复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第5讲自由电子气模型局限及修正.pdf_大学文库

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第5讲、自由电子气模型局限及修正 1. 例题：纳米颗粒中的电子能级 2. 均匀磁场中的电子气（4.3.1） 3. Hall效应和磁阻 4. Sommerfeld模型的局限 5. 模型修正 6. 固体微观描写 7. 本章概要 • 受约束的电子气：零维、外场约束 • 自由电子气体模型的局限Æ模型的修正途径 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、例题：纳米颗粒中的电子能级 • 假定某一维金属电子密度n=N/L，如果电子气被限制在有限长度内，即L很小时（相当于纳米尺寸），假定电子密度n=N/L不变并且不考虑表面效应，即仍用自由电子气模型，试估计费米能级附近能级间隔会如何变化，会出现什么现象？ * ？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 解：一维Schroedinger方程的解 • 能量状态密度 • 能级 m k E 2 2 2 h = , 0, 1, 2,..., 2 = n n = ± ± L k π L 2π Δk = • 周期边条件，k为 • 每个k点占据的线度 • k空间状态密度 2π 1 L = Δk • 状态数 dk L d L dN 2 2π 2π = k = dE E m dk 2 2h = dE E L m dN 2 2 2 2 2 π h = ？自旋 ( ) 2 −1/ 2 = = E L m dE dN E πh ρ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 • 费米分布（基态，T=0） ()() ∫ ∞ = 0 N ρ E f E dE ( ) m n E 8 2 0 F πh = ⎩ ⎨ ⎧ > < = F F E E E E f E 0 if 1 if ( ) • 费米能级用电子数确定 ∫ − = 0 F 0 2 1/ 2 E E dE L m πh ( )1/ 2 0 F 2 2 E L m πh = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 纳米颗粒中的电子能级 • L趋于无穷大，能级连续 • L很小时，能级分立 • 如何估计费米能级附近的能级间隔？ • 由E~k关系，可由波矢差确定 m k E 2 2 2 h = k m k ΔE = Δ 2 h • 波矢差是固定的常数 L 2π Δk = L k 2π Δ = 2 L E L mE E m L E 0 F 2 2 2 2 Δ = 2 ∝ ∝ h h π • 可得能级差 • 能量态密度的定义为：单位能量间隔内状态数。那么它的倒数应该是两个状态之间的能量间隔！ ( ) L E E ΔE = ∝ ρ 2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 2、均匀磁场中的电子气 • 没有磁场时，自由电子的哈密顿量为 2 2 2 = − ∇ m H h • 有磁场时，哈密顿量中的动量算符换成p+qA， ( )2 2 2 p qA m H = − + h • 其中A是矢势，需要满足 B = ∇× A • 这时，由于其中不含x, z坐标，在这两个方向上和自由电子一样，尝试波函数为 • 假定磁场方向为z轴，可取A=(-By, 0, 0)，则 ψ [( ) p eBy p p ]ψ Eψ m H = − x + + y + z = 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 h ( ) e (y) i k x k z x z ψ ϕ + = 对电子，q为-e

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 代入后可得 [ ] ( ) k eBy p k () () y E y m x + + y + z ϕ = ϕ 2 2 2 2 ˆ 2 1 h h • 可以写成 ( ) ( ) ( ) y m k y E y k eBy m z x ϕ ϕ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + − 2 2 1 2 2 2 2 2 2 h h h • 这是简谐振子的Schroedinger方程， ( ) () ( ) y m k y y y E m m y z ωc c ϕ ϕ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h m eB 回旋频率：ωc = qB k y x c h 谐振子中心： = • 分立的能量本征值为 c z n n m k E E hω h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 1 2 2 2 m k E n z c 2 2 1 2 2 h ⎟h + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 能级分立 • 在磁场方向，能量仍是连续的 • 原来自由电子在x~y平面连续的能级，现在是量子化的，这些分立的能级称为Landau能级 * 思考：Landau能级的物理原因？ • 如果kz保持不变，则电子在kx~ ky面内，被限制在一个个圆环上运动，每个圆环内电子能量相同，即分立的能量 • 那么，如果kz连续，电子在空间的轨迹就是螺旋运动 * 思考：如将电子气限制在二维空间，将会发生什么？ ( ) m k k k k n m z x y z c 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 h h h ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⇒ + ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 • 能量态密度：两部分的迭加。在x~y方向的分立能级的态密度和在z方向的连续能级的态密度，即一维的态密度与分立能级的迭加 • 一维电子气体的能量态密度 1/ 2 1/ 2 2 1 ( ) ~ − − ∑ ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + n c n D E En E n hω ( ) 1/ 2 ~ − D E E c z E n m k hω h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 1 2 2 2 • 改写磁场中电子气能量关系 • 于是得到磁场中电子气的态密度为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 Hall效应：沿j×B方向产生Hall电场Ey x j r B x j r Ex Ex x j r Ey _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + + 3、Hall效应和磁阻（准经典） http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 经典Hall效应 RH Rx Bz j B E R x y 定义Hall系数， H ≡ 磁阻 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 准经典理论 • 电子在电磁场中受力 ⎟ k = F ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + δ τ 1 dt d h • 考虑碰撞，电子运动方程 F = −e( ) E+ hk ×B ⎟ k = − ( ) E + k ×B ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ h + δ e h dt d τ 1 • 则运动方程为 ⎟v = − ( ) E+ v×B ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + e dt d m τ 1

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 稳态 ( ) ( ) z z y y x x x y v eE dt d m v e E Bv dt d m v e E Bv dt d m ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + τ τ τ 1 1 1 B z 静磁场沿z 方向 z z y y c x x x c y E m e v E v m e v E v m e v τ ω τ τ ω τ τ = − = − + = − − ωc = eB / m 回旋频率 dv / dt = 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 • 横向电流为零，即 = 0 y v • 于是 y c x x x E v m e E m e v ω τ τ τ = − + = − 0 • 用电流密度的关系 j = −env • 就有 x Ex m Ex j = ne τ / = σ 2 • 另有 y c x x x J ne B E m eB E = − E = − = − τ ω τ 与B无关,磁阻为零 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 对于自由载流子，这个量是负的。载流子浓度低，Hall系数的数值大 • 与实验比较，一价金属较好，贵金属差，过渡金属非常差，符号都有可能相反 • 看来有两种载流子，一种负，一种正。超出自由电子气模型才能说明——能带理论才能解释 * Hall效应常被用来测量载流子 • 1980年代以后，出现量子Hall效应现象：二维电子气在磁场下（整数量子Hall效应，分数量子Hall效应） ne RH 1 = − j B E R x y H ≡ • 根据定义，Hall系数 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 4、模型的局限：a. 电导 • 成功：与Drude模型相比，改用量子统计后，可以解释金属许多物理性质，比如电导率 * 根本原因：除了d或f电子金属，传导电子行为与自由电子确实非常相似 * 传导电子的行为？Æ能带理论 • 不能解释 * 电导的温度依赖性？ * 电导的各向异性？（某些金属） * 传导电子的数目？ * 绝缘体、半导体、导体？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 b. 热传导 • 成功：改用量子统计，低温时比热与温度成正比 * 这个结论对碱金属较好，与实验相符 • 不能解释 * 比热的温度依赖关系即使在低温，对贵重金属（d 壳层满，只有s价电子）也较差，对过渡金属（d壳层也未满）非常差 * 为何低温时比热主要是电子的贡献？原子核呢？ * Wiedemann-Franz定律高温、极低温是与实验相符，但中等温度时，Lorenz数与温度有关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 c. Hall效应 • 成功： * 导出了Hall系数，量级基本正确 * 碱金属的Hall系数 • 不能解释 * Hall系数实际应与温度、磁场强度有关 * 有些材料Hall系数前符号错误（存在不同载流子）

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 5、模型修正 • 质疑自由电子气的几个近似 * 自由电子近似 * 独立电子近似 * 弛豫时间近似 • 最值得修正的近似——自由电子近似 * 意即：如果这个近似被修正，很多问题可以得到合理的解释 * 自由电子近似就是电子与离子的相互作用被忽略 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 讨论 • 忽略离子意味着 1. 离子在两次碰撞之间对电子运动的作用被忽略； 2. 离子作为一个碰撞之源到底起什么作用并不明确 3. 作为一个独立运动学实体，离子本身对固体的性质的贡献被忽略Æ比热与T3成正比 • 思考：上面1和2有什么差别？ • 因为不能明确碰撞的真正含义！ • 如果只考虑离子排列，离子不振动，则只需一个简单的修正就可以还原自由电子模型 * 周期性排列Æ碰撞将真正地不存在 * 只有当离子被允许运动，偏离周期性Æ离子作为碰撞之源的角色才能够被适当地理解 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 自由电子近似修正 • 修正分成两个步骤 1. 电子并不是运动真空中，而是运动在一个离子静止排列的特殊的势场中 * 其实验根据早就存在，即宏观晶体的X射线衍射实验，所以这是合理的 * 因此在自由电子哈密顿量上加上一项 = − ∑ − − − i J i RJ V r , 0 ( ) 2 1 Hˆ 电子核电子核 * 需要这个排列必须具有周期性Æ固体物理的核心内容——晶体的周期性结构——整个固体物理的分析基础，无它就不会有固体物理学已经用了静止离子坐标 2. 离子振动，偏离这个静止的势场 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 6、固体的微观描写 H ({ },{ }) ({ },{ }) ˆ i J i RJ Ψ r R = EΨ r = 电子 + 核 + H电子−核 Hˆ Hˆ Hˆ ˆ = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 pˆ Hˆ i i i i i i V r r m 电子电子 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核核 = − ∑ − − − i J i RJ V r , ( ) 2 1 Hˆ 电子核电子核核坐标电子坐标 { } { } J i R r http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 近似步骤——绝热近似——原子固定 • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。 ( ) H ) ({ },{ }) Hˆ ˆ H ({ },{ }) ( Hˆ Hˆ ˆ 0 i J i RJ + + Ψ r R ⇒ + Ψ r 电子核电子−核电子电子−核 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核核 RJ 0 RJ H ) ({ },{ }) ({ },{ }) Hˆ Hˆ ˆ ( - i J i RJ 电子 + 核 + 电子核 Ψ r R = EΨ r http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 进一步的近似和简化处理 • 同经典自由电子气，但用量子统计 Æ第一章的其余内容—— Sommefeld模型 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 pˆ Hˆ i i i i i i V r r m 电子电子 = − ∑ − − − i J i RJ V r , 0 ( ) 2 1 Hˆ 电子核电子核独立电子近似自由电子近似 + + − ⇒ ∑i i 2m pˆ Hˆ Hˆ Hˆ 2 电子核电子核

5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • 但需要对原子核位置的理想化，才能处理 1029/m3数量级的原子 * 静止（绝热近似） * 周期性排列近似，即 0 RJ 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ = − ∑ − − − i J i RJ V r , 0 ( ) 2 1 Hˆ 电子核电子核 •如果要去掉自由电子近似，则仍需加上 * 这个关系就是结构的平移周期性的数学表示Æ Æ 第二章、晶体的结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 考虑电子-电子、电子-周期性静止排列的原子核的相互作用 ( ) ( ) 0 V电子核 r R V电子核 r − − − = 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ •在周期性结构中，因 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ + ∑ − − ∑ − − i J i J i i i i i i V r r V r R m H , 0 , ' ' 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 pˆ 电子电子核 •就有 •且 ( ) ( ) 0 V电子核 r R V电子核 r − − − = Æ第三、四章、能带理论 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 • 但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理 Æ 第五章、晶格振动（量子化——声子） = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核核 RJ − RJ ' = RJ " RJ 0 RJ 但这时不考虑电子的运动，H就一项 • 前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不考虑原子核运动，现去掉绝热近似， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 • 考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用 Æ第六章、输运现象 * 又回到金属电导，但已是另一层次 0 RJ = − ∑ − − − i J i RJ V r , ( ) 2 1 Hˆ 电子核电子核 RJ 声子 • 如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动，需加上 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 模型逐级修正的需要、根据及结果 • 金属自由电子气模型 * 量子统计自由电子气体，不能解释很多物理现象的局限主要出自没有考虑结构 • 晶体的结构 * 考虑结构，但简化并抽象成原子固定在平衡位置，周期性无限排列，以解决1029数量级的困难 • 能带理论 * 电子在理想的周期性排列的结构中运动Æ但无散射机制（即自由运动）Æ原因是严格周期性，与实际不符 • 晶格振动 * 至少有原子热振动Æ破坏周期性，这种热振动抽象量子化成成声子 • 电子输运理论 * 电子在不严格的周期结构中运动，会受声子散射，还会有其他因素破坏周期性（杂质、缺陷等），也会受散射——形成电阻 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 7、本章概要 • 单自由电子薛定厄方程 • 边界条件（周期性，无限深势阱） • 波矢k的物理意义：描写电子气体运动状态 * 与位置无关的描写动量算符的本征态，动量本征值 * 即处于k状态的电子有一个与k成正比的确定的动量 * 速度 * 能量是经典的动能形式 * 由边界条件，可以确定只允许分立值 • 状态密度及其物理意义 * 状态空间 * 能量空间

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第5讲 自由电子气模型局限及修正

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