习题十 10-1一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中.回路平面与B垂直.当回路 dr 半径以恒定速率一=80cm·s收缩时,求回路中感应电动势的大小 解:回路磁通 ④,=BS=Bπr 感应电动势大小 d④d BI r)=B2r 0.40V 10-2一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路,半径R=5cm,如题10-2图所示.均匀磁 场B=80×10T,B的方向与两半圆的公共直径(在O轴上)垂直,且与两个半圆构成相等 的角a当磁场在5ms内均匀降为零时,求回路中的感应电动势的大小及方向 解:取半圆形cba法向为 题10-2图 πR- Bcos a 同理,半圆形ae法向为j,则 Bcos ∵B与i夹角和B与j夹角相等 则 gp bI r a dgp dB πR2cos 889×10-2V 方向与cbad相反,即顺时针方向. D 题10-3图 *10-3如题10-3图所示,一根导线弯成抛物线形状y=ax2,放在均匀磁场中.B与xOy平
习题十 10-1 一半径 r =10cm 的圆形回路放在 B =0.8T的均匀磁场中．回路平面与 B 垂直．当回路 半径以恒定速率 t r d d =80cm·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 BS Bπ r m = = 感应电动势大小 0.40 d d ( π ) 2π d d d d 2 = = = = t r B r B r t t m V 10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径 R =5cm，如题10-2图所示．均匀磁 场 B =80×10-3 T， B 的方向与两半圆的公共直径(在 Oz 轴上)垂直，且与两个半圆构成相等 的角 当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向． 解: 取半圆形 cba 法向为 i ， 题 10-2 图 则 cos 2 π 2 1 B R m = 同理，半圆形 adc 法向为 j ，则 cos 2 π 2 2 B R m = ∵ B 与 i 夹角和 B 与 j 夹角相等， ∴ = 45 则 π cos 2 m = B R 2 2 8.89 10 d d π cos d d − = − = − = − t B R t m V 方向与 cbadc 相反，即顺时针方向． 题 10-3 图 *10-3 如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状 y = 2 ax ，放在均匀磁场中． B 与 xOy 平
面垂直,细杆CD平行于x轴并以加速度a从抛物线的底部向开口处作平动.求CD距O点 为y处时回路中产生的感应电动势 解:计算抛物线与CD组成的面积内的磁通量 dpm=2 Bds=2a B(y-aa )dx=2 y 2B y v=√2ay2 2B 12J E实际方向沿ODC 题10-4图 10-4如题10-4图所示,载有电流I的长直导线附近,放一导体半圆环MeN与长直导线共面 且端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a.设半圆环 以速度ν平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 解:作辅助线MN,则在MeNM回路中,沿节方向运动时dn=0 Men 又 SuN=[vCos d 1=In9<0 所以E1N沿NeM方向, 大小为 0,a+b 2丌 M点电势高于N点电势,即 olv a+b 2
2 面垂直，细杆 CD 平行于 x 轴并以加速度 a 从抛物线的底部向开口处作平动．求 CD 距 O 点 为 y 处时回路中产生的感应电动势． 解: 计算抛物线与 CD 组成的面积内的磁通量 = = − = a y m y B B S B y x x 0 2 3 2 3 2 2 d 2 ( )d 2 ∴ y v B t y y B t m 2 1 2 1 2 d d d d = − = − = − ∵ v 2ay 2 = ∴ 2 1 v = 2a y 则 a y a y By B i 8 2 2 2 1 2 1 = − = − i 实际方向沿 ODC ． 题 10-4 图 10-4 如题10-4图所示，载有电流 I 的长直导线附近，放一导体半圆环 MeN 与长直导线共面， 且端点 MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为 b ，环心 O 与导线相距 a ．设半圆环 以速度 v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及 MN 两端的电压 U M −UN ． 解: 作辅助线 MN ，则在 MeNM 回路中，沿 v 方向运动时 dm = 0 ∴ MeNM = 0 即 MeN MN = 又∵ + − + − = = a b a b MN a b Iv a b v B l ln 0 2 cos d 0 所以 MeN 沿 NeM 方向， 大小为 a b Iv a b − + ln 2 0 M 点电势高于 N 点电势，即 a b Iv a b U M UN − + − = ln 2 0
题10-5图 10-5如题10-5所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流 方向相反、大小相等,且电流以二的变化率增大,求: (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量 (2)线圈中的感应电动势 解:以向外磁通为正则 1 b 2t r do Ho' d+a In 10-6如题10-6图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.令这半圆形导线在磁场中 以频率∫绕图中半圆的直径旋转.整个电路的电阻为R.求:感应电流的最大值 题10-6图 解 ④=B.S=Bx 2 OS(ot +o) d Bt r2o E sin ot BI r20 Bt 2f=π2r2Bf πr2Bf R 10-7如题10-7图所示,长直导线通以电流I=5A,在其右方放一长方形线圈,两者共面.线 圈长b=0.06m,宽a=0.04m,线圈以速度v=0.03m·s垂直于直线平移远离.求:d=0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向 题10-7图
3 题 10-5 图 10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流 方向相反、大小相等，且电流以 t I d d 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势． 解: 以向外磁通为正则 (1) [ln ln ] 2π d 2π d 2π 0 0 0 d d a b Il b a l r r I l r r b a I b d a d m + − + = − = + + (2) t I b b a d l d a t d d [ln ln ] d 2π d 0 + − + = − = 10-6 如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为 r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中 以频率 f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为 R ．求：感应电流的最大值． 题 10-6 图 解: cos( ) 2 π 0 2 = = t + r m B S B ∴ f r Bf B r B r t B r t m m i 2 2 2 2 0 2 2π π 2 π 2 π sin( ) 2 π d d = = = = − = + ∴ R r Bf R I m 2 2 π = = 10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流 I =5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线 圈长 b =0.06m，宽 a =0.04m，线圈以速度 v =0.03m·s -1 垂直于直线平移远离．求： d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向． 题 10-7 图
解:AB、CD运动速度v方向与磁力线平行,不产生感应电动势 DA产生电动势 E1=( dl= vbb=vb BC产生电动势 2i(a +d) ∴回路中总感应电动势 F=E+e= o 2zd-d)=1.6×10-8V 方向沿顺时针 10-8长度为l的金属杆b以速率v在导电轨道abcd上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B 中,B的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示),B的大小为B=kt(k为正常).设 =0时杆位于cd处,求:任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向 d=(Bds=Bhvt 600kih I=lkhvr' dΦm=-kl d 即沿abcd方向顺时针方向 题10-8图 109一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B的方向如题109图所示.取 逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0) do 解:如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时0 题10-9图(a) 题10-9图(b) 在磁场中时 d④ 0
4 解: AB 、CD 运动速度 v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA 产生电动势 = = = A D I v B l vBb v b 2 d ( ) d 0 1 BC 产生电动势 2π ( ) ( ) d 0 2 a d I v B l v b C B + = = − ∴回路中总感应电动势 0 8 1 2 ) 1.6 10 1 1 ( 2π − = + = + = − d d a Ibv V 方向沿顺时针． 10-8 长度为 l 的金属杆 ab 以速率v在导电轨道 abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场 B 中， B 的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B 的大小为 B = kt ( k 为正常)．设 t =0时杆位于 cd 处，求：任一时刻 t 导线回路中感应电动势的大小和方向． 解: = = = = 2 2 2 1 2 1 B dS Blvt cos60 k t lv klvt m ∴ klvt t m = − = − d d 即沿 abcd 方向顺时针方向． 题 10-8 图 10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区， B 的方向如题10-9图所示．取 逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时 t =0)． 解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时 0 d d t , 0 ； 题 10-9 图(a) 题 10-9 图(b) 在磁场中时 0 d d = t , = 0 ；
出场时>0,E0即Ua-Ub<0 b点电势高 题10-11图 10-11如题10-11图所示,长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间,并 以速度ν平行于两直导线运动.两直导线通以大小相等、方向相反的电流Ⅰ,两导线相距 2a.试求:金属杆两端的电势差及其方向 解:在金属杆上取dr距左边直导线为r,则 6=×)d=m-分+n Holv a+b ∴实际上感应电动势方向从B→A,即从图中从右向左, U
5 出场时 0 d d t ， 0 ，故 I −t 曲线如题 10-9 图(b)所示. 题 10-10 图 10-10 导线 ab 长为 l ，绕过 O 点的垂直轴以匀角速 转动， aO = 3 l 磁感应强度 B 平行于转 轴，如图10-10所示．试求： （1） ab 两端的电势差； （2） a,b 两端哪一点电势高? 解: (1)在 Ob 上取 r →r + dr 一小段 则 = = 3 2 0 2 9 2 d l Ob l B rB r 同理 = = 3 0 2 18 1 d l Oa rB r Bl ∴ 2 2 6 1 ) 9 2 18 1 ( B l B l ab = aO + Ob = − + = (2)∵ ab 0 即 Ua −Ub 0 ∴ b 点电势高． 题 10-11 图 10-11 如题10-11图所示，长度为 2b 的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并 以速度 v 平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流 I ，两导线相距 2 a ．试求：金属杆两端的电势差及其方向． 解：在金属杆上取 dr 距左边直导线为 r ，则 a b Iv a b r r a r Iv v B l a b a b B A AB − − + = − = = − + + − )d ln 2 1 1 ( 2 ( ) d 0 0 ∵ AB 0 ∴实际上感应电动势方向从 B → A ，即从图中从右向左， ∴ a b Iv a b UAB − + = ln 0
XB X 题10-12图 10-12磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间,一金属杆放在题10-12图中位 置,杆长为2R,其中一半位于磁场内、另一半在磁场外,当一>0时,求:杆两端的感应电 动势的大小和方向 d④ R dB [-R2B]= d④ d.πR2 B] πR2dB 2 dt 0 E>0即E从a→ 1013半径为R的直螺线管中,有“>0的磁场,一任意闭合导线aba,一部分在螺线管 内绷直成b弦,a,b两点与螺线管绝缘,如题10-13图所示.设ab=R,试求:闭合导线 中的感应电动势 解:如图,闭合导线abca内磁通量 R2√3R pn, =B S =B( R dB > ∴E1<0,即感应电动势沿acba,逆时针方向
6 题 10-12 图 10-12 磁感应强度为 B 的均匀磁场充满一半径为 R 的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位 置，杆长为2 R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当 t B d d ＞0时，求：杆两端的感应电 动势的大小和方向． 解： ∵ ac ab bc = + t R B R B t t a b d d 4 3 ] 4 3 [ d d d d 1 2 = − = − − = = − = t ab d d2 t R B B R t d d 12 π ] 12 π [ d d 2 2 − − = ∴ t R R B ac d d ] 12 π 4 3 [ 2 2 = + ∵ 0 d d t B ∴ ac 0 即 从 a →c 10-13 半径为R的直螺线管中，有 dt dB ＞0的磁场，一任意闭合导线 abca ，一部分在螺线管 内绷直成 ab 弦， a , b 两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设 ab = R ，试求：闭合导线 中的感应电动势． 解：如图，闭合导线 abca 内磁通量 ) 4 3 6 π ( 2 2 R R m = B S = B − ∴ t B R R i d d ) 4 3 6 π ( 2 2 = − − ∵ 0 d d t B ∴ i 0 ，即感应电动势沿 acba ，逆时针方向．
x(文B 题10-13图 题10-14图 10-14如题10-14图所示,在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab于直径位置,另一导 体αd在一弦上,导体均与螺线管绝缘.当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示 方向.试求: (1)ab两端的电势差; (2)cd两点电势高低的情况 解由d=J出d知,此时E以O为中心滑逆时针方向 (1)∵ab是直径,在ab上处处E旋与ab垂直 d=o EGb=0,有U。=Ub (2)同理 E=|E·d>0 U,-UU 题1015图3 10-15一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝 缘).求:线圈与导线间的互感系数 解:设长直电流为Ⅰ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为 dr=lola d12-4an2 10-16一矩形线圈长为a=20cm,宽为b=10cm,由100匝表面绝缘的导线绕成,放在一无限 长导线的旁边且与线圈共面.求:题10-16图中(a)和(b)两种情况下,线圈与长直导线间的 互感 解:(a)见题10-16图(a),设长直电流为l,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
7 题 10-13 图 题 10-14 图 10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体 ab 于直径位置，另一导 体 cd 在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示 方向．试求： （1） ab 两端的电势差； （2） cd 两点电势高低的情况． 解： 由 = − l S t B E l d d d 旋 d 知，此时 E旋 以 O 为中心沿逆时针方向． (1)∵ ab 是直径，在 ab 上处处 E旋 与 ab 垂直 ∴ = l dl 0 旋 ∴ ab = 0,有 Ua = Ub (2)同理， = d 0 E l c d dc 旋 ∴ Ud −Uc 0 即 Uc Ud 题 10-15 图 10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝 缘)．求：线圈与导线间的互感系数． 解： 设长直电流为 I ，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为 = = 3 2 3 0 0 12 ln 2 2π d 2π a a Ia r r Ia ∴ ln 2 2π 12 0a I M = = 10-16 一矩形线圈长为 a =20cm，宽为 b =10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限 长导线的旁边且与线圈共面．求：题10-16图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的 互感． 解：(a)见题 10-16 图(a)，设长直电流为 I ，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
山ldr=an 2 八≤Nan2=28×10H N④ (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通φ2=0,见题10-16图(b) bb/2:b/2 题10-16图 题10-17图 10-17两根平行长直导线,横截面的半径都是a,中心相距为d,两导线属于同一回路.设两 导线内部的磁通可忽略不计,证明:这样一对导线长度为l的一段自感为 L 解:如图10-17图所示,取dS=ldh bol In 2rx2τ(d-r) uoll d-a 10-18两线圈顺串联后总自感为1.0H,在它们的形状和位置都不变的情况下,反串联后总自 感为0.4H.试求:它们之间的互感 解:∵顺串时L=L1+L,+2M 反串联时L=L+L2-2M L-L′=4M 0.15H
8 ln 2 2π d 2π d 0 2 0 ( ) 12 Ia r Ia r B S b S b = = = ∴ 12 0 6 ln 2 2.8 10 2π − = = = a N I N M H (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通 12 = 0 ，见题 10-16 图(b) ∴ M = 0 题 10-16 图 题 10-17 图 10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是 a ，中心相距为 d ，两导线属于同一回路．设两 导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为 l 的一段自感为 l L 0 = In a d − a ． 解： 如图 10-17 图所示，取 dS = ldr 则 − − − − − = − = − − = + d a a d a a d a d a Il d a r r r Il l r r I rπ I (ln ln ) 2π )d d 1 1 ( 2π ) d 2 2π (d ) ( 0 0 0 0 a Il d − a = ln π 0 ∴ a l d a I L − = = ln π 0 10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自 感为0.4H．试求：它们之间的互感． 解： ∵顺串时 L = L1 + L2 + 2M 反串联时 L = L1 + L2 − 2M ∴ L − L = 4M 0.15 4 = − = L L M H
10-19图 10-19一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示,共有N匝.试求 (1)此螺线环的自感系数 (2)若导线内通有电流Ⅰ,环内磁能为多少? 解:如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为 2/r dr_AoNIh,b 磁链华=M=M2历 l、y山Nh W=∠ Nh. b 0-20一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为l.求:导线内部 单位长度上所储存的磁能 解:在r<R时B=46 2πR B lot /r d=2d(∵导线长l=1) 则 W=wm 2mrdr=[R4o12r'dr_Ho 4πR416m
9 10-19 图 10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求： (1)此螺线环的自感系数； (2)若导线内通有电流 I ，环内磁能为多少? 解：如题 10-19 图示 (1)通过横截面的磁通为 = = b a a NIh b h r r NI ln 2π d 2 π 0 0 磁链 a N Ih b N ln 2π 2 0 = = ∴ a N h b I L ln 2π 2 0 = = (2)∵ 2 2 1 W LI m = ∴ a N I h b Wm ln 4π 2 2 0 = 10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为 I ．求：导线内部 单位长度上所储存的磁能． 解：在 r R 时 2 0 2πR I B r = ∴ 2 4 2 2 0 0 2 2 8π R B I r wm = = 取 dV = 2πrdr (∵导线长 l =1 ) 则 = = = R R m I R I r r W w r r 0 0 2 0 4 2 3 0 4π 16π d 2 d