复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第3讲 Sommerfeld模型——基态.pdf_大学文库

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第3讲、Sommerfeld模型——基态 1. 再论Drude模型 2. 费米—狄拉克分布 3. 比热的定性估计 4. Sommerfeld模型 5. 状态密度——波矢空间 6. 状态密度——能量空间 7. T=0时的性质量子统计，自由电子气的基态性质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、再论Drude模型 • Wiedemann-Franz定律，成功! • 金属电子比热，完全失败 * 实验测量，电子对比热的贡献在低温下与温度成正比，在绝对零度时消失 V B c nk 2 3 = • 为什么对比热失败？ • 对电导率呢？因为弛豫时间是个参数，并不能证明没有困难。成功的只有Wiedemann-Franz定律 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 看：模型如何得到电子气比热？经典理论 N个自由电子自由度 3N 但室温时，实际~1% ? 电子怎么能够参与传导过程，犹如可以迁移似的，但对热容却几乎没有贡献？ Pauli原理、 Fermi分布！热容~3/2 NkB ~ B 热容被严重高估！Æ？加热，温度升高慢，所有电子都得到能量Æ热容大ÆPauli原理否定模型假定仍可以！但统计？Æ经典还是量子？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 2、 Fermi—Dirac分布 • Drude模型用经典统计：在给定的电子气密度，温度T，平衡态，Maxwell—Boltzmann分布 E k T B MB B e k T m f E n / 3/ 2 2 ( ) − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = π • Sommerfeld模型用Fermi—Dirac分布代替 Maxwell—Boltzmann分布 ( ) 1 1 ( ) F B / + = FD E−E k T e f E • 在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。式中EF是电子的化学势，是温度的函数。当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 FD分布性质基态 T = 0 K 1 1 ( ) ( )/ + = E−EF kBT e f E 0 ≤ f (E) ≤1 思考：经典极限？费米能级EF，T=0时的电子的最高能级对应的费米温度EF =kBTF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 FD与MB分布比较 • 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 • 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ • 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的某些能级空了出来 • 典型金属，在室温下的分布。MB(黑)， FD(红)， FD(T=0K，绿)

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 3、比热的定性估计(半经典) • 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例的电子被激发，这部分电子数目（即上面近似三角区域内电子被激发到下面三角区域） ~ ( / ) ( / ) B BTF N T TF N k T k = EF = kBTF kBT http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 什么是物理？这就是物理！ • 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 2 π ≈ U ≈ N(T /TF )kBT F B c N(T /T )k el V ≈ TF~104-105K，室温下，比热比经典值小两个量级 • 思考：Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结果？被激发电子数电子经典能量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 Drude成功的原因？ • Drude模型对比热失败！ • Drude模型对Wiedemann-Franz定律基本正确！对热传导系数 κ τ 2 3 1 c v = V • 比热的过高估计（两个数量级）正好被速度的过低估计（同样数量级）所抵消！ • 除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非常好的近似，因为周期性排列没有散射机制 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 4、 Sommerfeld模型(基态性质) • 模为常数，表示电子在各处出现的几率都相同 • k平面波波矢，方向为平面波传播方向 • 与波长的关系 • 在V=L3内的N个自由电子。独立电子近似Æ分离变量Æ单电子方程Æ单电子波函数 ( ) ( ) 2 2 2 r r r ψ Eψ m − ∇ = h k r k r • = i ψ ( ) Ce • 波函数代入方程得到解，即自由电子的能量 k = 2π / λ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z k k k m k m E = = + + h h k = C 2 (r) ψ k = ∑i i 2m ˆ 2 p H http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 讨论 • 自由电子的状态用量子数k来描述！ • k是电子动量的本征态 p = hk • 则相应的速度 m k v h = • 即自由电子的能量也可写成这个形式 2 2 1 比较电子动能 E = mv ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z k k k m k m E = = + + h h k • k如何取值？固体无限时，k可取任意值，E(k) 因此是连续的，否则，k由边界条件定 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 N L 周期边界条件 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z L x y z x y L z x y z x L y z x y z ψ ψ ψ ψ ψ ψ + = + = + = k r k r • = i ψ ( ) e = = =1 ikxL ik yL ikzL e e e ;L 6 ; 4 ; 2 , , 0; L L L k k k x y z π π π = ± ± ± 边界条件导致k 取值的量子化，分立值思考：无限深势阱？

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 5、状态密度——波矢空间 • 每个点都是解，描写电子状态 • 每个状态在k空间占体积 2π / L ( ) 2 / L 8 /V 3 3 π = π •状态密度：k空间单位体积内的状态数 3 8 1 π V = Δk 每个 k值在该空间代表一个点 ;L 4 ; 2 , , 0; L L k k k x y z π π = ± ± http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 kF ky kx kz Fermi 能级 ( ) 3 3 F 3 4 2 2 k V N π π = 半径 kF 的球内的状态数为基态，电子在k空间都处于半径为kF的球内，即占据球内一点。最高被占据面，Fermi面 Pauli原理：每个 k 态填两个电子，由低到高依次填充，形成半径为kF的 Fermi球自旋 m k v F F h = B F F k E T = 速度温度 m k E 2 2 F 2 F h = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 Fermi能级？ • 基态下电子填充的最高能级 • Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被占据的状态分开 • 只有Fermi能级附近的电子才容易被激发 * 电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化引起的 * 如果加外场，也只有Fermi能级附近的状态发生变化 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 基态总能量 (T=0) • 单位体积自由电子气体的基态能量：Feimi球内所有电子能量之和 ∑< = F 2 2 2 2 0 k k m k E h 自旋 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 3 8 1 π V k = Δ 为了将求和转换为积分，利用k空间单位体积内的状态数，可得 ∑ ∑ < < = = Δ F F 8 2 2 2 2 2 2 3 2 2 0 k k k k m k m k V V E k h h π ∫ < = F 8 2 2 2 2 3 0 k k d m k V E k h π m k E F F 2 2 2 0 h = ( ) 3 3 F 3 4 2 2 k V N π π = ∫ < = F 2 2 2 3 4 8 2 2 k k k dk m k π π h 再利用 ( ) 3 F 2 5 3 2 0 2 4 2 3 10 1 F m V k k V N E π π π ⋅ = h m kF 5 2 3 2 2 h = 0 5 3 = EF m k 10 1 2 5 2 h F π = 电子气平均能 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 6、状态密度——能量空间 • 状态空间，k点等间距分布，每个k点占有的体积 3 3 2 8 L V π π ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δk = • k空间单位体积内k点数——状态密度（常数） 3 8 1 π V = Δk • 更常用的是能量空间的状态密度？

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 能量空间，kÆE • 在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积分 • k求和以积分代替，分立Æ连续 ∑ → ∫ k k f k dk V f ( ) 8 ( ) 3 π ∑ → ∫ i f (Ei) f (E)D(E)dE • D(E)——状态密度：单位能量间隔E~E+dE 内，电子状态数 • 思考：能量空间的状态密度什么物理意义？ dE dN D(E) = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 能量态密度 • 书中用单位体积内的D(E)/VÆg (E) • 已知k空间的状态密度（常数），由k空间的状态密度可以得到能量空间的状态密度，利用 ( ) m k k k k m E x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 h h = + + = • 得到D(E) ( ) 8 3 D E V → π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 3/ 2 2 2 2 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = h V m C D E C E π E m dE k dk m E 2 2 2 2 2 2 h h = ⇒ = D(E) E C E k dk V d V dN 2 3 3 4 8 2 8 2 π π π = k = 思考：二维、一维自旋密度体积微元 dE dN D(E) = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 经典：同一能量状态可以填任意电子 • 量子：泡利不相容原理 • 费米分布：热平衡时，能量处在E时的几率 ∫ ∫ ∞ ∞ = = 0 0 N f (E)D(E)dE C f (E) EdE • 三维时，能量状态密度与能量的平方根成正比 3/ 2 2 2 2 2 ( ) , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = h V m D E C E C π • N状态数。如果全部用来填充电子，就是电子数。因此，假定电子总数知道，可用上式来确定Fermi能量，总能等T=0时的基态性质 ( ) 1/[ 1] ( )/ = + E−EF kBT f E e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 7、T=0时的性质 • 电子数 ⎩ ⎨ ⎧ > < = F F E E E E f E 0 if 1 if ( ) ( ) ( )3/ 2 0 3/ 2 2 2 3/ 2 0 0 2 3 3 2 0 F F E E V m N C EdE C E F ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ∫ π h ( )2/3 2 0 3 2 n m EF π h = 1/3 k (3 n) F = π • 费米能级 m k E F F 2 2 2 0 h = n = N /V • 利用 • 得费米波矢费米能级的典型数值是1~10eV 相应的费米温度为104 ~ 105 K 费米波矢为原子间距的倒数 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 电子气的平均能量（平均动能） N D E f E EdE E ∫ = ( ) ( ) 0 在 T = 0 K 电子仍具有相当大的动能！EF量级 Pauli 不相容原理 0 0 3/ 2 0 5 3 F E E dE E N C F ∫ = =