复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第22讲解读能带

1. 空晶格模型能带结构书中图3.8讲解书中习题3.3解答 2. 能带结构得到的信息

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1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第22讲、解读能带 1. 空晶格模型能带结构 * 书中图3.8讲解 * 书中习题3.3解答 2. 能带结构得到的信息 * 典型能带：金属、惰性气体晶体、离子晶体、共价晶体 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、空晶格模型能带结构 • 关键是将邻近高布里渊区移入第一布里渊区 • 由倒格子基矢得到倒格点，取最邻近的倒格点，移动到第一布里渊区 ( ) , 1, 2 1 2 ( ) 0 2 2 2 = = = = = m m E V h h k k k r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } , , : 0 ~ 边界 2 2 2 2 x y z x x y y z z k k k k K k K k K E = + + + + + k + K = k + K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 面心立方结构第一布里渊区 • 面心立方的倒格子是体心立方，最近邻倒格点有八个 • 原点到这八个最近邻的倒格点的中垂面围成八面体 • 但这还不是第一B区。而次近邻倒格点有六个，截去八面体的六个顶锥，成14面体，正好是倒格子原胞的体积，形成如图的第一B区 • 高对称点坐标(单位2π/a) * Γ: (0,0,0), L: (.5,.5,.5), X: (1,0,0), * K: (.75,.75,0), W: (1,.5,0) ( ) ( ) ( ) 0,0, 2 2 0, 2,0 2 2,0,0 , 2 ± ± ± a a a π π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1,1 ,1 2 1,1 ,1 , 2 1,1,1 , 2 1,1,1 , 2 a a a a a a a a π π π π π π π π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 沿Γ~X的空晶格能带 • [100]方向，边界面在X:(1,0,0)2π/a上 • 电子在[100]方向上的能量为 ( ) a E k K K K k x x y z x 2π , : 0 ~ 2 2 2 = + + + ( ) () ( ) 0 2 2 2 0, 2 0 : 0 ~ E a E E X a E k k k x x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ Γ = = = = π π 当K 时，上式为：，而 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1 ,1,1 , 2 1,1 ,1 2 1,1 ,1 , 2 1,1,1 , 2 1,1,1 , 2 a a a a a a a a π π π π π π π π • 这八个最近邻倒格点都在第二布里渊区，移到第一布里渊区都是 Γ点 ( ) ( ) 故： () ( ) ，都是四度简并的当时，前式为 , 6 2 3 2 2 2 2 2 1, 1, 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ Γ = = ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ± ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ± = ± ± ± E E E E E X E a k a a a E k k a x x x π π π π π K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 ( ) ( ) ( ) 0,0, 2 2 0, 2,0 2 2,0,0 , 2 ± ± ± a a a π π π ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ()() ( ) () ( ) ，四度简并、、当为时，分两种情况 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 4 , 5 4 2 2 2 9 4 , 2 1 2 0,0, 2 2 0, 2,0 , 2 2,0,0 , 2 E E E X E k E a E k k E E E E E X a E k k a a a x x x x x Γ = = ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎩ ⎨ ⎧ Γ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ± ± ± ± π π π π π K • 这六个次近邻的倒格点移到第一布里渊区也都是Γ点

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 主要晶体结构高对称点 • SC：简立方(单位π/a) * Γ: (0,0,0), X: (1,0,0), M: (1,1,0), R: (1,1,1) • FCC：面心立方(单位2π/a) * L: (.5,.5,.5), Γ: (0,0,0), X: (1,0,0), K: (.75,.75,0), W: (1,.5,0), Γ: (0,0,0) • BCC：体心立方(单位2π/a) * P: (1,1,1), Γ: (0,0,0), H: (1,0,0), N: (1,1,0), Γ: (0,0,0) • HCP：六角密积2π (2/sqrt(3)a, 1/a, 1/c) * A: (0,0,1), Γ: (0,0,0), H: (1,0,1), K: (1,0,0), L: (0,1,1), M: (0,1,0) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 第一布里渊区(bcc) • 体心立方的倒格子是面心立方，最近邻倒格点有十二个 • 它们的中垂面围成十二面体，正好是倒格子原胞的体积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1,1 2 0,1,1 , 2 0,1,1 2 0,1,1 , 2 1,0,1 2 1,0,1 , 2 1,0,1 2 1,0,1 , 2 1,1,0 2 1,1,0 , 2 1,1,0 2 1,1,0 , 2 a a a a a a a a a a a a π π π π π π π π π π π π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 习题3.3解答对于单价原子构成的三维简单立方单原子晶格， 1. 在空晶格近似下，用简约布里渊区图式，画出沿[100]方向的前4个能带，并标出能带的简并度。 2. 如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？ 3. 如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 解 • 它的倒格子基矢为b1, b2, b3 • [100]方向，边界面在(1,0,0)π/a上 • 电子在[100]方向上的能量为 ( ) ( ) ( ) 0,0,1 2 0,1,0 2 1,0,0 2 3 2 1 a a a π π π = = = b b b ( ) a E k K K K k x x y z x π , : 0 ~ 2 2 2 = + + + ( ) ( ) () ( ) 0 2 0,0,0 , , 0, 2 E k k E E X E a = x = x Γ = = π K ( ) () () ( ) 0 0 2 , 4 , 9 2 1,0,0 , 2 E E E X E a E k k a x x ⎟ Γ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = + π π K ( ) () () ( ) 0 0 2 , 4 , 2 1,0,0 , 2 E E E X E a E k k a x x ⎟ Γ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − π π K ( ) ( ) ( ) () ( ) 0 0 0 2 , 4 , 4 , 5 0,0, 1 2 0, 1,0 E k k E E E E X E a x = x + Γ = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ± ± = π K kx ky kz ( ) 1 2 3 , , 2 l l l a π K = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 • 作图并讨论简并情况简并情况：Γ：4E0，6-fold； X： E0，2-fold；5E0，4-fold 2. 如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？ • 答：这时，由于三个方向同时受压力，均匀变化，所以对能带形状和简并度都不变 3. 如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？ * 答：变形，由x与yz对称所导致的简并消除简并情况：Γ：4E0，2+4-fold； X： E0，2-fold；5E0，4-fold http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 2、能带理论计算能够得到的信息 • 能隙 • 能带跃迁 • 导电性质（金属、绝缘体、半导体） • 费米面 • 基态结构 • 能量状态密度 • 晶体电子的速度 • 晶体电子的有效质量 • 空穴的概念 • 典型材料的能带结构

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