“滤波器”? M45.24132gche 是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第27讲、光子晶体 1. 周期结构中波的传播 * 电子波 * 声波 * 光波 2. 一维光子晶体总有禁带 3. 电子晶体和光子晶体比较 4. 光子晶体的应用 专题7：波在周期性结构中的传播 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、周期结构中波的传播 • 电导之迷(19世纪) + + + + 导体 + e– e– r E r J = σ r 电流 E 电导率(测量) 电子平均自由程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 电子平均自由程之迷(19世纪) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 晶体导体 自由程 是周期 的108倍 e– e– r E r J = σ r 电流 E 电导率(测量) 电子平均自由程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 Bloch定理给出了解释！ • 量子力学Æ电子是波 • 在周期性结构中传播的波没有散射 * Bloch定理！ * 解的形式为Bloch波 • 而且这个极其重要的结论 * 并不依赖于与具体的波动方程！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 波在周期结构中 • 电子晶体 * de Broglie波ÆScroedinger方程 * 原子排列Æ电子能隙：电绝缘体 • 声子晶体 * 格波、弹性波：Newton方程、弹性波波动方程 * 弹性常数材料周期排列Æ声波频隙： 声“绝缘体” • 光子晶体 * 电磁波：Maxwell方程 * 电磁介质材料排列Æ光子频隙：光“绝缘体” • XX晶体？ * XX波：XX方程？ * XX介质材料排列ÆXX “绝缘体” 、“滤波器” ？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 电子晶体 • 电子满足的不含时的Schroedinger方程 • 周期性势场V(r)= V(r+R) • Ψ(r)是电子波函数 • de Broglie波长如果与R相当，电子波在周期性 结构传播并不自由，受约束形成Bloch波 • 本征值性质 * 能量和波矢近似成二次抛物线关系，存在能隙 * 解为Bloch波的形式——调幅平面波 [− ∇ +V (r)]ψ () () r = Eψ r 2 ( ) () k r k k r r − ⋅ = i ψ u e
声子晶体(2+24)N(v→u)-NxV×u=-po2u 超声波禁带 ·不含时弹性波波动方程 PRL80,1208(1998) ·p是质量密度,A和川是Lame系数,u是位移 t2E+8 ·如果p,A和山也是空间位置r的周期函数, 其解也满足 Bloch定理 a有限制,形成频率隙,某些频率不能传播 pfr=p(r+R i(r)=i(r+R) u(r)=u(r+R) E+0 u,()=U,(re-k, U,(r)=U,(r+R) H2面Bm对删时出 the fint and seson hand 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 躁音禁带 光子晶体 Vx-VxH · Science289,1734 (2000 哇胶包着铅球 SC. 1.5cm G ·不含时的 Maxwel程,H也可以以E替代 ·频率与介电常数有关,与波失成线性关系 如介电常数位的周期函数:ar)=ar+R) ·受这个周期性介电常数的约束 效负弹性系数 ·方程为本征值方程 最楼尔壽樱 解也为Boch形式 ·并不是 Bragg散射 o有限制,形成频率隙,某些频率不能传播 而是局域共振结 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 电磁波传播、散射示意图 二维光子晶体示意图 … OOoOOO 散射 对于多数λ,入射束能没有散射地通过晶体 ·但对某些A-2a,不能通过:光子禁带 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 声子晶体 • 不含时弹性波波动方程 • ρ是质量密度，λ和μ是Lame系数，u是位移 矢量 • 如果ρ，λ和μ也是空间位置r的周期函数， * 其解也满足Bloch定理 ∗ ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播 ( )( ) u u u 2 λ + 2μ ∇ ∇ • − μ∇×∇× = −ρω ρ() ( ) () r = ρ r + R ，λ r = λ(r + R) () ( ) ，μ r = μ r + R , u () () () ( ) r r k r k r R k r k = k = + − ⋅ U e U U i ， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 超声波禁带 • PRL 80, 1208 (1998) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 躁音禁带 • Science 289, 1734 (2000) • 硅胶包裹着铅球 * SC，a=1.5cm * 硬球软包裹层Æ 有效负弹性系数 * 晶格常数比带隙 波长小两个量级 • 并不是Bragg散射 * 而是局域共振结 构产生的频隙 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 光子晶体 • 不含时的Maxwell方程，H也可以以E替代 • 频率与介电常数有关，与波矢成线性关系 • 如介电常数ε是位置的周期函数： ε(r)= ε(r+R) • 受这个周期性介电常数的约束 * 方程为本征值方程 * 解也为Bloch形式 ∗ ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播 H H 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∇× ∇× = c ω ε http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 散射 电磁波传播、散射示意图 ( ) , ~ i t e k⋅r−ω E H λ π ω 2 k = / c = k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 二维光子晶体示意图 • 对于多数λ，入射束能没有散射地通过晶体 • 但对某些λ~2a，不能通过：光子禁带 ( ) , ~ i t e k⋅r−ω E H λ π ω 2 k = / c = k ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a
ID、2D、3D光子晶体示意图 三维光子晶体:完全禁带 APL77,3490(2000)上 12:1 丽鹏 ·带有光子禁带的光“绝鰾体 种p∥45.2413che國体学 体理学 制作过程示意图 自然界中的光子晶体 蝴蝶磨 PLante SoD 蛋白石 Dpea msi 45.24132che学 32-igche 体理学 Maxwel方程a(n:介电函数,有约束V.H=0 面心立方光子晶体结构 xE=-12B=1B·如果介电画 PRL63,1950(1989) ·球空气组成的人工 函数,则解 介电品体被实验观察 ⅴ×H =1E满足Bh定 到光子能带结构 H(x,) i-er) V×=V×H= 本征符 本征值本征态 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 1D、2D、3D光子晶体示意图 • 带有光子禁带的光“绝缘体” 1887 1987 2-D periodic in two directions 3-D periodic in three directions 1-D periodic in one direction http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 三维光子晶体：完全禁带 • APL 77, 3490 (2000) • ε = 12:1 I: rod layer II: hole layer http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 制作过程示意图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 自然界中的光子晶体 蝴蝶翅膀 6.21µm 孔雀羽毛 蛋白石 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 Maxwell方程 • 如果介电函 数是周期性 函数，则解 满足Bloch定 理 r ∇ × r E = − 1 c ∂ ∂t r H = i ω c r H r ∇ × r H = ε 1 c ∂ ∂t r E + r J = i ω c ε r E ∇ × 1 ε ∇ × r H = ω c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 r H 本征算符 本征值 本征态 ∇⋅ r ε(r)：介电函数，有约束 H = 0 r H ( r x ,t) = e i r k ⋅ r ( ) x −ωt r H r k ( r x ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 面心立方光子晶体结构 • PRL 63, 1950 (1989) * 球—空气组成的人工 介电晶体被实验观察 到光子能带结构
没有贯通整个 Brillouin区频隙 2、一维光子晶体都有禁带(1887) PRL65,2646(1990) ·对于均匀介质(与自由 电子气好有一比) 频率与波矢成线性关系 *在U点和Wk轴, E(r,t=U(x)e(-) 整个 Brillouin区 s(r)ax ar' 种p∥45.2413che國体学 体理学 空晶格模型 微扰法看带隙 假定有周期性 如有一微扰介电画数:x)=1+4cos(2πxa) x)6(x+a) 对4>0,则cs(x)更靠近高介电常数中心,因 此频率较低 I/a 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 3、电子晶体和光子晶体比较 电子晶体和光子晶体比较 质球搜金刚石结构排列 ·强相互作用 无相互作用 ·名种近似 ·任何精度 1.数值实验离散时闻和空间 称性和守恒定律箔给可能的态和相互作用:能带 强相互作用:困滩向题 无相互作用/筒单问题 132-iche 学 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 没有贯通整个Brillouin区频隙 • PRL 65, 2646 (1990) * 在Brillouin区的大 部分区域有赝频隙 * 在U点和W-K轴， 有简并，没有贯通 整个Brillouin区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 2、一维光子晶体都有禁带(1887) • 对于均匀介质（与自由 电子气好有一比） * 频率与波矢成线性关系 ε 1 ω k 0 ε ω ck = ( ) 2 2 2 2 2 t E x E x c ∂ ∂ = ∂ ∂ ε ( ) () i(kx t) k E x t U x e −ω , = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 空晶格模型 • 假定有周期性 ε(x) = ε(x+a) * 折叠 e + π a x , e − π a x → cos π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , sin π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ k ω -π/a 0 π/a ε 1 ε ω ck = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 微扰法看带隙 • 如有一微扰介电函数：ε(x) = 1+ Δ cos(2π x/a) • 对 Δ > 0，则cos(x)更靠近高介电常数中心，因 此频率较低 • 对 Δ << 1， Δω / ω∼ Δ / 2 禁带 ω 0 π/a sin π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos π a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 x = 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 3、电子晶体和光子晶体比较 原子按金刚石结构排列 电子能量 周期性介质 Bloch 波: 能带结构 介质球按金刚石结构排列 光子频率 强相互作用：困难问题 无相互作用：简单问题 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 电子晶体和光子晶体比较 • 电子 • 强相互作用 * 难以描写 * 各种近似 • 光子 • 无相互作用 * 容易描写 * 任何精度 1. 数值实验——离散时间和空间 2. 用对称性和守恒定律描绘可能的态和相互作用：能带 结构
电子和光子本征值问题 禁带原因 电子 光子 Hermitian本征值问题 解正交归一并满足变分原理 电子 光子 ·动能加势能取极小·动能除势能取极小 非线性本征值问题·简单线性问题 线性矩阵 关,必须自治选代求 *已有很多计算方法 高能带与低能带正交,低能带全占据,高低能带分离 振荡高动能或低介电常数(高势能) 厄密矩阵=实数本征能和频率,罔期牲= Bloch's定理 p:∥4.24I32che 心学 体理学 4、光子晶体的应用 高性能反射镜 利用频隙 ·如用无吸收材料制成的光子晶体,几乎100%反 反射镜、过滤器 射某种频率的入射光 偏振器、开关 金属? ·利用靠近频带边界的效应:群速为零或为负 在很大的频率范围内反射,但红外和光学波段有很 大的吸收 负有效质量 负折射:超校镜,起透镜 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 高效分光量 负折射光子晶体 thanee prorarrasson rough Wiae angte Spare 负折射率 聚焦 OoO 种∥45.24132kdhe园体物学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 电子和光子本征值问题 • 电子 • 非线性本征值问题 * V与电荷密度|ψ| 2有 关，必须自洽迭代求 解 • 光子 • 简单线性问题 * 线性矩阵 * 已有很多计算方法 − h2 2m ∇2 + V ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ψ = Eψ ∇ × 1 ε ∇ × r H = ω c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 r H 厄密矩阵= 实数本征能量和频率, … 周期性= Bloch’s定理… http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 禁带原因 电子 • 动能加势能取极小 光子 • 动能除势能取极小 • Hermitian本征值问题 * 解正交归一并满足变分原理 ω2 = minr E ∇ × r E 2 ∫ ε r E 2 ∫ c 2 • 高能带与低能带正交，低能带全占据，高低能带分离 • 振荡(高动能)或低介电常数 ε (高势能) E = min(T +V ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 4、光子晶体的应用 • 利用频隙 * 反射镜、过滤器 * 偏振器、开关、 * 放大器、棱镜、… • 利用靠近频带边界的效应：群速为零或为负 * 光波导 * 光聚焦器 * 负群速、负有效质量 * 负折射：超棱镜，超透镜 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 高性能反射镜 • 如用无吸收材料制成的光子晶体，几乎100%反 射某种频率的入射光 * 可制作高性能天线 • 金属？ * 在很大的频率范围内反射，但红外和光学波段有很 大的吸收 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 高效分光器 J. Opt. Soc. Am. B 18, 162 (2001) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 负折射光子晶体 PRB 62, 10696 (2000) 负折射率 聚焦 二维棒
光子晶体超级透镜 制造缺陷:微腔 波导 PRB68,045115(2003) 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 腔缺陷 腔缺陷 ,OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oo。 OOOOOO oo。o。oooo ooooo 0oo。。 OOo o oo。a。。ooo oo。。。。oo oo0。。000 oo。 ooOoooooc ooo。 Ooooo0ooooooc h:423c·体学 邮r∥452423ych·体制理学 腔缺陷频带 缺陷频带向上移动(小a a88 Boss ofphotonic Band Gap :::ggg 30fPhotonic Band SAp 处,化因 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 光子晶体超级透镜 PRB 68, 045115 (2003) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 制造缺陷：微腔 微腔 波导 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 腔缺陷 ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 腔缺陷 ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 腔缺陷频带 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Photonic Band Gap Γ X M Γ frequency (c/a) L http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 缺陷频带向上移动 (小ε) L J J J J J J J J JJJJJJJJJJJJJJJJJ J J J J J J JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ JJJ J JJJJ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Photonic Band Gap Γ X M Γ ∆k ~ π / L 束缚模 边界处，k变化，因 此不能束缚在频隙外 frequency (c/a)
点缺陷使单个模从频隙边缘向上移动 点缺陷使单个模从频隙边缘向下移动 ooooo a PHOtonic Band Gap ooooo photonic Band Gap 种p∥45.2413che國体学 体理学 制造缺陷:波导 光子晶体波导 ·传統的介电波导可以支持直线传播的光,但在 拐角处会损失能量 微腔 波导 光子晶体波导不仅对直线略径而且对转角新有 最高的效率 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 投影频带 波导不需要完全频隙 一维期 OOOOOOooo OOOOOOOOO暑 k不变 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 点缺陷使单个模从频隙边缘向上移动 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Photonic Band Gap Γ X M Γ frequency (c/a) ω0 ω curvature ~ 衰减 ω −ω0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 点缺陷使单个模从频隙边缘向下移动 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Photonic Band Gap Γ X M Γ frequency (c/a) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 制造缺陷：波导 微腔 波导 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 光子晶体波导 • 传统的介电波导可以支持直线传播的光，但在 拐角处会损失能量 • 光子晶体波导不仅对直线路径而且对转角都有 很高的效率 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 投影频带 k不变 一维周期 k不守恒 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 波导不需要完全频隙
无散射 完全频隙的好处 0O0OOOOOOOOOOOOOoo 由频隙禁 0OOOOOOOOOoOO o00000o0000040000 000000000000060000 00000000000000000 OOOOOOOOOOOOooOoo ooo0o·o 由频隙止 种p∥45.2413che國体学 m4524132he四体物理9Oooo 波导+腔=器件 展望 自组织光学波段光子晶体; 光子晶体中的物理效应 二雏半导体光子晶体; 新型电磁晶体概念 OOOOOOU seoooooo ·二维等高子体能带结构; OOOOOOO0"。 OOOO。o ·光子和声子能带站构 二维光子晶体中的受激辐射; 维光学禁带结构的制作 ·非侍统PGB 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 本讲要点 概念要点 周期站构中波的传播 光子禁带 电子昌体 声子晶体 光子是体 禁带原因 周期性散射 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 无散射 由频隙禁止 由频隙禁止 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 完全频隙的好处 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 45 波导 + 腔 = 器件 隧穿 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 46 展望 • 自组织光学波段光子晶体； • 光子晶体中的物理效应； • 二维半导体光子晶体； • 新型电磁晶体概念； • 二维等离子体能带结构； • 光子和声子能带结构； • 二维光子晶体中的受激辐射； • 三维光学禁带结构的制作； • 非传统PGB http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 47 本讲要点 • 周期结构中波的传播 * 电子晶体 * 声子晶体 * 光子晶体 • 禁带原因 * 周期性散射 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 48 概念要点 • 光子禁带
思考问题 选做习题 ·周期性结构结构中XX波的传播? 维光子晶体,x)=x+a) 且A<<1 试用微扰法求频隙 种p∥45.2413che國体学 体理学
9 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 49 思考问题 • 周期性结构结构中XX波的传播？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 50 选做习题 • 一维光子晶体， ε(x) = ε(x+a) ε1(x) = 1+ Δ cos(2π x/a) 且Δ << 1，试用微扰法求频隙