复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第25讲基矢的选择.pdf_大学文库

1、一维单原子链解的讨论讨论:位移?x,=A4m 方程 m-=A(r1 +r-2 . xn=Ae4wm-o),n为整数,共有N个原胞 x= Aeilqar-o(g) 位移与格点又整数 ·不同格点原子的位移,由Boch定理决定,差一个相 ·这说明,各个原子的振动并不是独立的 ·设问:那么,这个解到底表示什么? ·晶格摄动是一种集体的摄动! 位移与频率0(q有关如果位相差2pi整数管时,位移完全相等而振动频率与n无关! ·或者说,提到某个频率的振动,就得与这N个的位这表示所有的原子都同时在做的频率为∞的振动种p∥45.2413che國体学政中4524l3-iche 体理学讨论:位移?x=Aemm 讨论:位移? x,=Ae ·上面只是一个个特解,一般解应是它们的选 q=元,-2<1s,共N个值,N原胞数加,即在任意时刻t,n格点的原子处在 ·位移与波失波矢的取值由周期性边界条件决定 ·振幅与q有关,A)把也包括进去个状态对应个频率,S ·即名种不同波矢、不同频率的格波的选加 ·这些振动互相之间独立,没有关系用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂简谐振动 ·因为名个原子相互之闻是关联的设问:那么多解,那么,原子到底怎么振动? 问题在哪里?不同原子的振动是互相关联的, 或问:原子在任时刻,到底处在什么位置? 振动状态是独的,但每个位移并不是独立的自然要问:有无更简便的方法来描写这种振动 45.24112gche园体制学体理学 2、简正坐标:一维情况一维单原子链解的位移一维单原子链解的分析用x示格点n处原子位移时,x是坐标轴换个角度,如果昌格振动中名个不同的波矢、不同 ·需要选基轴,使势能的表示简单,没有交叉项因此,就没有⑩要去知道每个原子的空间坐标三个变量井不独立,有两个约束条件。但从形式 ·但是原子之间关联怎么办?关联?看势能会有三的表示是不方便的在描写晶格振动的情况类似如果能简化交叉项,就可以分高变量。为此质然腰银活是不提物的,把需要变换基軸x,遁过变换使晶格振动的描写简化种的45.2413ghe园师物学趣452413 binche物理学

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 1、一维单原子链解的讨论 • 设问：那么，这个解到底表示什么？ • 位移与频率ω(q)有关 * 如果位相差2\pi的整数倍时，位移完全相等 • 而振动频率与n无关！ * 这表示所有的原子都同时在做的频率为ω的振动 ( 2 ) 2 1 1 2 n n n n x x x dt d x m = β + + − − • 解 2 ( ) 2 sin qa m q β ω = i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = l取整数 N a l q , 2π = • 方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 讨论：位移？ • 位移与格点 * 不同格点原子的位移，由Bloch定理决定，差一个相因子 * 这说明，各个原子的振动并不是独立的 • 晶格振动是一种集体的振动！ * 对应某个给定频率，需要N个互相有关联的位移来描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动，这说明振动是互相有关的 * 或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个的位移联系起来 i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = xn = Aei[qna−ω(q)t] , n为整数,共有N个原胞 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 讨论：位移？ • 位移与波矢 * 波矢的取值由周期性边界条件决定 * 这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率，s即自由度，一维单原子，s=1 • 这些振动互相之间独立，没有关系 * 简谐振动 • 设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？ * 或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？共N个值 N原胞数 N l N l Na q , , 2 2 , 2 = − < ≤ π i[ ] qna ( ) q t xn Ae −ω = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 讨论：位移？ • 振幅与q有关，Aq(t)把e-iωt 也包括进去 * 即各种不同波矢、不同频率的格波的迭加 • 因此用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂 * 因为各个原子相互之间是关联的 • 问题在哪里？不同原子的振动是互相关联的， * 振动状态是独立的，但每个位移并不是独立的 • 自然要问：有无更简便的方法来描写这种振动 • 上面只是一个个特解，一般解应是它们的迭加，即在任意时刻t，n格点的原子处在 i[ ] qna t xn Ae −ω = = ∑ ( ) q iqna n q x A t e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 2、简正坐标：一维情况 • 一维单原子链解的分析 * 换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定了——格波之间没有相互作用 * 因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标 • 但是原子之间关联怎么办？关联？看势能 • 如果能简化交叉项，就可以分离变量。为此，需要变换基轴x，通过变换使晶格振动的描写简化 ∑ ( ) ∑ ( ) = − + = + + − + n n n n n n n n V x x x x x x 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 β β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 一维单原子链解的位移 • 用 xn表示格点n处原子位移时，x是坐标轴 * 需要选基轴，使势能的表示简单，没有交叉项 * 比如一个质点的一维运动，如果随意放置坐标轴，可能需要三个变量x，y，z来描写它的运动。当然这三个变量并不独立，有两个约束条件。但从形式上，会有三个变量x，y，z出现在运动方程中，这样的表示是不方便的 • 现在描写晶格振动的情况类似 * 既然每个原胞中等价原子的振动不是独立的，把它们的位移都表示出来的描写是不方便的

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 基矢的选择 • 问：那么用什么做基矢较好？ • eiqna对于不同的q，是N维的 • 本征矢eiqna，做基矢 = ∑ ( ) q iqna n q x A t e ( ) , ' 1 ' n n q iq n n a e N ∑ = δ − • 或按n求和， ( ) , ' 1 ' q q n i q q na e N ∑ = δ − iqna e N 1 • 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 展开 • Qq(t)就是简正坐标，意义即xn在基矢轴eiqna的分量 • 看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示得简洁些 = ∑n n T mx2 2 1 & ∑( ) ∑( ) = + − = + + − + n n n n n n n n V x x x x x x1 2 2 1 2 1 2 2 2 β β ( ) = ∑ ( ) q iqna n q Q t e Nm x t 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 代入势能后可得 [ ] iq n a iq n a iqna iq n a iqna iq na iq n a iq na n q q q q e e e e e e e e Q Q Nm V ( ) '( ) '( ) ' ( ) ' , , ' ' 1 1 1 1 2 + + + + − + − = ∑ β ∑ ∑ [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − − + + , ' ( ') ' ( ') ' q n q i q q a iqa iq a i q q na q q Q Q e e e e Nm 1 2 β ∑{ } [ ] − + = + − − , ' , ' ( ') ' ' q q q q i q q a iqa iq a QqQq e e e N Nm δ β 1 2 = ∑{ } − [ ] − − q iqa iqa q q Q Q e e m 2 2 β = ∑{ } − [ ] − = ∑ − q q q q q QqQ q qa Q Q m 2 2 1 1 ω β cos( ) [ ] cos(qa) m q = 1− 2 2β ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 同样对动能也可得 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − + + = = = = q q q q q q q q q q n q i q q na q q n q q i q q na q q Q Q Q Q Q Q e N Q Q e N T & & & & & & & & 2 1 2 1 2 1 2 1 , ' ' , ' , ' ( ') ' , , ' ( ') ' δ • 利用 * Q−q = Qq • 最终可得 ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + q H Qq q Qq 2 2 2 2 1 & ω [ ] cos(qa) m q = 1− 2 2β • 其中 ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐振动的频率 • 可以推广到三维的情况 • 这样过渡到量子力学处理——简谐振子方程 * 可解得能量 ( ) E ωq nq ⎟hωq ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 3、简正坐标：三维情况 • 定义简正坐标Qn • 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时简化为简正坐标Qn平方项的和 ∑= = N n n T Q 3 1 2 2 1 & ∑= = N n n n V Q 3 1 2 2 2 1 ω ∑= = N n jn n j j a Q M u 3 1 1

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 那么，正则动量为 n n n Q Q T V p & & = ∂ ∂ − = ( ) • 哈密顿量为 ∑( ) = = + N n H pn nQn 3 1 2 2 2 2 1 ω • 从正则方程得到 n n n n Q Q H p 2 = −ω ∂ ∂ & = − 0 2 Qn +ωnQn = && http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 这是3N个相互无关的方程——简正坐标描述独立的简谐振动 Q = Asin(ω t +δ ) n n • 只考察一个Qn振动时， = Asin(ω t +δ ) M a u n j jn j http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 4、晶格振动的量子化 • 将经典哈密顿中的动量写成算符形式 n n Q p i ∂ ∂ = − h • 即可得到波动方程 ( )( ) N N N n nQn Q Q Q E Q Q Q Qn 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 ω ψ , ,..., = ψ , ,..., ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∑ − = h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 • 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可以分离变量，记 () () l Ql Ql l Ql Ql ω ϕ = ε ϕ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 1 h • 解为厄密多项式，其本征值为 l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 ∑= = N l E l 3 1 ε ( ) () ∏= = N l Q Q Q N n Ql l 3 1 ψ 1, 2 ,..., 3 ϕ • 得 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 comments • 注意：一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的振动频率相同的振动 • 这种集体振动称为振动模 • 振动能量是分裂的，量子化的！即 = ∑j Qn M j ajnu j ~ l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 • 由 ∑= = N n jn n j j a Q M u 3 1 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 • 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能量子 • 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比较简单明了，比如： * 晶格振动与晶格振动的相互作用； * 晶格振动与电子的相互作用； * 晶格振动与光子的相互作用等 • 声子是玻色子，遵从玻色统计 1 1 − = l l kBT e n (q)/ (q) hω 声子

5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • 格波的能量是分立的，整数倍地增加 l l l ε n ⎟hω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 nl hω l hω l / 2 • 声子的能量和准动量分别为 hωl hq • 第l支格波的能量为 • 最低能量并不是零，称为零点振动能 • 晶体的热学性质与晶格振动有关的部分由此给出 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 例：计入第p近邻相互作用的一维单原子链 • 对一维单原子链放弃最近邻相互作用的假定，考虑到第p近邻的相互作用，设相应的力常数为Bp，求色散关系 • 一维单原子链的势能 * 只考虑第一近邻相互作用势能 * 和考虑至第p近邻相互作用势能 ∑ ( ) = − + n n n V x x 2 1 2 1 β 简谐 ∑∑ ( ) = = − + n p i i n n i V x x 1 2 2 1 β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 作用于原子上的力 • 只考虑第一近邻时的力(注意前面求和中有两项与xn有关) [ ] ( )( ) n n n n n n x x x x dx dV F = − = −β − +1 − −1 − 简谐 • 考虑第p近邻时的力(注意每一近邻的求和中有两项与xn有关) ∑ [ ] ( )( ) = = − = − − + − − − p i i n n i n i n n n x x x x dx dV F 1 β 简谐 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 方程和尝试解 • 第n原子的运动方程为 ∑ [ ] ( )( ) = = − − + − − − p l l n n l n l n n x x x x dt d x M 1 2 2 β • 尝试解没有变化，仍为 iqna i t n x Ae e− ω = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • 代入方程后可得 [ ] iqna i t p l iqla iqla l iqna i t M Ae e e e Ae e ω ω ω β − = − − − = −∑ − − 1 2 2 ∑ [ ] = − = − − p l iqla iqla l M e e 1 2 ω β 2 ∑ [ ] = = − p l l qla M 1 2 1 2 ω β cos ∑= = p l l qla M 1 2 2 2 4 ω β sin http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 例题 • 考虑一维双原子链，两个原子的质量分别是M1 和M2，只计入最近邻原子间的相互作用，力常数是C，讨论当M1>> M2时的振动情况

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