复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第4讲自由电子气模型的其他性质.pdf_大学文库

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 对费米分布求导 ( ) ( ) [ ]2 / / 2 B F 1 F B F B + − = ∂ ∂ − − E E k T E E k T e e k T E E T f • 进行变量替换，x = (E − EF )/ kBT ( ) ∫ ∞ − + = E k T x x V e e C k TD E dxx F B / 2 2 F 2 B el 1 ( ) • 低温时，可将积分下限推至负无穷大，得 ( ) 1 3 2 2 2 π = + ∫ ∞ −∞ x x e e dxx F B 2 F 2 B 2 F 2 B 2 el 2 2 3 3 ( ) 3 T T N Nk E CV k TD E k T π π π = = = • 于是 • 与前面的估计比较 F B el T T C Nk V ≈ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 2、Sommerfeld积分 • 常遇这样的积分，引入函数 ∫ ∞ = 0 I H(ε ) f (ε )dε ∫ = E Q E H d 0 ( ) (ε ) ε • 作分部积分 ∫ ∞ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + − 0 0 ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε d f I Q f Q • 上式第一项为零。第二项中-df/dE为中心在EF 处的类δ函数，宽度约kBT，是(E-EF)的偶函数，可作近似计算，将Q(E)展开到二级近似，得到 ( ) ( ) ''( ) 2 1 ( ) ( ) '( ) F 2 Q ε = Q EF + ε − EF Q EF + ε − EF Q E ( ) ( )2 F B 2 F 2 2 2 "( ) 6 ( ) 1 3 I Q E Q E k T e e dxx x x π π = = + + ∫ ∞ −∞ 利用，则得， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 3、费米能级(T<<TF) H( ) ε = D(ε ) ( ) () () 3/2 0 0 0 3 2 Q E H d D d C d CE E E E = = = = ∫ ∫ ∫ ε ε ε ε ε ε ( ) -1/2 2 1 Q" E = CE ( )2 F B 2 F "( ) 6 I Q(E ) Q E k T π = + ∫ ∞ = 0 • 对于 N f (E)D(E)dE ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 B F 2 3/2 F / 8 1 3 2 I CE k T E π ( ) 3/ 2 0 F 3 2 N = C E ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 B F 2 3/ 2 F 3/ 2 0 F / 8 E E 1 k T E π ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≈ − 2 0 B F 2 0 F F / 12 E E 1 k T E π • 利用kBT<<EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 化学势随温度的变化 • 化学势随温度变化 * 因为TF=104~105，所以室温下，与绝对温度零度时的费米能级非常接近 ∫ ∞ = 0 N C f (E) EdE BT EF T ≠ 0K, k << T = 0K ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 F B 2 3/ 2 F 8 1 3 2 E k T N CE π ( )3/ 2 0 F 3 2 N = C E ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ − 2 F 2 0 F F 12 1 T T E E π 0 EF < EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 4、总能量(T<<TF) • 被激发的电子能量与估计值比较 ∫ ∞ = 0 U f (E)D(E)EdE BT EF T ≠ 0K, k << T = 0K ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + 5/ 2 2 2 ( / ) 8 5 1 5 2 F BT EF U CE π k 低温 BT EF k << ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≈ + 2 0 2 0 / 12 5 1 5 3 F BT EF E k N U π 0 5 3 EF N U = U N ( ) T TF kBT 2 / 4 ~ π T T k T N U F B ( / ) 2 ~ H(ε ) () = εD ε http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 F B F B B V V T T Nk E k T Nk T U C 2 2 2 0 2 el π π ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = 与定性的结果仅差常数因子定性的解释是正确的，即只有Fermi面附近的电子被激发！

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 低温时，电子气对热容的贡献很小 CV ∝ T el 并不只适用于自由电子气。电子许可能级形成能带时也是正确的通过电子气比热测量，可以获得Fermi 面附近能量态密度的信息！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 固体比热的实验结果 3 el lat V CV CV C = γT + bT = + 因此，只有在极低温度下，电子对比热的贡献才重要！思考：一维，二维电子气比热与温度的关系，与维数有没有关系？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 5、金属电导率——碰撞机制再讨论 • 一个给出了这样结果的理论，一定会包含许多真理！——洛伦茨？——物理原因？ F p ≈ hk ( ) sr k n n 1 3 1/3 1/3 2 F = π ≈ ≈ sr p h ≈ 实际情况是电子在金属中平均自由程很大 >> h >> xp x rs 量子——经典由于电子的平均自由程远大于原子间距，因此经典模型已是很好的近似 • 经典模型Æ m ne τ σ 2 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 实验事实Æ碰撞机制 • 纯净的铜晶体，液氦温度（4K）下的电导率接近室温（300K）的105倍！ • 据此，弛豫时间约10-9秒量级 • 这样，平均自由程l就是0.1厘米量级 m ne τ σ 2 = • 室温下，电导率小105倍，平均自由程比原子间距大107倍 • 外推至温度T=0的电阻率——剩余电阻率，由缺陷（浓度不太大）引起的电阻率，基本与温度无关 ρ = ρ 原子振动 + ρ 缺陷 • 与温度有关的电阻率对同一种金属的不同样品相同——原子振动引起的电阻率 ρ 原子振动 = ρ − ρ 缺陷 l v , v ~ 10 cm/s 8 F F = τ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 电阻率常温：被原子振动散射低温：被缺陷散射 σ τ τ ρ 1 1 = = 2 ∝ ne m τ τ 原子振动 τ 缺陷 1 1 1 = + 电阻率 ρ = ρ 原子振动 + ρ 缺陷原子振动杂质被原子振动散射被杂质或晶格缺陷散射 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 碰撞机制的量子观点 • 电子与离子实没有碰撞！？ • 是指与固定在平衡点的离子实没有碰撞（周期性势场） • 如果离子实振动（与温度有关），晶体中的这种振动是一种整体的振动，这种振动偏离平衡位置，使原子核的周期性势场发生偏移，这样电子就会与原子核发生碰撞 • 杂质，缺陷等当然也可以使周期性势场偏离，使电子遭受碰撞（这基本与温度无关） • 经典理论同样引入碰撞，但机制不同！弛豫时间的物理意义不同 τ τ 原子振动 τ 缺陷 1 1 1 = +

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 准经典模型 • 温度大于费米温度——量子Æ经典 • 关于Drude模型中金属因碰撞阻尼项导致电阻的机制解释仍可用，只需将那里的与原子的碰撞看作是与缺陷和周期性排列的原子集体振动的碰撞即可 v E m k T m v k T m 2 / 2 / / F B F 2 F B 2 th ≈ = ≈ • 考虑自由程时，经典模型，v取热运动速度，准经典模型，v取Fermi速度，比较 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 电导率的量子模型解释 • 没有外场时，电流为零。在恒定外电场作用下，电子的状态变化 dt d e k F = − E = h • 无外场时，平衡态，费米球 t e t h E k( ) − k(0) = − δk • 对上式积分，可得 • 在这个外场作用下，电子状态发生改变，这时是非平衡态。通过与杂质、缺陷的碰撞，建立新的热平衡，使费米球移动并保持在稳态Æ电流 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 状态改变Æ漂移速度 • 由此，建立平衡后，费米球的位移 • 弛豫时间的意义！ mv漂移 = hδk = −eEτ v漂移 = −eEτ / m δ τ h E k e = − ne ne / m 2 j = − v漂移 = τE • 在恒定电场E中，单位体积内含有n个电荷-e，则电流密度 • 这就是Ohm定律 m ne τ σ 2 = • 状态改变对应的漂移速度增量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 电导图象：碰撞的作用Æ获得热平衡电子状态发生改变 Fermi球处于稳态建立热平衡的时间Æ弛豫时间状态改变Æ漂移速度 v漂移 = −eEτ / m ne ne / m 2 电流密度 j = − v漂移 = τE Ohm 定理 τ 外场 m ne τ σ 2 = 与杂质、原子振动发生碰撞碰撞 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 6、 Pauli顺磁性 • Drude模型：无外磁场，由于电子本征磁矩的无规取向，热平衡时，电子气体总磁矩为零。加磁场后，自旋取向沿磁场方向——顺磁性 • 用经典M—B分布， ( ) ( ) ( )( ) B k T B k T B k T B k T n Ae n Ae A e e B B B B B B B B / / / / , , μ − +μ − +μ − −μ ↓ − − ↑ = = = + • 总磁矩 ( ) ( ) ( ) ( )( ) n ( ) B k T e e e e M n n n B k T B k T B k T B k T / / B B B / / B B tanh / B B B B B B B B μ μ μ μ μ μ μ μ = + − = − = − − − + − − − + ↑ ↓ • 低温时 B k T n k T n M n B 2 B B B B 3 3 μ μ ≈ μ = T k T n B M ~ 1/ 3 B 2 μ0 μ0μ B χ = = • 与实验不符。实际上，几乎与温度无关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 Sommerfeld模型 • 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移 * 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向的费米能级一致 E EF g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E μBB g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E EF μ BBg(EF )/ 2 M g(EF )B 2 • 反转电子数约总磁矩变化 = μ B • 磁化率与温度无关 / ( ) F 2 χ = μ0M B = μ0μ Bg E

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第4讲 自由电子气模型的其他性质

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