第20讲、金属费米面和能量态密度 1、费米面和布里渊区 1.费米面和布里渊区 ·7=0时电子的最高的填充能级,为费米能级E 2.自由电子费米面 米能级(=0是电子最高占据能级,特别量要 3.布里渊边界处费米面晴变 随波夫k连续的变化的 4.从自由电子过渡到近自由电子费米面 个等能面(曲面,这样的曲面称为贵米面一 贵米是基态时电子占据态与非占据态的分界面 5.近自由电子费米面 6.能量态密度 7.空格点模型态密度 认能带结构可以看出,由于周期性势场的作 用,一般的费米面形状可能很复杂 van hove奇点 ·自由电子气的费米面为球面 金属电子,接近自由电子,费米面是一崎变球面 半导体、绝缘体不用费米面,而用价带顶念 种p∥45.2413che國体学 布里渊区 趣452413 binche体嚼理学 2、自由电子费米面 四价金属 ·根据价电子数N决定费米圆的半 以费米波矢k 导电电子面密度NA 为半径作圆 费米球半径,四价金属 与第二、三 四布里渊区 相交 第一能带,全 k。=2x 2丌 部占满 第二、三、四 能带部分 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第20讲、金属费米面和能量态密度 1. 费米面和布里渊区 2. 自由电子费米面 3. 布里渊边界处费米面畸变 4. 从自由电子过渡到近自由电子费米面 5. 近自由电子费米面 6. 能量态密度 7. 空格点模型态密度 8. van Hove奇点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、费米面和布里渊区 • T=0时电子的最高的填充能级，为费米能级EF * 费米能级(T=0)是电子最高占据能级，特别重要 • 随波矢k连续的变化的E(k)= EF在k空间构成一 个等能面(曲面)，这样的曲面称为费米面 * 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面附近的电子态决定的，因 此，了解费米面的结构非常重要 • 从能带结构可以看出，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂， * 自由电子气的费米面为球面 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 1 2 3 4 4 二维正方格子的布里渊区 布里渊区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 2、自由电子费米面 • 根据价电子数N决定费米圆的半径 • 导电电子面密度N/A • 费米球半径， 四价金属 一维 二维 三维 2 2 3 1 2 1 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = L N k A N k V N k F F F π π π / / A a kF π π π 4 2 2 2 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = / http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 四价金属 • 以费米波矢kF 为半径作圆， • 与第二、三、 四 布里渊区 相交 • 第一能带，全 部占满 • 第二、三、四 能带部分
围绕着 前面是费米面的广延图,第一布里洲区已被占 邻近的 四布里渊区被部分占满 倒格点 作半径 通常在简约布里渊区作费米面 为k的 移动各个分片,即第二、三、四布里渊的分片 到第一布里渊区,按不同能带作费米面 以看出 每个B 区的碎 片形状 x黑黑题■ p的45.24132dhe 体理学 3、布里渊边界处费米面崎变? ·因此,等能面在布里渊区边界是不连续的,不 边界处由于畸变 能连续穿越布里渊区边界 起的能量与 而且,等能面与布里消区边界垂直相交,看布 的关系变化 里渊区边界面(k=K/2,k=K2)处的斜率 Aa(-a(湖。- 由电子的大 E(k)=E(k+K) a(·a(。。 高开边 VE(k)2=0 ·所以费米面与布里渊区边界垂直相交 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 P和Q是倒格点, 等能面过布里渊区边界·K是倒格矢 Bragg反射面上的费米球 等能面S(实线)与 边界相交 S'是其等价等能 面,罔期性 现不连续过界 分球 ·S不能连续地通过 边界 ·修正,國弧 与边界垂直 等能面在B区边界 种45.2413yche是学 发生突变 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 围绕着 邻近的 倒格点 作半径 为kF的 圆，可 以看出 每个B 区的碎 片形状 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 前面是费米面的广延图，第一布里渊区已被占 满，第二、三、四布里渊区被部分占满 • 通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片 到第一布里渊区，按不同能带作费米面 1 2 3 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 3、布里渊边界处费米面畸变？ • 边界处由于畸变 引起的能量与k 的关系变化 * 对第一能带，同 样的能量，近自 由电子的k比自 由电子的大 * 对第二能带正好 相反 * 靠近边界时，等 能面向外凸 * 离开边界是，等 能面向内缩 k E(k) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 因此，等能面在布里渊区边界是不连续的，不 能连续穿越布里渊区边界 • 而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布 里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率 • 所以费米面与布里渊区边界垂直相交 E(k) = E(−k) E(k) = E(k + K) 0 2 ∇ = k ±K / E(k) k k k E k E ∂ ∂ = − ∂ ∂ K / 2 ∂ −K / 2 ∂ = − ∂ ∂ k E k E k ∂ k+K ∂ = ∂ ∂ k E k E K / 2 ∂ −K / 2 ∂ = ∂ ∂ k E k E http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 等能面过布里渊区边界 • P和Q是倒格点， * K是倒格矢 * 垂直于K的直线 即B区边界 • 等能面S(实线)与 边界相交 * S’是其等价等能 面，周期性 * 现不连续过界 • S不能连续地通过 边界 * 修正，圆弧 * 圆弧与边界垂直 相交 • 等能面在B区边界 发生突变 Kh P Q S S’ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 Bragg反射面上的费米球
费米面的畸变 渡到近自由电子近似,费米面在靠近布里渊 区边界发生晴变 能面在远高布里渊区边界处,与自由电子相近 她比自专视.因配睫酸圆 3.等能叫离开布里渊区边界时,电子能量随波数k的 正方格子一、二、三和四价金属的费米面 增加比自由电子快,因此等能线离國而向内收 先作自由电子费米面,靠近边界处有畸变 ·上图自由电子;下图近自由电子 种p∥45.2413che國体学 体理学 4、从自由电子过渡到近自由电子费米面 步骤( Harrison方法) 自由电子,夤米球 倒格子—画布里渊区 靠近边界处,费米面有喷变 自由电子:画半径与电子浓度有关的球 ·费米面与布里渊区边界垂直相交 将处在第二、三、…布里渊区的费米面碎片 ·费米面上的尖角钝化 分别移到第一布里渊区 ·费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度 变形费米面,使滿足 而不依赖于点阵相互作用细节 1.与布里渊区边界垂直相交 2.尖角钝化 3.贵米面包围的总体积不变 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 等能面:二维正方格子等能面 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 • 二维正方格子一、二、三和四价金属的费米面 • 先作自由电子费米面，靠近边界处有畸变 • 上图自由电子；下图近自由电子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 费米面的畸变 • 过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊 区边界发生畸变： 1. 等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近， 也是圆 2. 等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸 出 3. 等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收 缩 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 4、从自由电子过渡到近自由电子费米面 • 自由电子，费米球 • 靠近边界处，费米面有畸变 • 费米面与布里渊区边界垂直相交 • 费米面上的尖角钝化 • 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度， 而不依赖于点阵相互作用细节 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 步骤（Harrison方法） • 倒格子——画布里渊区 • 自由电子：画半径与电子浓度有关的球 • 将处在第二、三、… 布里渊区的费米面碎片 分别移到第一布里渊区 • 变形费米面，使满足 1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 等能面：二维正方格子等能面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18
种p∥45.2413che國体学 体理学 5、近自由电子费米面 自由电子(fc空晶格模型费米面 简约图:将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示 扩最图 Brillouin I clectron cell 2 electrons/cell 3 electrons cell Second 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 自由电子(bcc空晶格模型费米面 自由电子(hcp空晶格模型)费米面 Brillouin I electron'eell 2 eleetronvcell 3 elcctron/cell Fourth 种中p加a4524
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 5、近自由电子费米面 • 简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示 • 扩展图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 自由电子(fcc空晶格模型)费米面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 自由电子(bcc空晶格模型)费米面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 自由电子(hcp空晶格模型)费米面
金属费米面 6、能量态密度 ·孤立原子中,能级分裂,每个能级能填两个不 同状态的电子 而晶体中,能级准连续分布形成能带(能级间 隔102leV)。电子能级非常密集,标明每个能 级没有意义 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区城!比如说,高温超导材料的 个特征就是费米面附近的能级密度非常高 ·如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢? 体理学 能带与态密度的关系 k2 能量态密度就是表示这种密集程度的量 自由电子气模型中,已知dSdk 能态密度的定义: 在k空间(也称状态空间) 能量在E-E+dE的状态数 状态分布是均匀的,密度 ·如果dZ表示状态数目,则态密度为 为v/(2丌)3 ·对是体电子也如 因此,在k空间,如图两个 D(E)= E和E+dE等能面之间的状k dE 态数为 (2) 45.24112gche园体制学 考虑自旋 体理学 ·仿照电子气AE=VE(kak 7、空格点模型态密度 于是yn:(2 ·在k空间等能面是球面,半径为 所以D(E) d E(2x) ,E(k 2me 如将积分区间限制在第一布里渊区,则E(k是 多值函数,不止一条能带,则 ·在球面上 下、Ek)=2=M 柳m思考:二单、一维的能量状态密度?。 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 金属费米面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 6、能量态密度 • 孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不 同状态的电子； • 而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间 隔10-21eV）。电子能级非常密集，标明每个能 级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区域！比如说，高温超导材料的 一个特征就是费米面附近的能级密度非常高 • 如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 • 能量态密度就是表示这种密集程度的量 • 能态密度的定义： 能量在E~E+dE的状态数 • 如果dZ表示状态数目，则态密度为 dE dZ D(E) = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 能带与态密度的关系 • 自由电子气模型中，已知 在k空间(也称状态空间)， 状态分布是均匀的，密度 为V/(2π)3。 * 对晶体电子也如此 • 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 态数为 ( ) Δ = ∫ dSdk ⊥ V Z 3 2 2 π 考虑自旋 kx ky kz dSdk http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • 仿照电子气 Δ = ∇k k k ⊥ E E( ) d • 于是 ( ) Δ = ∫ S k ⊥ d d V Z 3 2 2 π • 所以 ( ) ( ) ( ) ∫ ∇ = Δ Δ = k S kE V d E Z D E 3 2 2 π • 如将积分区间限制在第一布里渊区，则E(k)是 一多值函数，不止一条能带，则 ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ ∇ = j E j V d D E k S k 3 2 2 π ( ) ( ) E E V d Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ = ∫ k S k 3 2 2 π (k) k kE E d ∇ Δ ⊥ = 思考：二维、一维的能量状态密度？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 7、空格点模型态密度 • 能带 ( ) m k E 2 2 2 h k = • 在k空间等能面是球面，半径为 h mE k 2 = • 在球面上 ( ) m k dk dE E 2 h ∇k k = =
球面面积为 D(E) ds 4k 所以 对近自由电子,在远高B区边界,类似自由电 子,可以看作自由电子态密度的选加 ◆靠近B区边界时,不连缥,从原点开始,近边 界,向外凸出;过边界。向内凹缩,等能面不是闭 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 8、 van hove奇点 例:简立方s带的 van hove奇点 VE(k)=0 对处于顶角位置的原子,有六个最 能态密度表达式里的被积函数发散,但可积 近邻,即 这样能量态密度的阶导数是不连续的 这种发散点称为 van Hove奇点 R=a{(1,0,0),(-1,0,0)} ·由于E(k)是k的周期函敷,一定会出现:极大 a0,02(0,-1,0)} 值、极小值、鞍点 般出现在k空间的高对称点 a0,0,12(0,0,-1)} 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 ·出现奇点的能量位置 十 E=E解+C± 2(cos k, a+cost, a+cos k, a) D(E) E(k)=E++C+2J(cos k, a+cos k, a+cos k, a) V,E(k)=-2aJ(sin k, ai+ sin k, aj+sin k, ak) E(k)=24/小√smk,a+sn,a+sink 6 6 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 • 球面面积为 2 dS = 4πk ∫ • 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) k C E k V m E V d D E = = ∇ = ∫ 2 3 3 2 4 2 2 2 2 π π k π h S k • 对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电 子，可以看作自由电子态密度的迭加 * 靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边 界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭 合的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 E D(E) E D(E) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 8、van Hove奇点 • 能态密度表达式里的被积函数发散，但可积 * 这样能量态密度的一阶导数是不连续的 * 这种发散点称为van Hove奇点 • 由于E(k)是k的周期函数，一定会出现：极大 值、极小值、鞍点 * 一般出现在k空间的高对称点 • 如果 ∇kE( ) k = 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 例：简立方s带的van Hove奇点 • 对处于顶角位置的原子，有六个最 近邻，即： { } { } { } ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) R ( , , ), ( , , ) 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 = − = − = − a a a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 ( ) k a k a k a e e e e e e e x y z ik a ik a i ik a ik a ik a ik a z z x x y y 2 cos cos cos = + + + + = + + + − ⋅ − − ∑ 最近邻 R k R E ( ) E C J ( k a k a k a ) x y z = + + 2 cos + cos + cos 原子 k ( ) k ( i j k ) k ˆ sin ˆ sin ˆ E 2aJ sin k a k a k a ∇ = − x + y + z E ( ) a J k xa k y a k z a 2 2 2 ∇ k k = 2 sin + sin + sin http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 • 出现奇点的能量位置 E = E + C ± 2 J 原子 E = E + C ± 6 J 原子 E−E −C 原子 − 6 J − 2 J 2 J 6 J D(E )
例:二价金属能带重叠问题 解 ·对于二维简单正方格子,证明第一布里渊区角 h2k2n2(√2 上丌a(1,1)的自由电子动能是区边中心点 在m1()E)=2m=2ma 丌/a(1,0)的二倍 对三维简单立方呢? ·讨论费米面(线)穿越布里渊区边界情况 nk2 n(T ·讨论二价金属能带重叠和导电情况 在m1a10)点1()=2m-2ma 2m( a 种p∥45.2413che國体学 体理学 对简单立方呢? 二价金属费米面 对简单立方格子,点丌/a(1,1,1)处的能量 ·首先看二价金属的费米面(线)可以填充到第 2k22(√3r 几能带? 自由电子负米面(线)如果在第一布罢洲区, 2m2m a 第一能带;第二布里渊区,第二能 点m/a(1,0,0)处的能量 啬业里 ·所以第一B区没有全填满,部分填到第二B区 2m(a 对自由电子,费米能級跨越第一、第二能带 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 等能面在B区边界处突变 如果与自由电子相 差不大的情况,这 除了边界处,自由电子的 就表示在B区边界能 E(k) 抛物线 级分裂很小 一能带,同样的能 此可用自由电子 近自由电子的k比自 由电子的大,对第二能带 二能带底的能量比 正好相反 要低,即 能面〔线)不能连续穿 越B区边界,有跃变 E ·从第一B区靠近边界时, 能带有交叠 k〔圄)大,高开边界 入第二B区时,k(圆) 中情况是性能 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 例：二价金属能带重叠问题 • 对于二维简单正方格子，证明第一布里渊区角 上π/a(1,1)的自由电子动能是区边中心点 π/a(1,0)的二倍 • 对三维简单立方呢？ • 讨论费米面（线）穿越布里渊区边界情况 • 讨论二价金属能带重叠和导电情况 kx ky (11) (10) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 解 • 在π/a(1,1)点 ( ) 2 2 2 2 11 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = m m a k E h h π • 在π/a(1,0)点 ( ) 2 2 2 2 10 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = m m a k E h h π () () 2 2 / 2 2 / 2 2 2 2 11 10 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m a m a E E h π h π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 对简单立方呢？ • 对简单立方格子，点π/a(1,1,1)处的能量 ( ) 2 2 2 2 111 3 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = m m a k E h h π • 而点π/a(1,0,0)处的能量 ( ) 2 2 2 2 100 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = m m a k E h h π () ( ) 3 2 / 3 2 / 2 2 2 2 111 100 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m a m a E E h π h π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 二价金属费米面 • 首先看二价金属的费米面（线）可以填充到第 几能带？ • 自由电子费米面（线）如果在第一布里渊区， 第一能带；第二布里渊区，第二能带 • 看费米半径 a a k Z π π π π 1/ 2 1/ 2 2 F 4 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = • 所以第一B区没有全填满，部分填到第二B区。 对自由电子，费米能级跨越第一、第二能带 a k a π π < F < 2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 等能面在B区边界处突变 • 除了边界处，自由电子的 抛物线 • 对第一能带，同样的能 量，近自由电子的k比自 由电子的大，对第二能带 正好相反 • 等能面（线）不能连续穿 越B区边界，有跃变 • 从第一B区靠近边界时， k（圆）大，离开边界进 入第二B区时，k（圆） 小 k E(k) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 • 如果与自由电子相 差不大的情况，这 就表示在B区边界能 级分裂很小 * 因此可用自由电子 能带判断[10] 上的第 二能带底的能量比 第一能带顶的能量 要低，即 [11] [10] EF E(k) E() ( ) 11 / E10 = 2 • 能带有交叠 * 这种情况是性能差 的导体
能隙很大的情况:如 本讲要点 果110方向上的第二 能带底的能量比第一 布里渊区,米波失与费米面,最高填充能 能带顶的能量要高 这时能带没有交叠 自由电子费米面及其在布里渊区边界处的畸 电子全都填满第一能 变 边界处变引起的能量与k的关系的变化 资米面构造法 这种情况就是绝体 能带与能量态密度的关系 种p∥45.2413che國体学 体理学 概念要点 思考问题 米面 二维、一维的能量状态密度? 米面在布里渊区边界处的畸晴变 费米面畸变的物理原因是什么? ·晶体电子的态密度 van Hove奇点 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 题 种45.2413yche是学
8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 • 能隙很大的情况：如 果 [10]方向上的第二 能带底的能量比第一 能带顶的能量要高， 这时能带没有交叠 • 电子全都填满第一能 带——？ * 二价金属 • 这种情况就是绝缘体 [111] [100] EF E(k) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 本讲要点 • 布里渊区，费米波矢与费米面，最高填充能 带 • 自由电子费米面及其在布里渊区边界处的畸 变 * 边界处畸变引起的能量与k的关系的变化 • 费米面构造法 • 能带与能量态密度的关系 ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ ∇ = j E j V d D E k S k 3 2 2 π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 45 概念要点 • 费米面 • 费米面在布里渊区边界处的畸变 • 晶体电子的态密度 • van Hove奇点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 46 思考问题 • 二维、一维的能量状态密度？ • 费米面畸变的物理原因是什么？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 47 习题 • 3.7 • 3.8
