上讲补充:动力学矩阵和色散关系 ·由于势能的导数是实数,可以得到 Da,r (q)=D(q ○o ·进而得到本征值的对称关系 声学质心适动 o(q)=o(-q)对比:En(q)=E(-q) 可以证明(对本征值方程取复共軛,利用本征 值的反演对称),本征夫也有 光学 ca ,()=ca,G 原子的相对动 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 声学模 光学模(q=0) -btbT b♀d♀b-mo q ·原子以相同振幅平行振动 ·相对振动 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 声学、光学模布里渊区边界) 第25讲、晶格振动的量子理论 ·遁过位移的分析,也可得到 1.一维单原子链解的讨论 ○LA 2.简正坐标:一维情况 3.简正坐标:三维情况 4.晶格振动的量子化 ) -O- TO 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 上讲补充：动力学矩阵和色散关系 • 由于势能的导数是实数，可以得到 ( ) () q q * ', ' ', jj ' D jj D αα αα − = • 进而得到本征值的对称关系 () ( ) q = − q 2 2 ωl ωl ( ) q = (−q) 对比：En En • 可以证明（对本征值方程取复共轭，利用本征 值的反演对称），本征矢也有 () ( ) q = − q ( ) , ( )* , l j l j c c α α http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 纵振动 横振动 声学 质心运动 光学 原子的相对运动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 声学模 • 原子以相同振幅平行振动 LA q = 0 TA http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 光学模(q=0) • 相对振动 q = 0 LO TO http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 声学、光学模(布里渊区边界) • 通过位移的分析，也可得到 a q π = ± LO TO TA LA http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 第25讲、晶格振动的量子理论 1. 一维单原子链解的讨论 2. 简正坐标：一维情况 3. 简正坐标：三维情况 4. 晶格振动的量子化
1、一维单原子链解的讨论 讨论:位移?x,=A4m 方程 m-=A(r1 +r-2 . xn=Ae4wm-o),n为整数,共有N个原胞 x= Aeilqar-o(g) 位移与格点 又整数 ·不同格点原子的位移,由Boch定理决定,差一个相 ·这说明,各个原子的振动并不是独立的 ·设问:那么,这个解到底表示什么? ·晶格摄动是一种集体的摄动! 位移与频率0(q有关 如果位相差2pi整数管时,位移完全相等 而振动频率与n无关! ·或者说,提到某个频率的振动,就得与这N个的位 这表示所有的原子都同时在做的频率为∞的振动 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 讨论:位移?x=Aemm 讨论:位移? x,=Ae ·上面只是一个个特解,一般解应是它们的选 q=元,-2<1s,共N个值,N原胞数 加,即在任意时刻t,n格点的原子处在 ·位移与波失 波矢的取值由周期性边界条件决定 ·振幅与q有关,A)把也包括进去 个状态对应个频率,S ·即名种不同波矢、不同频率的格波的选加 ·这些振动互相之间独立,没有关系 用这种方法来确定晶体中各个原子的空间 坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂 简谐振动 ·因为名个原子相互之闻是关联的 设问:那么多解,那么,原子到底怎么振动? 问题在哪里?不同原子的振动是互相关联的, 或问:原子在任时刻,到底处在什么位置? 振动状态是独的,但每个位移并不是独立的 自然要问:有无更简便的方法来描写这种振动 45.24112gche园体制学 体理学 2、简正坐标:一维情况 一维单原子链解的位移 一维单原子链解的分析 用x示格点n处原子位移时,x是坐标轴 换个角度,如果昌格振动中名个不同的波矢、不同 ·需要选基轴,使势能的表示简单,没有交叉项 因此,就没有⑩要去知道每个原子的空间坐标 三个变量井不独立,有两个约束条件。但从形式 ·但是原子之间关联怎么办?关联?看势能 会有三 的表示是不方便的 在描写晶格振动的情况类似 如果能简化交叉项,就可以分高变量。为此 质然腰银活是不提物的,把 需要变换基軸x,遁过变换使晶格振动的描写 简化 种的45.2413ghe园师物学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 1、一维单原子链解的讨论 • 设问：那么，这个解到底表示什么？ • 位移与频率ω(q)有关 * 如果位相差2\pi的整数倍时，位移完全相等 • 而振动频率与n无关！ * 这表示所有的原子都同时在做的频率为ω的振动 ( 2 ) 2 1 1 2 n n n n x x x dt d x m = β + + − − • 解 2 ( ) 2 sin qa m q β ω = i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = l取整数 N a l q , 2π = • 方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 讨论：位移？ • 位移与格点 * 不同格点原子的位移，由Bloch定理决定，差一个相 因子 * 这说明，各个原子的振动并不是独立的 • 晶格振动是一种集体的振动！ * 对应某个给定频率，需要N个互相有关联的位移来 描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动， 这说明振动是互相有关的 * 或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个的位 移联系起来 i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = xn = Aei[qna−ω(q)t] , n为整数,共有N个原胞 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 讨论：位移？ • 位移与波矢 * 波矢的取值由周期性边界条件决定 * 这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率，s即 自由度，一维单原子，s=1 • 这些振动互相之间独立，没有关系 * 简谐振动 • 设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？ * 或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？ 共N个值 N原胞数 N l N l Na q , , 2 2 , 2 = − < ≤ π i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 讨论：位移？ • 振幅与q有关，Aq(t)把e-iωt 也包括进去 * 即各种不同波矢、不同频率的格波的迭加 • 因此用这种方法来确定晶体中各个原子的空间 坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂 * 因为各个原子相互之间是关联的 • 问题在哪里？不同原子的振动是互相关联的， * 振动状态是独立的，但每个位移并不是独立的 • 自然要问：有无更简便的方法来描写这种振动 • 上面只是一个个特解，一般解应是它们的迭 加，即在任意时刻t，n格点的原子处在 i[ ] qna t xn Ae −ω = = ∑ ( ) q iqna n q x A t e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 2、简正坐标：一维情况 • 一维单原子链解的分析 * 换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同 频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定 了——格波之间没有相互作用 * 因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标 • 但是原子之间关联怎么办？关联？看势能 • 如果能简化交叉项，就可以分离变量。为此， 需要变换基轴x，通过变换使晶格振动的描写 简化 ∑ ( ) ∑ ( ) = − + = + + − + n n n n n n n n V x x x x x x 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 β β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 一维单原子链解的位移 • 用 xn表示格点n处原子位移时，x是坐标轴 * 需要选基轴，使势能的表示简单，没有交叉项 * 比如一个质点的一维运动，如果随意放置坐标轴， 可能需要三个变量x，y，z来描写它的运动。当然这 三个变量并不独立，有两个约束条件。但从形式 上，会有三个变量x，y，z出现在运动方程中，这样 的表示是不方便的 • 现在描写晶格振动的情况类似 * 既然每个原胞中等价原子的振动不是独立的，把它 们的位移都表示出来的描写是不方便的
基矢的选择x=∑4(k 展开 ·问:那么用什么做基矢较好 Q0就是简正坐标,意义即x在基矢軸cqm的 ·四m对于不同的q,是N维的 分量 ·本征失e,做基失 ·看动能和势能在这个基夫轴下能不能表示得简 洁些 本征失c本身滿足正交归一性,即按g求和, 或按n求和, y=2∑(-x)=2∑(:+-2x) 种p∥45.2413che國体学 体理学 ·代入势能后可得 ·同样对动能也可得 ∑QQy y 2Nm m4. =1∑ap=1∑ ,∑{km+-+bm 利用 ∑包 2Nm ·最終可得 e,"-e" /02=PL H=2 p∑,QnD-cpl-l∑g 其中 2B 3、简正坐标:三维情况 这样过渡到量子力学处理—简谐振子方程 定义简正坐标Qn 可解得能量 值得注意:量子化谐振子的频率就是经典简谐 ·通过线性变换消除交叉项,将动能和势能同时 振动的频率 简化为简正坐标Q平方项的和 ·可以推广到三维的情况 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 基矢的选择 • 问：那么用什么做基矢较好？ • eiqna对于不同的q，是N维的 • 本征矢eiqna，做基矢 = ∑ ( ) q iqna n q x A t e ( ) , ' 1 ' n n q iq n n a e N ∑ = δ − • 或按n求和， ( ) , ' 1 ' q q n i q q na e N ∑ = δ − iqna e N 1 • 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 展开 • Qq(t)就是简正坐标，意义即xn在基矢轴eiqna的 分量 • 看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示得简 洁些 = ∑n n T mx2 2 1 & ∑( ) ∑( ) = + − = + + − + n n n n n n n n V x x x x x x1 2 2 1 2 1 2 2 2 β β ( ) = ∑ ( ) q iqna n q Q t e Nm x t 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 代入势能后可得 [ ] iq n a iq n a iqna iq n a iqna iq na iq n a iq na n q q q q e e e e e e e e Q Q Nm V ( ) '( ) '( ) ' ( ) ' , , ' ' 1 1 1 1 2 + + + + − + − = ∑ β ∑ ∑ [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − − + + , ' ( ') ' ( ') ' q n q i q q a iqa iq a i q q na q q Q Q e e e e Nm 1 2 β ∑{ } [ ] − + = + − − , ' , ' ( ') ' ' q q q q i q q a iqa iq a QqQq e e e N Nm δ β 1 2 = ∑{ } − [ ] − − q iqa iqa q q Q Q e e m 2 2 β = ∑{ } − [ ] − = ∑ − q q q q q QqQ q qa Q Q m 2 2 1 1 ω β cos( ) [ ] cos(qa) m q = 1− 2 2β ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 同样对动能也可得 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − + + = = = = q q q q q q q q q q n q i q q na q q n q q i q q na q q Q Q Q Q Q Q e N Q Q e N T & & & & & & & & 2 1 2 1 2 1 2 1 , ' ' , ' , ' ( ') ' , , ' ( ') ' δ • 利用 * Q−q = Qq • 最终可得 ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + q H Qq q Qq 2 2 2 2 1 & ω [ ] cos(qa) m q = 1− 2 2β • 其中 ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐 振动的频率 • 可以推广到三维的情况 • 这样过渡到量子力学处理——简谐振子方程 * 可解得能量 ( ) E ωq nq ⎟hωq ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 3、简正坐标：三维情况 • 定义简正坐标Qn • 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时 简化为简正坐标Qn平方项的和 ∑= = N n n T Q 3 1 2 2 1 & ∑= = N n n n V Q 3 1 2 2 2 1 ω ∑= = N n jn n j j a Q M u 3 1 1
那么,正则动亚为 这是3N个相互无关的方程简正坐标描述独 立的简谐振动 a(T-D) ·只考察一个Q振动时, 哈密顿量为 H=lS Asin(@, 1+0) 从正则方程得到 Pn aH=-02 0, 2+om2,=0 种p∥45.2413che國体学 体理学 4、晶格振动的量子化 ·这表示的是一系列无相互作用的简谐摄子,可 以分高变量,记 将经典哈密顿中的动量写成算符形式 E ,Q2…Q2)=∏n) Po=-ih 即可得到波动方程 得(epg)-g) nag +o e J rle. e- 2 M =Ee@ @, @w) ·解为厄密多项式,其本征值为 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 声子 ·这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 样的量子谐振子称为声子晶格振动的能 量子 注意:一个简正报动并不是表示某一个原子的 ·利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比 振动,而是整个晶体所有原子新参与的振动频 较筒单明了,比如: 率相同的振动 昌格摄动与昌格振动的相互作用; 这种集体振动称为振动模 ·振动能量是分裂的,量子化的!即 ·晶格振动与光子的相互作用等 ·声于是玻色子,遵从玻色统计 e),(qNk,T http:Ia45].132ichey 是学 趣42413 birches四理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 那么，正则动量为 n n n Q Q T V p & & = ∂ ∂ − = ( ) • 哈密顿量为 ∑( ) = = + N n H pn nQn 3 1 2 2 2 2 1 ω • 从正则方程得到 n n n n Q Q H p 2 = −ω ∂ ∂ & = − 0 2 Qn +ωnQn = && http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 这是3N个相互无关的方程——简正坐标描述独 立的简谐振动 Q = Asin(ω t +δ ) n n • 只考察一个Qn振动时， = Asin(ω t +δ ) M a u n j jn j http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 4、晶格振动的量子化 • 将经典哈密顿中的动量写成算符形式 n n Q p i ∂ ∂ = − h • 即可得到波动方程 ( )( ) N N N n nQn Q Q Q E Q Q Q Qn 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 ω ψ , ,..., = ψ , ,..., ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∑ − = h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可 以分离变量，记 () () l Ql Ql l Ql Ql ω ϕ = ε ϕ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 1 h • 解为厄密多项式，其本征值为 l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 ∑= = N l E l 3 1 ε ( ) () ∏= = N l Q Q Q N n Ql l 3 1 ψ 1, 2 ,..., 3 ϕ • 得 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 comments • 注意：一个简正振动并不是表示某一个原子的 振动，而是整个晶体所有原子都参与的振动频 率相同的振动 • 这种集体振动称为振动模 • 振动能量是分裂的，量子化的！即 = ∑j Qn M j ajnu j ~ l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 • 由 ∑= = N n jn n j j a Q M u 3 1 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 • 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能 量子 • 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比 较简单明了，比如： * 晶格振动与晶格振动的相互作用； * 晶格振动与电子的相互作用； * 晶格振动与光子的相互作用等 • 声子是玻色子，遵从玻色统计 1 1 − = l l kBT e n (q)/ (q) hω 声子
·晶体的热学性质与晶格摄动有关的部分由此给 例:计入第p近邻相互作用的一维单原子链 声子的能量和准动量分别为加1阳 原子链放弃最近邻相互作用的假定 邻的相互作用,设相应的力常数 第l支格波的能量为 为B,求色散关系 维单原子链的势能 只考虑第一近邻相互作用势能 和考虑至第p近邻相互作用势能 格波的能量是分立的,整数倍地增加nho ·最低能量并不是零,称为零点振动能he1/2 种p∥45.2413che國体学 体理学 作用于原子上的力 方程和尝试解 ·只考虑第一近邻时的力(注意前面求和中有两项 与x有关) ·第n原子的运动方程为 M42=-A[x,-xn)-(-x 考虑第p近邻时的力(注意每一近邻的求和中有 ·尝试解没有变化,仍为 两项与x有关) x danae -lex BIG, -.)-(-x,) 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 代入方程后可得 例题 2Bk-ere-ipt het 考虑一维双原子链,两个原子的质量分别是M 和M2,只计入最近邻原子间的相互作用, 常 p 数是C,讨论当M1>M1时的振动情况 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • 格波的能量是分立的，整数倍地增加 l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 nl hω l hω l / 2 • 声子的能量和准动量分别为 hωl hq • 第l支格波的能量为 • 最低能量并不是零，称为零点振动能 • 晶体的热学性质与晶格振动有关的部分由此给 出 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 例：计入第p近邻相互作用的一维单原子链 • 对一维单原子链放弃最近邻相互作用的假定， 考虑到第p近邻的相互作用，设相应的力常数 为Bp，求色散关系 • 一维单原子链的势能 * 只考虑第一近邻相互作用势能 * 和考虑至第p近邻相互作用势能 ∑ ( ) = − + n n n V x x 2 1 2 1 β 简谐 ∑∑ ( ) = = − + n p i i n n i V x x 1 2 2 1 β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 作用于原子上的力 • 只考虑第一近邻时的力(注意前面求和中有两项 与xn有关) [ ] ( )( ) n n n n n n x x x x dx dV F = − = −β − +1 − −1 − 简谐 • 考虑第p近邻时的力(注意每一近邻的求和中有 两项与xn有关) ∑ [ ] ( )( ) = = − = − − + − − − p i i n n i n i n n n x x x x dx dV F 1 β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 方程和尝试解 • 第n原子的运动方程为 ∑ [ ] ( )( ) = = − − + − − − p l l n n l n l n n x x x x dt d x M 1 2 2 β • 尝试解没有变化，仍为 iqna i t n x Ae e− ω = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • 代入方程后可得 [ ] iqna i t p l iqla iqla l iqna i t M Ae e e e Ae e ω ω ω β − = − − − = −∑ − − 1 2 2 ∑ [ ] = − = − − p l iqla iqla l M e e 1 2 ω β 2 ∑ [ ] = = − p l l qla M 1 2 1 2 ω β cos ∑= = p l l qla M 1 2 2 2 4 ω β sin http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 例题 • 考虑一维双原子链，两个原子的质量分别是M1 和M2，只计入最近邻原子间的相互作用，力常 数是C，讨论当M1>> M2时的振动情况
解 很容易得到 ·运动方程和尝试解分别为 =C(4+M±M+ME+2 EM,M, cos qo M式=C(xn+x2-x2n) M,i,m,=C(r 利用M1>M2,得到 +r.-r M1+M2±M1 M ·代入后即得 d-chu C M.+M、± Ct+e")4+2C-M1o2)B=0 种p∥45.2413che國体学 体理学 对声学支 ·对光学支 C M.M =M( -cos ga) M M 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 在B区边界,对光学支 ·在B区边界,对声学支 ·抓幅比为 振幡比为 1)A M、 所以,A=0。即M原子静止,而M原子以上 所以,B=0.即M原子静止,而M原子以上述 频率振动 频率振动 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 解 • 运动方程和尝试解分别为 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + + − = + − = + − n n n n n n n n M x C x x x M x C x x x && && iq( ) n a i t n iq na i t n x Be x Ae ω ω + − + − = = 2 1 2 1 2 2 • 代入后即得 ( ) ( ) ⎪ ( )( ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + − = − − + = − 1 2 0 2 1 0 2 2 2 1 C e A C M B C M A C e B iqa iqa ω ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 • 很容易得到 (M M M M M M qa ) M M C cos 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ω = + ± + + 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ± + qa M M M M M M M M M C cos 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ω 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ + ± + qa M M M M M M M C cos 1 2 1 2 1 1 2 2 ω 1 • 利用M1>>M2，得到 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 • 对声学支 ( ) M M qa M M C cos 2 2 1 2 2 ω 声学 = − ( ) qa M C = 1− cos 1 2 2 1 qa M C ω 声学 = sin http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 • 对光学支 ( )⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + qa M M M C 2 1 cos 1 2 2 2 ω 光学 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 2 2 1 2 2 qa M M M C cos ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 2 2 1 2 2 qa M M M C ω 光学 cos http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 • 在B区边界，对光学支 2 2 M C ω 光学 = • 振幅比为 2 1 1 1 0 2 1 − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − A C B M M C ( ) • 所以，A=0。即M1原子静止，而M2原子以上述 频率振动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 • 在B区边界，对声学支 1 2 M C ω 声学 = • 振幅比为 ( ) 1 1 2 1 0 1 2 − − − B = M M C A C( ) • 所以，B=0。即M2原子静止，而M1原子以上述 频率振动
本讲要点 概念要点 晶格振动是一种集体振动称为格波 格波可以不是简谐的,如是非谐的,可以展开为简 晶体中原子的集体振动 谐振动的选加;在简谐近似下,格波就是简谐波 声子级 这时格波之间的没有相互作用 ·独立的简谐振动模式—一声子—简谐振动的 能量量子格波能量→能量量子化→声子 声子能量的动量Ae 如果某种格波ωq个声子占据,这种格波的能 量就是 声子数按能量分布nq)=~ 声子是遵从玻色统计n(q)=~四 声子的能量和准动量分别为hoNq 种p∥45.2413che國体学 体理学 思考问题 习题 比较简谐近似中的声子与金属中自由电子气 1、证明动力学矩阵是厄密矩阵,即证明 有什么差别? D(q)=Dra.ri(q) 2、设有一维简单晶格,晶格常数为a,原子质量 为m,在平衡点附近两个原子间相互作用势能 可表示成 U(r=U 求色散关系 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 课堂练习 ·设有晶格常数为a的正方形 结构的单电子原子组成的 8 试用金属费米面 米面(徒手作图 件选副8888 围区边界及责米 8 假定温度改变时 8 的微小位移而发生 图,试丽出费米面。 种45.2413yche是学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 本讲要点 • 晶格振动是一种集体振动——称为格波 * 格波可以不是简谐的，如是非谐的，可以展开为简 谐振动的迭加；在简谐近似下，格波就是简谐波， 这时格波之间的没有相互作用 • 独立的简谐振动模式——声子——简谐振动的 能量量子格波能量Æ能量量子化Æ声子 * 如果某种格波ωl (q)被nl 个声子占据，这种格波的能 量就是 (q) l nl ωl ε ⎟h ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 * 声子是遵从玻色统计 1 1 − = l l kBT e n (q)/ (q) hω * 声子的能量和准动量分别为 hωl hq http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 概念要点 • 声子 * 晶体中原子的集体振动 * 声子能级 * 声子能量的动量 * 声子数按能量分布 1 1 − = l l kBT e n (q)/ (q) hω ωl h hq (q) l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 思考问题 • 比较简谐近似中的声子与金属中自由电子气， 有什么差别？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 习题 1、证明动力学矩阵是厄密矩阵，即证明 D (q) () D j j q jj ' , ' * αα ', ' = α α 2、设有一维简单晶格，晶格常数为a，原子质量 为m，在平衡点附近两个原子间相互作用势能 可表示成 2 2 3 0 6 1 2 1 2 1 U r U ηa ζa ⎟r + ηr + ζr ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) = − + 求色散关系。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 课堂练习 • 设有晶格常数为a的正方形 结构的单电子原子组成的 金属， * 试用金属费米面作图法画出 费米面（徒手作图即可，但 需标出布里渊区边界及费米 面半径的值）； * 假定温度改变时，由于原子 的微小位移而发生相变，如 图，试画出费米面
