第21讲、 Bloch电子动力学 1、准经典电子的动量、坐标和速度 1.准经典电子的动量、坐标和遠度 ·试图解决:晶体电于在外场作用下如何运动? 2. Bloch电子的平均速度 没有外场时,定态1 3.准经典适动方程 电子的状态的能量会随时闻变化→含时S方程 4.能带中电子的运动 ·设问:关于晶体中的电子我们已经知道了什么? 5.有效质量 ·昌体中电子运动基础:能带结构E(k、本征数 空穴的概念 ·当然可以此晨开品体波数,解含时S方程 →但特定条件下,也可将电子当作准粒子,这时 具有静共量空电子在周爬碧场中停动少具有有 仂力学) 需受得到品体电子的运动方程 物系车游光 湿学 物光 c体理学 如何描写晶体电子在外场下的运动? 假定电子在能带之间不能跃迁 即在同一能带中运动,求与k对应的波包中心置 经典粒子和量子力学 为筒单起见,讨论一单情况,现略去能带指标 经典粒子同时具有确定的动量和坐标 波包就是将近Δk范圈内的本征的数选加 对电子,由于测不准原逞,这是不可能的 如-E 电子的坐标→波包坐标 v( (x=5(), 是体电子的本征态用具有确定波矢和能量的Blch函 k=k+&,E(k)=E(k0)+ 成波包→ 实际是展宽动量,即△k,换取坐标r的可知性 v()=气()坐减e(a) Bch本征态可写为 现含时,不同的状态具有不同的能量 -E(/) E(k 系静培v(r,t)=e sv, (x. -Akk-E(k) / n) ·看这个波包的几率分布为 讨论r=VE儿 E()t1 k(=料 Mu, (G)14(x,Ir 很容易得到波包遠度— Bloch电子的群遠度 ·波包与周期因子有关,也与A(x的因子有关 可以证明,这就是波矢为k、能量为En(k)的 ·如△k=0,A=1,电子在全空间可以出现 Bloch电子的平均遠度,与时间无关 △k不为零,4P的特点 准经典模型成立的条件 4小要成是票用的线激 波包中心位置就是变量=0的位置,即 化的波长>>a 2.外场频率ha<E藥止能带之间跃迁 x-E(儿,h=0x1dE(1r=VE2(k儿t 问:晶体的周期性势场是否满足条件? 不满足,但已包含在E(k)中,条件对外场 系事恋 体是学 道光
1 物理系车静光 固体物理学 1 第21讲、Bloch电子动力学 1. 准经典电子的动量、坐标和速度 2. Bloch电子的平均速度 3. 准经典运动方程 4. 能带中电子的运动 5. 有效质量 6. 空穴的概念 物理系车静光 固体物理学 2 1、准经典电子的动量、坐标和速度 • 试图解决：晶体电子在外场作用下如何运动？ * 没有外场时，定态！ * Schroedinger方程中加外场？ Æ电子的状态的能量会随时间变化Æ含时S方程 • 设问：关于晶体中的电子我们已经知道了什么? * 晶体中电子运动基础：能带结构ÆE(k)、本征函数 * 当然可以此展开晶体波函数，解含时S方程 Æ但特定条件下，也可将电子当作准粒子，这时 * 具有静止质量的电子在周期势场中的运动Æ具有有 效质量的准粒子在零势场下(但限制在能带中)的运 动所替代，成准粒子在外场下运动(用牛顿力学) * 需要得到晶体电子的运动方程 物理系车静光 固体物理学 3 如何描写晶体电子在外场下的运动？ • 经典粒子和量子力学 * 经典粒子同时具有确定的动量和坐标 * 对电子，由于测不准原理，这是不可能的 • 电子的坐标Æ波包坐标 * 晶体电子的本征态用具有确定波矢和能量的Bloch函 数来描写，波矢完全确定，而坐标完全不确定 * 如其状态可以看作是一些k附近的Δk范围内的本征 态迭加而成，它将构成波包Ær附近的Δr范围 • 实际是展宽动量，即Δk，换取坐标r的可知性 • Bloch本征态可写为 * 现含时，不同的k状态具有不同的能量 ( ) ( ) r ( ) r k k k r k n t E i n t e u n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ • − = h ψ , 物理系车静光 固体物理学 4 • 假定电子在能带之间不能跃迁 * 即在同一能带中运动，求与k0对应的波包中心位置 • 为简单起见，讨论一维情况，现略去能带指标 * 波包就是将k0附近Δk范围内的本征函数迭加 ( ) ( ) ( ) ∫ +Δ −Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ = / 2 / 2 0 0 1 , k k k k k t E k i kx k e u x dk k x t h ψ () ( ) ( ) k dk dE k k k k E k E k k δ δ 0 0 0 = + , = + ( ) ( ) ∫ +Δ −Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ = / 2 / 2 0 0 0 k k k k t E k i kx k e dk k u x h ( ) ( ) ( ) ( ) e e d( ) k k u x x t k k k k t E k t i k x E k i k x k ψ k δ δ ∫ +Δ −Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ ≈ / 2 / 2 ' 0 0 0 0 0 , h h ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) h h ' / 2 ' / 2 sin , 0 0 0 x E k t k x E k t k x t k k − Δ − Δ ≈ψ ( ) ( ) dk dE k E' k = 物理系车静光 固体物理学 5 • 波包与周期因子有关，也与A(x,t)的因子有关 • 如Δk=0，A=1，电子在全空间可以出现 • 如Δk不为零， |A| 2的特点 * 其中A的( )=0时，波包振幅最大，而( )>>0时，波 包振幅为零，即波包局域在晶体中某一区域内 • 波包中心位置就是变量=0的位置，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , ' / 2 ' / 2 sin , 0 0 0 0 u x A x t x E k t k x E k t k x t u x k k k k k = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ − Δ ≈ h h ψ • 看这个波包的几率分布为 '( ) / 0 0 x − E k t h = k ( ) t dk dE k x k0 1 h = E ( ) t k n 0 1 r = ∇k k h 物理系车静光 固体物理学 6 讨论 • 可以证明，这就是波矢为k、能量为En(k)的 Bloch电子的平均速度，与时间无关 • 准经典模型成立的条件： * Δk范围应该远小于B区范围，即Δk>a，所以外场应该是时间和空间的缓变函数 1. 外场变化的波长λ>>a 2. 外场频率hω<<Eg，禁止能带之间跃迁 • 问：晶体的周期性势场是否满足条件？ • 不满足，但已包含在E(k)中，条件对外场 E ( ) t k n 0 1 r = ∇k k h ( ) 0 1 k En dt d k r v = = ∇k h • 很容易得到波包速度——Bloch电子的群速度
电流与速度相关,如平均速度与时间无关,这 意味着电流将永不衰减! 2、 Bloch电子的平均速度 无电阻机制1电导率无穷大!电子不但与电子 处在量子数灬态的电子的平均遠度为 问:自由电子模型? v()=vi(r)va(rkr ·如果没有其他碰撞机制,自由电子在外电场下 将被无限加遠,所以要引入其他的碰撞机制, 否则电流会无限大 将 Bloch波函敷代入,得 对晶体电子,电流无限大不会发生 因为周期性势场,速也是一个周期 ·对积分,从 Schroedinger方程 可以雹出隐含在E(k)里的周期性势场的影响 2+k)+(x()=E(() 物系车游光 湿学 物光 c体理学 这是u的方程H(x)=E2(知(x) 对波夫很小的变化,有 较前面平均速度,就有 i dE +k+派+F(x) 去能带标号 dE( ·用微扰论 E、+&)=E(k)+ 另一方面,作展开E(+l)=E,(),( 事 物学 道车光 体理学 3、准经典运动方程 为得到的随时间支化情况对4,m( 左乘<T ·看一维情况,外力F,则哈密顿H=H0-F H为无外场哈密顿,是平移算符,本征值c 两式相加,得 什么意义? ·T不含时间,由量子力学,其期待值随时间的 这是复平面内的圆的方程,它的实、虛部分别 变化由倒易关系的期待值給出 是平移算符本征值的实、虚部 2-:-) 如果是Bch波,那这个期待值为1K=产 即在外力F作用下,<T将在复平面内的单位 即平算符期待值的时变化隼为当。() 所以,平移算符期待值的时间变化率现为 你系率 体是学 率静 2-04-( F
2 物理系车静光 固体物理学 7 • 电流与速度相关，如平均速度与时间无关，这 意味着电流将永不衰减！ * 无电阻机制！电导率无穷大！电子不但与电子没有 碰撞，与离子也没有碰撞——如果周期性势场成立 • 问：自由电子模型？ • 如果没有其他碰撞机制，自由电子在外电场下 将被无限加速，所以要引入其他的碰撞机制， 否则电流会无限大 • 对晶体电子，电流无限大不会发生 * 因为周期性势场，速度也是一个周期性函数，是一 个有界函数，后面会看到将引起是振荡，但速度也 不会衰减，理想导体 * 可以看出隐含在E(k)里的周期性势场的影响 物理系车静光 固体物理学 8 2、Bloch电子的平均速度 • 处在量子数nk态的电子的平均速度为 ( ) () () dx d v i v k x v x dx n nk nk = − = ∫ ˆ ˆ * ψ ψ • 将Bloch波函数代入，得 () () ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + k u x dx dx d v k u x i n nk nk * • 对积分，从Schroedinger方程 k V x u () () () x E k u x dx d i nk = n nk ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ( ) 2 物理系车静光 固体物理学 9 • 这是u的方程 ( ) ( ) () ( ) ˆ ˆ 2 ' ' k V x dx d H i H u x E k u x k k nk n nk ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + = • 对波矢很小的变化，有 ( ) ˆ 2 ' k k V x dx d H i k k ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +δ = − + +δ k k dx d k V x i dx d H i k δk ⎟δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + ( ) ˆ 2 ' • 用微扰论 ( ) () () ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − + k u x dx k dx d E k k E k u x i n δ n nk nk δ * • 另一方面，作展开 ( ) () ( ) k dk dE k E k k E k k n n +δ = n + δ k k dx d H i k ⎟δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − + ' ˆ 物理系车静光 固体物理学 10 • 就有 ( ) ( ) ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + k u x dx dx d u x i dk dE k nk nk n * • 比较前面平均速度，就有 () () ( ) ( ) dk dE k k u x dx dx d v k u x i n n nk nk h * 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + ∫ • 略去能带标号 ( ) ( ) dk dE k v k h 1 = • 三维时 v( ) k = ∇kE( ) k h 1 物理系车静光 固体物理学 11 3、准经典运动方程 • 看一维情况，外力F，则哈密顿 H = H − Fx 0 ˆ ˆ • H0为无外场哈密顿，T是平移算符，本征值 [ ] 0 ˆ , ˆH0 T = [H Tˆ] FaTˆ , ˆ = ika e • T不含时间，由量子力学，其期待值随时间的 变化由倒易关系的期待值给出 [ ] ( ) Fa T i H T i dt d T ˆ ˆ , ˆ ˆ h h = = • 即平移算符期待值的时间变化率为 T iFa dt d T ˆ ˆ h = 物理系车静光 固体物理学 12 • 什么意义？ • 这是复平面内的圆的方程，它的实、虚部分别 是平移算符本征值的实、虚部 • 如果是Bloch波，那这个期待值为1 * 2 ˆ ˆ ˆ T iFa dt d T T h = 2 * ˆ ˆ ˆ T iFa dt d T T h = − • 为得到的随时间变化情况，对 左乘 0 ˆ 2 = dt d T • 两式相加，得 1 ˆ 2 = ⋅ = ika −ika T e e • 即在外力F作用下，将在复平面内的单位 圆运动，因此， 可写为 ik ( )t a T = e ˆ • 所以，平移算符期待值的时间变化率现为 T iFa dt d T ˆ ˆ h = T iFa e dt dk ia dt d T ika ˆ ˆ h = = F dt dk h =
讨论2-F 4、能带中电子的运动 即牛顿力学中动量与外力的关系,三维也成立 ·准经典假定:外电场使电子沿能带动,只涉 ·M在晶体中并不是动量算符的本征值 一条能带,或者说,电子在外电场作用下 也不是动量算符的平均值,称为准动量或品体动量 量的变化不能使电子跃迁到其他能带 晶体中电子既受外力作用,也同时受晶体周期 外电场很弱,因此,波矢变化很小 势场的作用 外电场波长远大于晶格常数,远小于B区线度 外力将改变晶格电子的动量,而不仅仅是电子动量 可用经典方法处理电子在外电场、磁场下的运动 ·外场对适动的影响包含在能量与状态的关系中 晶体周期性势场的影响都在能带结构中反映 在山时间内,外场分对晶体电子所作功 dE=-esva 这个关系与自由电子气的关系一样,现在看电 ·电子质量? 子速度v以及此电子空间坐标 湿学 物光 c体理学 外电场作用下的加速度 5、有效质量 经典:电子受外场作用状态变化,外场所作 ·比较经典适动方程,如果 功转化为电子能量的增加 ·能量的变化由状态的变化决定 势场中电子在外电场中的适动,就好象 m(称为有效质量)的经典的带电粒子在 中的适动,服从 加遠度 dv 1 d de I d'e dk 1 de, dk 1 d'e 维时,为一张量 这样就有可能将能带结构归入有效质量 事 道车光 体理学 晶体周期性势场对电子运动影响 负有效质量 能带结构 ·在晶体中运动的电子 作是质亚相当于有 ·速度 效质量的电子的经典适动,服从经典定律 思考:自由电子速度变化? 有效质量不是常数,而是k的函数 弛时间近似 负的有效质量!有效质量与E(k有关:能带顶附 有效质量 负 近的能带曲率是负的,有效质量也是负的! 带屁,m>0 子的动量,而正的有效质量则 R 如果PE(k)k20,则有效质量很大,什么含义? 相当于没有色散的能带电子的有效质量很大 穿到郭近原子上去 你系率 体是学 率静 炸物理学
3 物理系车静光 固体物理学 13 讨论 • 晶体中电子既受外力作用，也同时受晶体周期 势场的作用 * 外力将改变晶格电子的动量，而不仅仅是电子动量 • 外场对运动的影响包含在能量与状态的关系中 • 在dt时间内，外场E对晶体电子所作功 hk F dt dk h = • 即牛顿力学中动量与外力的关系，三维也成立 F = −eE dE = −eEvdt • 这个关系与自由电子气的关系一样，现在看电 子速度v，以及此电子空间坐标 • 在晶体中并不是动量算符的本征值 * 也不是动量算符的平均值，称为准动量或晶体动量 物理系车静光 固体物理学 14 4、能带中电子的运动 • 准经典假定：外电场使电子沿能带运动，只涉 及一条能带，或者说，电子在外电场作用下能 量的变化不能使电子跃迁到其他能带 * 外电场很弱，因此，波矢变化很小 * 外电场波长远大于晶格常数，远小于B区线度 * 可用经典方法处理电子在外电场、磁场下的运动 • 晶体周期性势场的影响都在能带结构中反映 * ？ * 电子速度 * 电子质量？ 物理系车静光 固体物理学 15 外电场作用下的加速度 • 准经典：电子受外场作用状态变化，外场所作 功转化为电子能量的增加 dE = Fvdt dt dE Fv = • 加速度 dk dE dt d dt dv h 1 = dt dk F = h dt dk dk d E 2 2 1 h = dt dk dk d E h h 2 2 2 1 = F dk d E 2 2 2 1 h = • 能量的变化由状态的变化决定 dt dk dk dE = dt dk = vh • 这样就有可能将能带结构归入有效质量 物理系车静光 固体物理学 16 5、有效质量 • 比较经典运动方程，如果 2 2 * 2 1 1 dk d E m h = • 周期性势场中电子在外电场中的运动，就好象 质量为m*(称为有效质量)的经典的带电粒子在 外电场中的运动，服从 • 三维时，为一张量 ( ) x y z dk dk d E m , , , , 1 1 2 * 2 ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α β αβ h α β dt dv F m* = β αβ α F dt m dv ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = * 1 物理系车静光 固体物理学 17 晶体周期性势场对电子运动影响 • 能带结构 • 速度 * 思考：自由电子速度变化？ * 弛豫时间近似！ • 有效质量 * 带底，m*>0 * 带顶， m*<0 * 能带宽， m*小 * 能带窄， m*大 k k k E(k) v(k) m*(k) 物理系车静光 固体物理学 18 负有效质量 • 在晶体中运动的电子就可以看作是质量相当于有 效质量的电子的经典运动，服从经典定律 • 有效质量不是常数，而是k的函数 • 负的有效质量！有效质量与E(k)有关：能带顶附 近的能带曲率是负的，有效质量也是负的！ * 表示电子状态由k变化到k+dk时，由电子转移给晶格的 动量大于外力转移给电子的动量，而正的有效质量则 相反 • 如果d2E(k)/dk2~0，则有效质量很大，什么含义？ • 相当于没有色散的能带电子的有效质量很大 * 基本上局域，很难隧穿到邻近原子上去
例:有效质量 解: 用紧束鳟近似写出二维正方晶格最近邻近似的 s电子能带,计算能带底电子和能带顶空穴的 对处于中心位置的原子,有四个最近邻,即 有效质量 R=a(1,0) 物系车游光 湿学 物光 c体理学 >eikO=e a+e- a+e 计算能带底的有效质量。利用ka<<1,作展 2( cos k (k)=ERf +C+2J(cos k, a+cos k, a) ·相应的有效质量 丌 d-E(k) 方 E+C+4J 带宽 事 物学 道车光 体理学 ·计算能带顶的有效质量可以引入 6、空穴的概念 k k k 半导体中,费米能级以下为 价带,以上为导带 ·利用 a << I ·如果被占满的价带 子被激发至导带,在价带中 ·作展开,可得 留下一个空的状态 价带 在外电场作用下,导带中的电 E(k)≈E+C-4J+2a2 子和价带中空穴都可以远动 能带顶的有效质量 你系率 体是学 率静 炸物理学
4 物理系车静光 固体物理学 19 例：有效质量 • 用紧束缚近似写出二维正方晶格最近邻近似的 s电子能带，计算能带底电子和能带顶空穴的 有效质量 物理系车静光 固体物理学 20 解： • 对处于中心位置的原子，有四个最近邻，即： ( , ) ( , ) ( , ) R ( , ) 0 1 0 1 1 0 1 0 = − = = − = a a a a 物理系车静光 固体物理学 21 当 ( ) k a k a e e e e e x y i ik a ik a ik y a ik y a x x = 2 cos + cos = + + + ⋅ − − ∑ 最近邻 R k R E ( ) E C J ( k a k a ) x y = + + 2 cos + cos 原子 k a k a k x y π π = , = 当 E = E + C − 4 J 原子 极大 = 0 = 0 x y k , k E = E + C + 4 J 原子 极小 带宽8J 物理系车静光 固体物理学 22 • 计算能带底的有效质量。利用ka<<1，作展 开，有 2 2 E k = E + C + 4 J − Jk a 原子 ( ) • 相应的有效质量 2 2 1 2 2 2 dk 2 Ja d E k m h h = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ( ) * 物理系车静光 固体物理学 23 • 计算能带顶的有效质量可以引入 x x y y k a k k a k = − = − ~ π ~ π • 利用 2 2 E E C 4 J Jk a ~ k ) ~ ( ≈ + − + 原子 • 作展开，可得 k xa << 1 k y a << 1 ~ ~ • 能带顶的有效质量 * * m空穴 Ja m = = − 2 2 2 h 物理系车静光 固体物理学 24 6、空穴的概念 价带 • 半导体中，费米能级以下为 导带 价带，以上为导带 • 如果被占满的价带中一个电 子被激发至导带，在价带中 留下一个空的状态 * 在外电场作用下，导带中的电 子和价带中空穴都可以运动
空穴能带 空穴能量是满带中失去电子后系统的能量变化 ·如果价带顶位于能量零点,对应的空穴能带如图 在电场作用下,边上的电子就会填充这个位 王,而留下一个新的空的状态 电子(电 这样空状态的移动(与电子移动的方向相反 就象正的电子移动产生电流一样 空穴能带 这样的空状态称为空穴,带有正电荷,具有波 失 电子价带 物系车游光 湿学 物光 体物理学 由前图看到 本讲要点 V、E空(k空)=V,E电子(k电子) 如何描写电子的坐标、遠度和加遠度 所以空穴速度 准经典近似 能带中电子的适动 空穴有效质量m穴=-m电于 有效质 与电子有效质量相反,在价带顶,空穴有效质 Bloch振荡 量为正,在导带底为负 空穴的运动方程就是带正电的粒子的运动方程 事 物学 道车光 体理学 概念要点 思考问题 ·准经典近似条件 晶体电子的准经典近似中,如何考虑周期性势 波包位置、速度和加速度 场的作用? 有效质量 空穴 Bloch摄荡 你系率 体是学 率静 炸物理学
5 物理系车静光 固体物理学 25 • 在电场作用下，边上的电子就会填充这个位 置，而留下一个新的空的状态 • 这样空状态的移动(与电子移动的方向相反)， 就象正的电子移动产生电流一样 • 这样的空状态称为空穴，带有正电荷，具有波 矢 k空穴 = −k电子 物理系车静光 固体物理学 26 • 空穴能带 * 空穴能量是满带中失去电子后系统的能量变化 * 如果价带顶位于能量零点，对应的空穴能带如图 E空穴 (k 空穴 ) = −E电子 (k电子 ) k电子 k空穴 E(k) k 电子价带 空穴能带 物理系车静光 固体物理学 27 • 与电子有效质量相反，在价带顶，空穴有效质 量为正，在导带底为负 • 空穴的运动方程就是带正电的粒子的运动方程 ∇k空穴 E空穴 ( ) k空穴 = ∇k电子 E电子 ( ) k电子 v空穴 = v电子 • 所以空穴速度 • 空穴有效质量 m空穴 = −m电子 • 由前图看到 物理系车静光 固体物理学 28 本讲要点 • 如何描写电子的坐标、速度和加速度 * 准经典近似 • 能带中电子的运动 * 有效质量 * 空穴 * Bloch振荡 物理系车静光 固体物理学 29 概念要点 • 准经典近似条件 • 波包位置、速度和加速度 • 有效质量 • 空穴 • Bloch振荡 物理系车静光 固体物理学 30 思考问题 • 晶体电子的准经典近似中，如何考虑周期性势 场的作用？
习题 物系车游光 湿学 6
6 物理系车静光 固体物理学 31 习题 • 4.1 • 4.5