例题 解: ·由两个相同原子组成的一雏原子链,每个原胞 ·问题 中有两个原子,原胞长度为a,原胞内两个原 原胞内不止 子的相对距离为b 方法 季是故续的形部互作用, 还不能直接用 求出相应能带的E(k数 ·最近邻:最近的原子,并非原胞 两个原子,各自s态的Boch和 原子s态晶体波函数 种p∥45.2413che國体学 体理学 ·每个原胞内的势 v(x)+v(x-b) 再看 v(r)=>l(r-na)+r(x-b-nma)] H=∑e“m“"(p(x)Hlp(x-b-m》 可以假定((x)(x-b)》=0 p(x)Hl(x-b》+∑em"(p(x)H|(x-b-ma ·先看 =c“((x)vp(x-b》+e“(p(x)Flp(x-b+a H“-NSc“"(p(x-"a)|lp(x-m ∑c(p(x)flp(x-m》 ·类似地 H=∑cm"(p(x-b)l(x-m ={(x)F|(x)+∑e(p(x)川|(x-m E,+C+2o()avl(r-a)cos ka o(r-b)Hlo(x))+2e(m-o(r-b)Hlo(r-na ) =c“{(x-b)Vl(x)+e““((x-b)(x-a 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 ·如果这两个原子是同种原子,就可以直接用公 式,只是距高是a2,比周期小一倍,可以把 a/2当周期 p“-E()-|"F=0 E(k)=E。+C+J( ika /2 思考:是否能用 p“-E(k)= E(k)=Eo+C+e"J'+e(a-b) ·这里的T是近邻原子的坐标 b=a时,就是简单结构的公式 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 例题： • 由两个相同原子组成的一维原子链，每个原胞 中有两个原子，原胞长度为a，原胞内两个原 子的相对距离为b。 * 根据紧束缚近似，只计入最近邻相互作用，写出原 子s态对应的晶体波函数的形式 * 求出相应能带的E(k)函数 a b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解： • 问题： * 原胞内不止一个原子的问题，复杂结构问题 * 紧束缚方法中的能带公式是关于原胞内只有一个原 子的，并且只考虑s态。虽然现在也只考虑s态，但 还不能直接套用 * 最近邻：最靠近的原子，并非原胞 • 两个原子，各自s态的Bloch和 = ∑ ( ) − n A ikna k e x na N ψ x ϕ 1 ( ) = ∑ ( ) − − n B ikna k e x b na N ψ x ϕ 1 ( ) (x ) A ( x) B ( x) B k A Ψk = ψ k + ψ a b • 原子s态晶体波函数 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 • 先看 • 每个原胞内的势 v ( x) + v( x − b) ( ) = ∑ [ ] − + − − n V x v ( x na ) v( x b na ) • 可以假定 ϕ () ( ) x ϕ x − b = 0 = ∑ ( ) − ( ) − − ' ( ') ' 1 nn AA ik n n a e x n a H x na N H ϕ ϕ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ≠ = + − n 0 ikna ϕ x H ϕ x e ϕ x H ϕ x na E C 2 ( ) x V (x a ) cos ka = 0 + + ϕ Δ ϕ − = E0 + C BB = H = ∑ ( ) ( ) − n ikna e ϕ x H ϕ x na http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 • 再看 = ∑ ( ) ( − − ) + n AB ik na b H e ϕ x H ϕ x b na ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ≠ + = − + − − 0 ( ) n ikb ik na b e ϕ x H ϕ x b e ϕ x H ϕ x b na e (x ) V (x b ) e ( ) x V ( ) x b a ikb ik b a = Δ − + Δ − + − ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) e J e J ikb ik (b a ) ' − = + • 类似地 = ∑ ( − ) ( ) − − n BA ik na b H e ϕ x b H ϕ x na ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ≠ − − = − + − − 0 ( ) n ikb ik na b e ϕ x b H ϕ x e ϕ x b H ϕ x na e (x b ) V (x ) e ( ) x b V (x a ) ikb ik a b = − Δ + − Δ − − − ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) * * ( ) * ' ikb ik a b AB = e J + e J = H − − http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 • b=a/2时，就是简单结构的公式， ( ) ( ) 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − H H E k H E k H BA AA AA AB [ ] ( ) 0 2 2 − − = AA AB H E k H [ ] ( ) 2 2 AA AB H − E k = H E k E C e J e J ikb ik ( a b ) 0 ( ) ' − − = + ± + E k E C e J e J ika / 2 ika / 2 0 ( ) = + + '+ − http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 如果这两个原子是同种原子，就可以直接用公 式，只是距离是a/2，比周期小一倍，可以把 a/2当周期 ( ) / 2 / 2 0 ( ) ika ika E k E C J e e − = + + + • 思考：是否能用 = + + ∑ Δ − i i ikT E k E C e x V x T i ( ) ( ) ( ) 0 ϕ ϕ • 这里的Ti 是近邻原子的坐标
B=0(H+M) 第19讲、固体磁性 l、固体磁性分类弱磁性 1.固休磁性分类 ·顺性:x~10410-7 2.磁性来源—原子磁矩 场时,原子磁矩无规取向 场诱导,磁 3.磁性来源—传导电子顺融性 向的矩数目增加,导致较小的磁化盈M 4.固体中离子和电子的職性 与温度成反比 5.分子场理论 逆(抗)磁性:x<0,~104~107 常被比它大一两个量级的顺嚇性所掩盖,来源于内 6.交换作用模型 更,故受外场影响变化,感应, 7.能带模型 ·反铁職性:x~104-105,属有序弱磁性 专题:自发磁化的微观机理:自旋磁矩占主,来 过液命属氧化粉合金如MnO,CrO,CoO等 源于电子交换相互作用 温度高于r时呈嚇性,温度低于T时,原子磁矩 反平行排列,互相抵消,总磁矩为零 种p∥45.2413che國体学 种中45243 固体磁性分类强磁性z 磁降、磁化曲线和磁滞回线 铁職性:x~100~105 自发磁化出现在大块職体的微小区城内— 典型的有Fe,Co,N等,易饱和 呈取嚇性,低于T时原子磁矩平行排 ·未加外嚇场时,各磁的自发磁化矢量并不在同一 说能带中正负自旋的电子数不等,来自于 方向上,但合成的总磁化强度为零 自发磁化(无外磁场的磁化) 外加磁场后,磁新取向,导致了磁化 亚铁磁性:x~10°~105 #磁化曲线 合金,典型如铁氧体Fe3O4易饱和 #磁滞回线 仔T时呈顺磁性,低于T时原子磁矩反平行 #使所有磁畸在一个方向时,磁饱和 但由于不同原子磁矩大小不一,所以总磁矩 不为零。亦属自发磁化 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 2、磁性来源—原子磁矩 Hund定则和交换作用 磁性是量子效应 ·如采未滿壳层电子的总轨道角动量、总自旋 电子的交换作用 角动量和总角动量分别为L、S和/,Iund定 自由原子的磁矩有三个来源 则是,基态时 1.电子自旋磁矩 1.取Pau原理允许的S最大 2.电子轨道磁矩即绕运动 2.满足1时,取最大 3.外加磁场感应的轨道磁矩的改变 另外,还有原子核矩,非常小,1200,可忽略 粤手的率时最1154:电子对 前两个是磁性的来源 体时,类似于第1条。比如,第1个电子先 填充最低的轨道,第2个电子填充取决于能级 动量和总自旋角动量都为 差与交换能的大小关系→交换模型 E=-2∑4SSg 种45.2413yche是学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 第19讲、固体磁性 1. 固体磁性分类 2. 磁性来源——原子磁矩 3. 磁性来源——传导电子顺磁性 4. 固体中离子和电子的磁性 5. 分子场理论 6. 交换作用模型 7. 能带模型 专题：自发磁化的微观机理：自旋磁矩占主，来 源于电子交换相互作用 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 1、固体磁性分类——弱磁性 • 顺磁性：χ~ 10-4~ 10-7 * 无外磁场时，原子磁矩无规取向，有外场诱导，磁 场方向的磁矩数目增加，导致较小的磁化强度M。 与温度成反比 • 逆(抗)磁性： χ<0, ~10-4~ 10-7 * 常被比它大一两个量级的顺磁性所掩盖，来源于内 层电子绕核运动磁矩，故受外场影响变化，感应， 逆向 • 反铁磁性：χ~ 10-4~ 10-5，属磁有序弱磁性 * 过渡金属氧化物合金如MnO，CrO，CoO等 * 温度高于Tn时呈顺磁性，温度低于TN时，原子磁矩 反平行排列，互相抵消，总磁矩为零 ( ) H M B H M = = + χ μ0 T C χ = T TN C + χ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 固体磁性分类——强磁性 • 铁磁性：χ~100~ 105 * 典型的有Fe，Co，Ni等，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩平行排 列，或者说能带中正负自旋的电子数不等，来自于 自发磁化（无外磁场的磁化） • 亚铁磁性： χ~ 100~ 105 * 一般是合金，典型如铁氧体Fe3O4，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩反平行 排列，但由于不同原子磁矩大小不一，所以总磁矩 不为零。亦属自发磁化 T TC C − χ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 磁畴、磁化曲线和磁滞回线 • 自发磁化出现在大块磁体的微小区域内——磁 畴 * 未加外磁场时，各磁畴的自发磁化矢量并不在同一 方向上，但合成的总磁化强度为零 * 外加磁场后，磁畴重新取向，导致了磁化 # 磁化曲线 # 磁滞回线 # 使所有磁畴在一个方向时，磁饱和 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 2、磁性来源——原子磁矩 • 磁性是量子效应 * 电子的交换作用 • 自由原子的磁矩有三个来源 1. 电子自旋磁矩 2. 电子轨道磁矩(即绕核运动) 3. 外加磁场感应的轨道磁矩的改变 * 另外，还有原子核磁矩，非常小，1/2000，可忽略 * 前两个是顺磁性的来源 * 后一个是抗磁性的来源 * 满壳层电子的总轨道角动量和总自旋角动量都为 零，所以对原子磁矩没有贡献 Hund定则和交换作用 • 如果未满壳层电子的总轨道角动量、总自旋 角动量和总角动量分别为L、S和J， Hund定 则是，基态时 1. 取Pauli原理允许的S最大 2. 满足1时，取L最大 3. 电子少于满壳层的一半时，取J=|L-S|；电子大于 等于满壳层的一半时，取J=|L+S| • 固体时，类似于第1条。比如，第1个电子先 填充最低的轨道，第2个电子填充取决于能级 差与交换能的大小关系Æ交换模型 = − ∑ • Eex 2 AijSiα Siβ ΔE < Eex
3、磁性来源—传导电子的顺磁性 加场后,电子自旋顺着磁场方向平移 场方向相反的电子自旋能量高,磁矩反转, 到另一自旋方向的能级上,平衡时,两个自旋方 实验事实:顺雕性金属其磁化率不随温度变 化,而多数抗撒性金属的抗激雕化率小于其正 离于的抗敬融化率 ·反转电子敷约园(E1)/2总磁矩变化M=hg(E 先泽碰性,其值大多大于传号导电子的抗 磁化率x=HM1B=Hg(E)与温度无关 E #自旋向上和向下分布不同→交换劈裂 固体时,職性机理与传导电子顺礅性的机理相 能带模型 g(EV g(EV2 &'(Ev 8(EV2 g(Ev2 种p∥45.2413che國体学 体理学 4、固体中离子和电子的磁性 5、分子场理论 形咸固体后,电子处于高子产生的晶体场中 分子场就象外磁场,使微观原子磁矩有序排列 电子态会发生变化,使电子孰道发生变化 戰电子)磁矩的相 沿昌体场对称性方向,孰道量孑化 #轨道磁矩对总磁矩贡献减少甚至消失淬灭 称为磁,在不 #磁各向异性 ·温度也可以引入 未满壳层的和子,过渡族的d电子和轻婀 热运动将挑乱有序排列→居里温度时 磁化消 族的电于介于局城电子和共有电子之间 局城电子:局城电子行为按近于孤立原子中的电子 ·分于场理论是一种有效场理论,物理图象清楚 铌望鹰晟作周里京楚翠号写盒发键 电子交换作用影响磁性过渡族和稀士族的磁性 但不能说明:分子场来源,自发磁化的本质 p45.24132gche回物学 体理学 分子场本质:交换作用 6、交换作用模型 ·如何考虑或者说验证这类问题? Heisen berg模型 多强的分子场才能使之自发磁化? 其中S和S是电子的自旋磁矩 10奥斯特! A是交换积分 实验表明,分子场的嗤场强度大的只有10奥斯特 ·如果41<,显然,电子反平行排列能量低 这说明,分子场的性质不是场 歡量的有利与否取决4的正负,以及S是否平行 那是什么? 是自发磁化的必要条 Heisenberg:交换作用!本质上是静电作用 才有可能自旋平何取向,自发磁H 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 3、磁性来源——传导电子的顺磁性 • 实验事实：顺磁性金属其磁化率不随温度变 化，而多数抗磁性金属的抗磁磁化率小于其正 离子的抗磁磁化率 * 传导电子具有顺磁性，其值大多大于传导电子的抗 磁磁化率的数值 * 来源于传导电子的自旋磁矩：即在磁场作用下，自 旋向上和向下的电子具有不同的能量，热平衡后， 不同自旋的电子数量不同，导致自旋极化——顺磁 性ÆPauli自旋极化顺磁性 # 自旋向上和向下分布不同Æ交换劈裂 • 固体时，磁性机理与传导电子顺磁性的机理相 似——能带模型 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 • 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移 * 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填 到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向 的费米能级一致 E EF g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E μBB g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E EF μ BBg(EF )/ 2 M g(EF )B 2 • 反转电子数约 总磁矩变化 = μ B • 磁化率 与温度无关 / ( ) F 2 χ = μ0M B = μ0μ Bg E http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 4、固体中离子和电子的磁性 • 形成固体后，电子处于离子产生的晶体场中 * 电子态会发生变化，使电子轨道发生变化 * 沿晶体场对称性方向，轨道量子化—— # 轨道磁矩对总磁矩贡献减少甚至消失——淬灭 # 磁各向异性 • 未满壳层的d和f电子，过渡族的d电子和轻锕 族的f电子介于局域电子和共有电子之间 * 局域电子：局域电子行为接近于孤立原子中的电子 * 共有电子：过渡族中的d电子、轻锕族中的f电子也 有共有化倾向，在费米面附近，与共有化的s电子互 相交迭——与孤立原子中的有明显差别 * 电子交换作用影响磁性——过渡族和稀土族的磁性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 5、分子场理论 • 分子场就象外磁场，使微观原子磁矩有序排列 * 在居里温度以下，分子场与原子（或电子）磁矩的相 互作用大于热运动，导致自发磁化 * 自发磁化发生在许多微小的区域中，称为磁畴，在不 同方向，宏观磁化强度为其矢量和 • 温度也可以引入 * 热运动将搅乱有序排列Æ居里温度时，自发磁化消 失，铁磁性就表现为顺磁性，因为每个原子仍有磁 矩，再加上一外磁场，就会有总的磁矩 • 分子场理论是一种有效场理论，物理图象清楚 * 把复杂的微观作用用有效场代替。解释了：自发磁 化、居里温度、居里-外斯定律(磁化率与温度成反比) * 但不能说明：分子场来源，自发磁化的本质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 分子场本质：交换作用 • 如何考虑或者说验证这类问题？ • 多强的分子场才能使之自发磁化？ * 107奥斯特！ * 实验表明，分子场的磁场强度大约只有104奥斯特 • 这说明，分子场的性质不是磁场！ * 那是什么？ • Heisenberg：交换作用！本质上是静电作用 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 6、交换作用模型 • Heisenberg模型 * 其中Si 和Sj 是电子的自旋磁矩 * Aij是交换积分 • 如果Aij 0是自发磁化的必要条件 * 才有可能自旋平行取向，自发磁化 ∑< = − • i j Eex 2 AijSi Si
+20 A0的条件410k(.21e0m 分子场实质是电子交换作用 ·只考虑近邻,电子云交选才大。还与电子軌道 对分子来说,两核a和b,两电子1和2,交换积分 的形状(即电子云分布)有关 如图轨道分布,在原子中心位置,电子云较少 把-9=p看作交换电子云密庋,只出现 两个原子位置的中间区城,电子云的数值较 在电子云a和b叠的地方 因此对A中正的一项贡献较大 第一项是两团交换电子云的相互排斥作用能,是正 ·如果两个原子相隔间距大,大于轨道半径,对中 ·如图只是对轨道分布,复杂轨道分布另当别论 后两项类似,都是原子核与交换电子云的作用能乘 以交选积分都是负的 对氢分子来说,A这项是负的,所以 两个电子反平行排列而取能量最低,表现为抗磁性 p:∥4.24I32che 心学 政中4524l3-iche 体理学 d轨道角分布 7、能带模型 能带模型针对共有电子—巡游电子 自发職化就象在外磁场中的传导电子 但现在外磁场有分子场(晶体场)代g 旋向上和向 ·如果电子不是局城的,而是共有的 则均匀分布在能带中,用态密度代替能级 #可以看作电子不是填充能级,而是平均填充能带 类似与传导电子的顺磁 类嵌甭相互作用可由分子场近似,且考交换 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 ·交换作用导致自发職化:能级差小于交换能 交换能量与能级填充 无雕性材料 而自旋向下能级末被填充,必向上移动 两种电子自旋态密良结构相网 半金属 halfmeta 不是所有的能带都有交换效应 如果有与没有交换效应的能带之 ·但在能带时,对应 间没有交迭,类似 未被占据的自旋向下的能带整体 旋向上、下态密度 移向灵米能级以上,形成禁带 充和移动(称为交 铁磁、亚铁融性 六作電学数米再自向 换劈裂不 E,(,)=E,(n,0)-[,(,1)-g,(,0),G) ()=10+5y”+0-5)”-2.,=-n 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 () ( ) ( ) () ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∗ ∗ 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 dr dr r r r A a b a b ϕa ϕb ϕ ϕ −ϕaϕb = ρ ab ∗ • 分子场实质是电子交换作用 * 对氢分子来说，两核a和b，两电子1和2，交换积分 A为 • 可把 看作交换电子云密度，只出现 在电子云a和b重叠的地方 * 第一项是两团交换电子云的相互排斥作用能，是正 的 * 后两项类似，都是原子核与交换电子云的作用能乘 以交迭积分，都是负的 • 对氢分子来说，A这项是负的，所以 * 两个电子反平行排列而取能量最低，表现为抗磁性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 A>0的条件 • 只考虑近邻，电子云交迭才大。还与电子轨道 的形状（即电子云分布）有关 * 如图s轨道分布，在原子中心位置，电子云较少 • 在两个原子位置的中间区域，电子云的数值较 大，因此对A中正的一项贡献较大 * 如果两个原子相隔间距大，大于轨道半径，对A中 正的一项贡献大 * 如图只是对s轨道分布，复杂轨道分布另当别论 () ( ) ( ) () ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∗ ∗ 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 dr dr r r r A a b a b ϕa ϕb ϕ ϕ ar br r http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 d轨道角分布 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 7、能带模型 • 能带模型针对共有电子——巡游电子 • 自发磁化就象在外磁场中的传导电子 * 但现在外磁场有分子场（晶体场）代替 * 交换作用或等效的分子场作用都是使自旋向上和向 下的电子数目不同，自发磁化，整数磁矩 * 但3d过渡金属，Fe, Ni, Co的磁矩不是整数 • 如果电子不是局域的，而是共有的 * 则均匀分布在能带中，用态密度代替能级 # 可以看作电子不是填充能级，而是平均填充能带 # 类似与传导电子的顺磁性 * 能带电子相互作用可由分子场近似，并且考虑交换 关联作用 g g ↑(E)/2 ↓(E)/2 E EF http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 • 交换作用导致自发磁化：能级差小于交换能 * 第一个电子填充在自旋向上的能级上；第二个电子 填充需比较交换能与自旋向上的第二个能级之间的 大小，如果能量有利，就填充在自旋向上的能级上 * 而自旋向下能级未被填充，必向上移动，整数磁矩 ΔE < Eex • 但在能带时，对应态密度的 填充，有交换作用导致的自 旋向上、下态密度的不同填 充和移动（称为交换劈裂） * 填充在费米能级以下的自旋向 上、下电子数目不同 ( ) ( ) () ( ) [ ] ( ) ( ) ()() n n n f n n n n f x x x x x x ↑ ↓ − = − + + − − = = − − ζ ζ ζ ζ ε ζ ε ε ε ζ , 2 1 1 1 2 2 1 , , 0 ,1 , 0 1 / 3 4 / 3 4 / 3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 交换能量与能级填充 • 无磁性材料 * 两种电子自旋态密度结构相同 • 半金属(halfmetal) * 不是所有的能带都有交换效应 * 如果有与没有交换效应的能带之 间没有交迭，类似于原子情况， 未被占据的自旋向下的能带整体 移向费米能级以上，形成禁带 • 铁磁、亚铁磁性 * 能带有重叠，交换劈裂不能截然分 开，因此，导致整个自旋向上、向 下态密度不同、粗略地说自旋向 上、下态密度有位移Æ磁性
本讲要点 ·固体職性分类 ◆國磁、逆磁、反铁、铁磑、亚铁磁 微观解释 原子磁矩的Hund定则 传导电子顺磁性解释降 性本质—交换相互作用 分子场模型 种p∥45.2413che國体学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 本讲要点 • 固体磁性分类 * 顺磁、逆磁、反铁磁、铁磁、亚铁磁 • 微观解释 * 原子磁矩的Hund定则 * 传导电子顺磁性解释 • 磁性本质——交换相互作用 * 分子场模型 * 交换作用模型 * 能带模型
