习题3.7 解答 ·对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆 1.简单六角结构 积结构 1.西出前3个布里渊区 绝二在里激区绿色正入形,第工黄色城第 2.求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 2.费来油在,4 3.给出第一布里渊区内接回半径 3.内接圆半径:=a 求出内接园为费米回时每个原子的平均自由电子 4.平均电子数 5.平均每个原子有两个自由电子时,在简约布里渊 区中画出费米园的图形 5.费米波夫比第一布里渊区内接圆略大,但比 外接圆略小略加修饰的六边形 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 习题3.8 例:二维正方点阵能隙 型,求锌原子与铜原子之比为何值时,米球 ·设有二维正方点阵,如下的势场 形式,求M点的能隙 渊区相接触?(钢是fc结构 价,锌是二价) U(x,y)=-4U, cos 2rx cos 2t y 解答: fc的第一布里渊区边界点(单位2x/a) 6个等价的正方形和8个等价的六角形画 ·L(.555),X(1,0,0),K(75,75,0),W(1,5,0) 三维时 √r 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 解答 4个平面波为 ·M点是三个边界面(10,(01,(11)的 交点,自由电子的4度简并能量 ·简并微扰,用它们组成尝试波函数 0.5,0.5) .0) 代入 Schroedinger方程 V+U-E w=0 0,1)K 分别用这4个平面波左乘后积分,即可得 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 习题3.7 • 对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆 积结构， 1. 画出前3个布里渊区 2. 求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 3. 给出第一布里渊区内接圆半径 4. 求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子 数 5. 平均每个原子有两个自由电子时，在简约布里渊 区中画出费米圆的图形 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 1. 简单六角结构 * 第一布里渊区绿色(正六边形)，第二黄色区域，第 三兰色区域 2. 费米波矢： 3. 内接圆半径： 4. 平均电子数： 5. 费米波矢比第一布里渊区内接圆略大，但比 外接圆略小。略加修饰的六边形 a a a a π π 2 ,1 3 1 2 1 , 2 3 2 ,1 3 1 2 1 , 2 3 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a b a b 1 / 2 F 2 3 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a k π a r π 3 2 = ( ) 1.55 3 , 1 3 / 0 2 F = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r k = N = + N π π a a k π π 3 4 3 8 1 / 2 F 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 习题3.8 • 向铜中掺锌，取代铜原子。采用自由电子模 型，求锌原子与铜原子之比为何值时，费米球 与第一布里渊区相接触？(铜是fcc结构，一 价，锌是二价) • 解答： * fcc的第一布里渊区边界点(单位2π/a): * 6个等价的正方形面和8个等价的六角形面 * L(.5,.5,.5), X(1,0,0), K(.75,.75,0), W(1,.5,0) 三维时 ( ) k N V =3 3 F 3 4 2 2 π π a a Z Z k π π π π 3 12 3 3 3 2 F = = Ω = 1.36 4 3 = ≈ π Z http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 例：二维正方点阵能隙 M K4 K2 K3 π/a π/a ( ) y a x a U x y U π 2π cos 2 , 4 cos = − 0 • 设有二维正方点阵，如下的势场 形式，求M点的能隙 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 解答 • M点是三个边界面(10), (01), (11)的 交点，自由电子的4度简并能量 ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 2 0,1 , 2 1,0 2 0.5,0.5 , 0, 2 3 4 1 2 a a a a M π π π π = = = = = K K K K K [ ]2 2 0 2 i i m E = k − K h 2 0 2 0 4 0 3 0 2 0 1 2 E m E = E = E = E = K M = h M K4 K2 K3 π/a π/a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 4个平面波为 (k −K )•r (k −K )•r ( ) k −K •r (k −K )•r = = = = 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , i i i i ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e • 简并微扰，用它们组成尝试波函数 ψ = C1 ϕ 1 + C2ϕ 2 + C3ϕ 3 + C4ϕ 4 • 代入Schroedinger方程 0 2 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∇ + U − E ψ m h • 分别用这4个平面波左乘后积分，即可得 ( ) 0 2 4 1 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ − − + = − j i E ij U C j m K j K i k K δ h
如U=0,就是零级近似,即自由电子的解,简并 那么,只有当KK为如前的{b2}组合时,才 ·现在,U不为零,有解的条件是 不为零 EL-E UK-K. UK-K. UK-K E2-E -.0 E-E 0 E3 ·这个4X4矩阵可以改写为两个2X2的对角矩 ·其中勢能的傅立叶分量Us,,=(x,y灬d 阵,因为实际上零级能量是相同的,即简并 ·如果将U展开,成 ()=∑Uke=-U(e+e+c4+e ·可解得 ·其中b1和b2为侧格子基矢 简并分裂为U,14和23的简并被打开,但 种p∥45.2413che國体学 仍是僵西的 体理学 例:椭球等能面的状态密度 a2 Ge和Si晶体导带极值附近的等能面可以近似看 作是旋转椭球,求导带极值附近的状态密度 ·椭球的体积 能量为E的等能面内所包含的状态数 解:令E(kF=E z(E)=arabi_ 8z3-32(2E ·状态密度为 D(E)=z= I2(m m Ee 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 第24讲、晶格振动的经典理论 绝热近似 1.静止晶格模型的局限 (H电子+H核+H电子用平(名},{R,)=EH({},{R,) 2.经典还是量子 基本事实:原子核比电子重得多 3.一维单原子链的晶格振动 绝热近似:考虑电子运动时可不考虑原子核得 4.一维双原子链的晶格振动 适动。原子核固定在它的瞬间位置 5.三维体系的晶格振动 B≥21.2分 R s厘H(;R》)=(电子 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 如U=0，就是零级近似，即自由电子的解，简并 • 现在，U不为零，有解的条件是 0 0 4 0 3 0 2 0 1 1 4 2 4 3 4 1 3 2 3 4 3 1 2 3 2 4 2 2 1 3 1 4 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − − − − − − U U U E E U U E E U U E E U U E E U U U K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K • 其中势能的傅立叶分量 ( ) ( ) r K K r K K U U x y e d j i j i i − • − ∫ = , ( ) () () () ( ) ( ) b b r b b r b b r b b r K K r K r • + • − + • − • − − • = ∑ = − + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i i i U U e U e e e e • 如果将U展开，成 • 其中b1和b2为倒格子基矢 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 那么，只有当Kj -Ki 为如前的{b1,b2}组合时，才 不为零 0 0 0 0 - 0 0 - 0 0 0 - 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − U E E U E E E E U E E U • 这个4X4矩阵可以改写为两个2X2的对角矩 阵，因为实际上零级能量是相同的，即简并 0 0 0 0 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − U E E E E U • 可解得 0 0 E = E ± U • 简并分裂为2U0，1~4和2~3的简并被打开，但 仍是俩两简并的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 例：椭球等能面的状态密度 • Ge和Si晶体导带极值附近的等能面可以近似看 作是旋转椭球，求导带极值附近的状态密度 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + i y z l x m k k m k E k 2 2 2 2 2 ( ) h • 解：令E(k)=E 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = h h h m E k m E k m E k i z i y l x http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 令 2 2 2 2 2 , 2 h h m E b m E a l i = = • 则 1 2 2 2 2 2 2 + + = b k b k a k x y z • 椭球的体积 • 能量为E的等能面内所包含的状态数 2 3 4 πab ( ) ( ) ( )1 / 2 3 / 2 2 3 2 3 2 2 3 8 3 4 2 E mlmi V V Z E ab π π h = π = • 状态密度为 ( ) ( ) 1/ 2 3 / 2 2 1/ 3 2 2 2 2 E V m m dE dZ D E l i ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = π h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 第24讲、晶格振动的经典理论 1. 静止晶格模型的局限 2. 经典还是量子 3. 一维单原子链的晶格振动 4. 一维双原子链的晶格振动 5. 三维体系的晶格振动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 绝热近似 • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得 运动。原子核固定在它的瞬间位置。 ( ) H ) ({ },{ }) Hˆ ˆ H ({ },{ }) ( Hˆ Hˆ ˆ 0 i J i RJ + + Ψ r R ⇒ + Ψ r 电子 核 电子−核 电子 电子−核 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核 核 RJ 0 RJ H ) ({ },{ }) ({ },{ }) Hˆ Hˆ ˆ ( - i J i RJ 电子 + 核 + 电子 核 Ψ r R = EΨ r
1、静止晶格模型的局限 静止晶格模型失效 能带理论中假定原子新普止在它们的平衡位置 静止晶格模型的困难 这与真实的情况差别有多大? 大的力限制原子 哪些固体性质会受影响 ·静止晶格樸型的成功 理,电子在昌 由电子决定的性质,一般都能成功地描述,如 射,电导率将是 #金属的一些着运性质 ·对静止模型,特别困难的是绝缘体的输适性质 #有些高子组成的绝绿体,分子绝体 折有电子都处于填满 经典理论:只有在绝对温度零度,原子才是静 ·如果对绝缘体采用静止是格模型, 量子理论:即使在绝对零度,根据测不准原 静止模型也不成立,所谓零点振动 #如果晶体中原子都静止,绝缭体是不是一定是 种p∥45.2413che國体学 体理学 受晶格振动影响的性质 受晶格振动影响的输运性质 平衡性质 ·输透性质 :: ·超导:传统起导的解释是昌格振动在电子对上的有 但在静止晶格模 体。主要爺昌格自由度导热 基本上取决于电子构,但金属 音传播:绝缘体还可以传播声音,静止横型里 与温庭无关井且是 mann-Fran定律:在中等温度失效,原因就 需要知道有多少电子被是格散射 p45.24132gche回物学 趣452413 binche体嚼理学 静止晶格模型修正的基本出发点 2、经典还是量子? R←一咫这时不考虑电于的运动,田就一项 粒子的dB波长与动重战反比,即} 65W-2)R-R=R 由m-2,减长与7的平方根成反比 但假定原子仅在平衡位置附近适动,与平衡位 当粗子的波长与粒子间的平均距高a可以比拟 置的偏高是电子受到原子散射的 时,就会显示量子效应。由λ=a,可以估计简 假定平衡位仍呈周期性排列可用经典处理 并温度作为判据 如何考虑周期性排列原子间的相互作用? 假定原子之间的相互作用力是已知 原子间平均距高是23A,电子的质量-10 原子间的力可以雷作位移的线性函 3kg,原子的质量-102kg 数,因为原子位移本身很小 T电子子~10K 种的45.24132he园体物学 趣452413 2-igcher物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 1、静止晶格模型的局限 • 能带理论中假定原子都静止在它们的平衡位置 * 这与真实的情况差别有多大？ * 哪些固体性质会受影响 • 静止晶格模型的成功 * 由电子决定的性质，一般都能成功地描述，如： # 金属的一些输运性质 # 有些离子组成的绝缘体，分子绝缘体 • 经典理论：只有在绝对温度零度，原子才是静 止的 • 量子理论：即使在绝对零度，根据测不准原 理，静止模型也不成立，所谓零点振动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 静止晶格模型失效 • 静止晶格模型的困难 * 只要原子不是无限重，或没有无限大的力限制原子 运动，静止晶格模型都只是一种近似 * 如晶体有严格的周期性，根据Bloch定理，电子在晶 体中运动不会受到任何散射，电导率将是无限大 • 对静止模型，特别困难的是绝缘体的输运性质 * 绝缘体中电子是相对惰性的，所有电子都处于填满 的能带中，难以参与输运过程 * 如果对绝缘体采用静止晶格模型，几乎没有自由度 可以被用来描写绝缘体丰富的、不同的物理性质： 比如热传导等 # 如果晶体中原子都静止，绝缘体是不是一定是 “绝热体”呢？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 受晶格振动影响的性质 • 平衡性质 * 比热：静止晶格模型只计入电子贡献，cV ~T，但只 有在10K时才能明显地观察到；更高温：cV ~ T2- T3 * 热膨胀：物质的密度与温度有关。但在静止晶格模 型中，只有激发电子才有温度效应 • 输运性质 * 金属的输运性质基本上取决于电子结构，但金属还 有相当一部分的输运性质、绝缘体的所有输运性质 只有考虑了晶格振动才能被很好地解释 * 电子弛豫时间：静止晶格模型，与温度无关并且是 无限长的 * Wiedemann-Franz定律：在中等温度失效，原因就 是需要知道有多少电子被晶格散射 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 输运性质 * 超导：传统超导的解释是晶格振动在电子对上的有 效作用 * 绝缘体的热传导：大部分金属的输运性质的机制与 绝缘体不同。例子，绝缘体也可以是良好的导热 体。主要靠晶格自由度导热 * 声音传播：绝缘体还可以传播声音，静止模型里， 绝缘体也是“绝声体” 受晶格振动影响的输运性质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 静止晶格模型修正的基本出发点 • 但假定原子仅在平衡位置附近运动，与平衡位 置的偏离(是电子受到原子散射的原因) * 假定平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理 • 如何考虑周期性排列原子间的相互作用？ * 唯象的观点——假定原子之间的相互作用力是已知 的，并能够用一组力常数描述，而且这些力常数是 原子间势对原子位移的二阶导数 * 简谐近似——原子间的力可以看作位移的线性函 数，因为原子位移本身很小 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核 核 RJ − RJ ' = RJ " RJ 0 RJ 这时不考虑电子的运动，H就一项 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 2、经典还是量子？ • 粒子的de Broglie波长与动量成反比，即 • 由 ，波长与T的平方根成反比 • 当粒子的波长与粒子间的平均距离a可以比拟 时，就会显示量子效应。由λ=a，可以估计简 并温度作为判据 mv h λ = mv kBT 2 2 3 2 1 = 2 B 2 3mk a h T量子简并 = • 原子间平均距离是2~3A，电子的质量~10- 30kg，原子的质量~ 10-27kg ~ 10 K 5 T电子量子简并 T原子量子简并 ~ 50K
描写晶格振动的基本图象 2、一维单原子链的晶格振动 ·R是原子的平衡位 置,具有周期性 删m少 时,整个原 ·思考:不同原子的位 研究晶格振动即需求波矢与频率的关 移x在周期性结构中有 什么关系 100l 0 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche n+1 势能对位移求导后可得力 平衡时 移成线性关系→简谐近似 振动时偏离 ○○- 平衡位量 只考虑最近原子相互作用,即,影 原子受 于第n个原子的运动方程 原子平衡位量 r., x是相对子平衡位量的槁离 两原子闻相互 d- B(xn+1-xn)+B(rm-1-xn) V(a+)=(a)+ [思考:如果不只是考成最近邻? s(a+/ 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 运动方程 equations of motion 将尝试解代入适动方程 dx=B(n-x)+B(m-1-x,) =B(rn+x,--2x,) 因为格具有同期性,因此它的尝试解应满足Boch定 理,有平画波形式的相因子 xn(1)=x( -2B(1-cos ga)Ae"t nd 吧马 波矢 Wave-\波长=2r mO2=-26(1-c0sqa) m:第n个原子的坐标 o(q)=/2-cosq)=212s 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 描写晶格振动的基本图象 • R是原子的平衡位 置，具有周期性 * 但在任一时刻有一远 远小于原子间距的偏 离平衡位置的位移u * x <<R • 思考：不同原子的位 移x在周期性结构中有 什么关系 O R r x 平衡位置 位移 瞬时位置 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 2、一维单原子链的晶格振动 一维振动：比如在立方晶体中，当波 沿着[100], [110], [111]之一传播 时，整个原子平面作同相位运动，或 平行或垂直与波矢方向，可以看作一 维的振动，存在三个振动模式：一个 纵向、两个横向偏振 研究晶格振动即需求波矢与频率的关 系 3D 1D [100] [111] [110] http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 2 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ + + ⋅⋅⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + − d d V V a d d V d dV V a V a x x n n 两原子间相互 作用势能展开 后，零次项是 常数，一次项 为零(？)，只保 留位移的二次 项Æ简谐近似 n-2 n+1 n+2 n-1 n 平衡时 振动时偏离 平衡位置 xn xn-1 xn+1 a 原子平衡位置 rn=na，xn是相对于平衡位置的偏离 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 δ βδ δ δ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − 0 2 2 d d V d dV 势能对位移求导后可得力与 F 位移成线性关系Æ简谐近似 只考虑最近邻原子相互作用，即，考察第n个原子受 力，写出关于第n个原子的运动方程——牛顿方程 这里β是力常数(force constant) ( ) ( ) 2 1 1 2 n n n n n x x x x dt d x m = β + − + β − − 思考：如果不只是考虑最近邻？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 ( ) ( ) 2 1 1 2 n n n n n x x x x dt d x m = β + − + β − − 运动方程 equations of motion iqna i t iqna n x t x t e Ae e − ω ( ) = 0 ( ) = q: 波矢 Wave-vector na: 第n个原子的坐标 x是相对 于平衡位 置的偏离 q v q p ω π λ = = 2 波长 相速度 因为晶格具有周期性，因此它的尝试解应满足Bloch定 理，有平面波形式的相因子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 将尝试解代入运动方程 ( ) ( ) ( ) i qna t iqa iqa i qna t m Ae e e Ae ω ω ω β − − − − = − 2 − − 2 ( ) n n n n x x x dt d x m 1 1 2 2 2 = β + + − − • 得 − m = −2 (1− cos qa) 2 ω β ( ) ( cos ) i qna t qa Ae ω β − = −2 1− 2 2 m 2 1 qa m qa q sin ( cos ) ( ) β β ω = − = • 即
哪些q值有意义 色散关系( dispersion) 循环周期性边界条件要求 频率与波失的关 ·相当于 Na,陬取整数 系称为色散关系 与电子的情况相似,不等价的q可以限制在第 一 Brillouin区 q 这与连续介中的弹性波的传播有本质的区别 B区边界时最大-ma 在连续介质中,a0,qm+±∞ ·现周期性重复,即q与q+K等价,K是侧格 一維布里渊区 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 群速与波矢关系 声学支 ·在长波极限下,即当q0时,a∞0的这支色散关系称为声学 回的反射,形成 支 驻波 其振动模式称为声学模 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 讨论 Displacement patterns ·长波极限 如果<<1→则波长A比晶格常数大得多 x=Ae 对这样的波来说,晶体可近似地看成连缑介质 0+1+2 这时,声学支格波即连介质的弹性波 振动频率与波夫的关系类似于能带理论中能量 9=0-→○C H-r,=Ae-ier 与波失的关系 周期性 o(g)= 2p(1-cos qa) 9r/a-O 在B区边界 振动位相相反,这个波既不 不能在晶格中传播,而是通过 个驻沒 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 哪些q值有意义？ • 与电子的情况相似，不等价的q可以限制在第 一Brillouin区 * 这与连续介质中的弹性波的传播有本质的区别 * 在连续介质中，aÆ0，qmaxƱ∞ • 现周期性重复，即q与q+K等价，K是倒格矢 =1 iqNa e • 相当于 l取整数 N a l q 2 , π = • 循环周期性边界条件要求 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 色散关系 (dispersion) • 频率与波矢的关 系称为色散关系 * 就象能带结构， 这是晶格振动问 题的主要任务 • 只有一支，当q在 B区边界时最大 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ( ) 2 sin 2 1 qa m q β ω q ω −π/a π/a 一维布里渊区 2 1 max 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m β ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 群速与波矢关系 • 能量传播速度 * 在B区边界，满 足Bragg反射条 件，群速为零 • 这时，相邻原子 振动位相相反， 这个波既不向右 也不向左运动 • 不能在晶格中传 播，而是通过来 回的反射，形成 一个驻波 q vg π/a 0 0 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m βa ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = qa m a dq d q vg 2 1 cos ( ) 2 1 2 ω β http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 声学支 • 因此把q->0时，ω->0的这支色散关系称为声学 支 • 其振动模式称为声学模 q q m q ≈ a ∝ β ω( ) • 在长波极限下，即当qa<<1，频率与波矢成线 性关系 • 系数 为声速 vg = a β / m • 这是一维弹性波特征 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 讨论 • 长波极限 * 如果qa<<1Æ则波长λ比晶格常数a大得多 * 对这样的波来说，晶体可近似地看成连续介质 * 这时，声学支格波即连续介质的弹性波 • 振动频率与波矢的关系类似于能带理论中能量 与波矢的关系 • 周期性 2 2 m 2 1 qa m qa q sin ( cos ) ( ) β β ω = − = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 Displacement patterns iqna i t n x Ae e− ω = q=π/a i t xn Ae− ω = -2 +1 +2 -1 0 a q=0 in i t n x Ae e π − ω = 在B区边界，相邻原子振动位相相反，这个波既不 向右也不向左运动，不能在晶格中传播，而是通过 来回的反射，形成一个驻波
一维双原子链的晶格振动 Ma=B(x2m+x2-1-2x2) 2n-22n-12n2n+12n+2 B(x+2一2x)x2n=Bey呵y M 动时偷离oaO Mo'B= B(eo+e")A-2BB -moA= B(e"w+e)B-2B4 B(x, -.)+B(2m--I2n) (2B-M0)B-2B cos(qa)A=0 ≈43=B(x2-2-)+B(x,- 2Bcos(ga)B+(2B-mO)A=0 本征值方程 种p∥45.2413che國体学 体理学 本征值方程 e(q)=21(±1-4 2B cos(ga)B+(2B-mo)A=0 2B-Mo2 -2p cos(qa) 长波近似 边界 o0m(,0p,1m 0.=0,(q) =Os学(q) 常数! 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 LO:纵光学支 光学支 光学支 (2p/u)2 LO 光学支与声 (2β/m)学支之间有 (2M频率隙 声学支 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 + + + + + − = − + − = − + − n n n n n n n n n n x x x x dt d x m x x x x dt d x M β β β β 3、一维双原子链的晶格振动 平衡时 振动时偏离 平衡位置 x2n x2n-1 x2n+1 x2n+2 M m 2n-2 2n+1 2n+2 2n-1 2n a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 + + + + − = + − = + − n n n n n n n n x x x dt d x m x x x dt d x M β β [ ] i[ ] naq t n i naq t n x Be x Ae ω ω − − + = = 2 2 1 m A e e B A M B e e A B iqa iqa iqa iqa ω β β ω β β 2 2 2 2 − = + − − = + − − − ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 2 2 − + − = − − = qa B m A M B qa A cos( ) ( ) ( ) cos( ) β β ω β ω β 本征值方程 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 2 2 0 2 2 0 2 2 − + − = − − = qa B m A M B qa A cos( ) ( ) ( ) cos( ) β β ω β ω β 本征值方程 0 2 2 2 2 2 2 = − − − − β β ω β ω β qa m M qa cos( ) cos( ) [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + ± + + 2 1 2 2 2 ( ) (M m) M m 2Mmcos(2qa) Mm q β ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ± − 2 1 2 2 2 ( ) (1 1 4 sin (qa / 2) Mm q μ μ β ω M m Mm + μ = 约化质量 长波近似 ( ) ! 2 ( ) 2 ( ) 2 1 光学 常数 声学 μ β ω ω β ω ω = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = = + − q qa M m q q → 0 m q M q β ω ω β ω ω 2 ( ) 2 ( ) = = = = + − 光学 声学 a q = π 边界 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 q ω −π/a π/a 声学支 光学支 LO LA LO: 纵光学支 LA: 纵声学支 离子晶体中长光学波有 特别作用：相对振动产 生电偶极矩，与电磁波 相互作用，导致强烈的 红外光吸收 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 q ω π/a 声学支 光学支 LO LA (2β/μ)1/2 (2β/M)1/2 (2β/m)1/2 M>m 光学支与声 学支之间有 频率隙
振幅之比声学支 振幅之比光学支 (2B-Mo)B-2Bcos(qa)A=0 由(2B-Mo)B-2o9)4=0 2Bcos(qa)B+(2B-mO)A=0 2Bcos(qa)B+(2B-mO)A=0 可得 A 2B cos(qa) 因为对声学支,有 ·因为对光学支o()=、2B 所以振幅之比大于零,这表示相邻不同原子的 所以振幅之比小于零,这表示相邻不同原子的 振幅都有相同的方向,代表质心的振动 幅方向相反的相对振动 种p∥45.2413che國体学 体理学 长波极限 一维→三维:色散关系与振动自由度 一维单原子线性憾的色散关系:一个声学支 q0时,co(qa)-1,而叫i=2B 维双原子线性链的色散关系 声学 个光学支 所以 →m4+MB=0 ·三维?原胞内有s个原子? 与原胞内原子的自由度有关:3个声学、33个 ·即在长波极限下,光学支是原胞质心保持不动 光学支格波 的原胞内原子的相对振动 离子晶体中长光学波有特别作用:相对振动产 对于q的N个取值(N:原胞个数),共有3N个 生电偶极 电磁波相互作用 声学、(3s-3)N个光学振动模式 黄昆方程 ·这些结论对三维也适用 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 4、三维体系的晶格振动 三维运动方程及其解 晶体共有=1N个原胞,原胞内有=1个原子, 原胞内原子数:s 每个原子有三个动方向a=xy 如果第个原胞内第个原子的k方向的位移为 自由度:3s 势能是位移的函数。在平衡点附近有 ·简谐力 a 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 振幅之比——声学支 • 由 2 2 0 2 2 0 2 2 − + − = − − = qa B m A M B qa A cos( ) ( ) ( ) cos( ) β β ω β ω β 2 2 2 cos( ) β ω β m qa B A − = • 因为对声学支，有 • 可得 • 所以振幅之比大于零，这表示相邻不同原子的 振幅都有相同的方向，代表质心的振动 M q β ω 2 ( ) max = > 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 振幅之比——光学支 • 由 2 2 0 2 2 0 2 2 − + − = − − = qa B m A M B qa A cos( ) ( ) ( ) cos( ) β β ω β ω β • 因为对光学支 • 可得 • 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反的相对振动 2 cos( ) 2 2 qa M B A β β − ω = m q β ω 2 ( ) min = < 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 长波极限 • 即在长波极限下，光学支是原胞质心保持不动 的原胞内原子的相对振动 • 离子晶体中长光学波有特别作用：相对振动产 生电偶极矩，与电磁波相互作用 * 玻恩—黄昆方程 • 这些结论对三维也适用 • 长波极限：q~0时，cos(qa)~1，而 0 2 2 2 < − = cos(qa) M B A β β ω μ β ω2 2 光学 = = − → mA+ MB = 0 m M B A • 所以 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 一维Æ三维：色散关系与振动自由度 • 一维单原子线性链的色散关系：一个声学支 • 一维双原子线性链的色散关系：一个声学、一 个光学支 • 三维？原胞内有s个原子？ • 与原胞内原子的自由度有关：3个声学、3s-3个 光学支格波 • 对于q的N个取值（N：原胞个数），共有3N个 声学、(3s-3)N个光学振动模式 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 4、三维体系的晶格振动 原胞内原子数：s 自由度：3s optical acoustic http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 三维运动方程及其解 • 晶体共有i=1,N个原胞，原胞内有j=1,s个原子， 每个原子有三个振动方向α=x,y,z • 如果第i个原胞内第j个原子的k方向的位移为 uα,ij，势能是位移的函数。在平衡点附近有 ... 2 1 ', ', ' , , , ', ' ' 0 , ', ' ' 2 , , , 0 , 0 + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∑ ∑ α α α α α α α i j i j ij i j i j ij i j k ij k ij u u u u V u u V V V • 简谐力： ∑ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ', ', ' ', ' ' 0 , ', ' ' 2 , , α α α α α α i j i j ij ij i j u u u V u V F ij 简谐
·经典运动方程为 M,=- ·代入后可得: l对u的导数仅与和的格矢差有关,因为可 以任意移动原点坐标而不影响这个导数 尝试解 Ma.(q)e4M- q=∑ (民,一比 、√M, M, das aua. ua.(a) 种p∥45.2413che國体学 体理学 本征值方程 讨论 写成 形式上与能带本征值问题完全类似,DQq相当 3sx3s维的矩阵(s是原胞内原子的个数),而 Daaq)称为动力学矩阵,即 且是个 Hermit矩阵〔作为习题证明),即有实 Dy()-=∑ 教的本征值 对每一个q,Aq,F=1…,3s,共有3个实数 的本征值,(q称为色散关系,3支声学支 述线性方程组有非平凡解的条件是 其余光学支 对每一个aq),D分别有一个本征矢,本征矢 dpad, y (a)-02, & rI 具有正交归一性和完备性 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 对每一个本征值,有一个本征失,滿足: 本讲要点 o(qaq)=∑Day(ka(q) 维单原子链的晶格振动 程、尝试解式 ·本征失的正交性 ( Bloch定理) 维双原子链的晶格摄动 ∑cr(qkmq)=6n 与单原子相比,有光学支振动 q0(长波近似光学支、声学支色散关系特点? 质心的动 ·本征失的完备性 ·三维体系的晶格振动 ∑cm(qk(q)=6m6 原胞中原子的自由度数3s)与振动格波数(3s,3s3) http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 • V对ui,i’的导数仅与i和i’的格矢差有关，因为可 以任意移动原点坐标而不影响这个导数 • 尝试解 ∑ ∂ ∂ ∂ = − ', ', ' ', ' ' 0 , ', ' ' 2 2 , 2 α α α α α i j i j ij i j ij j u u u V dt d u M • 经典运动方程为 i i t j j ij i u e M u ω α α ⋅ − = q R (q) 1 , , http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 • 代入后可得： ( ) ∑ ( ) ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ = − − = ', ', ' ', ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' , 2 ' 1 α α ω α α ω ω α i j j i i t i ij i j j i i t j j e u u u V M M u e i i i i q q q R q R R q R ( ) ∑ ( ) ⋅ − ∂ ∂ ∂ = ', ', ' ', ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' , 2 ' 1 α α α α ω α i j j i ij i j j j j e u u u V M M u i i q q q R R • 即 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 45 本征值方程 • 写成 () () () = ∑', ' , ', ' ', ' 2 α ω α αα α j j jj j u q D q u q ( ) ∑− ⋅ − ∂ ∂ ∂ = i i i i i ij i j j j jj e u u V M M D R R q R R q ' ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' ', ' 1 α α αα • Dαα’,jj’(q)称为动力学矩阵，即 det ( ) 0 ' ' 2 Dαα', jj' q −ω δ αα δ jj = • 上述线性方程组有非平凡解的条件是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 46 讨论 • 形式上与能带本征值问题完全类似，D(q)相当 于H(k) • 3s x 3s维的矩阵（s是原胞内原子的个数），而 且是个Hermit矩阵（作为习题证明），即有实 数的本征值 • 对每一个q，ωl (q)，l=1,….,3s，共有3s个实数 的本征值， ωl (q)称为色散关系，3支声学支， 其余光学支 • 对每一个ωl (q)，D分别有一个本征矢，本征矢 具有正交归一性和完备性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 47 () () () () = ∑', ' ( ) ', ' ', ' ( ) , 2 α ω α αα α j l jj j l l j q c q D q c q • 本征矢的正交性 () () ' ', ' ( ') ', ' ( )* ', ' ll j l j l j c c δ α ∑ α q α q = • 本征矢的完备性 ( ) ( ) ' ' ( ) ', ' ( )* , jj l l j l j ∑cα q cα q = δ αα δ • 对每一个本征值，有一个本征矢，满足： http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 48 本讲要点 • 一维单原子链的晶格振动 * 势能与力常数(简谐近似)、运动方程、尝试解形式 (Bloch定理)，色散关系(声学支振动) • 一维双原子链的晶格振动 * 与单原子相比，有光学支振动 * q~0(长波近似)光学支、声学支色散关系特点？ * 光学支、声学支振幅关系——相对质心的振动 (q=0时，质心不动的振动)、质心振动 • 三维体系的晶格振动 * 原胞中原子的自由度数(3s)与振动格波数(3s，3s-3) 之间的关系
概念要点 思考问题 ·简谐近似 1.不同原子的位移x在周期性结构中有什么关 色散关系 ·振动模式电子中的状态 2.原子之间的相互作用如果不只是考虑最近 邻,如何写出适动方程? 种p∥45.2413che國体学 体理学 习题 45.24112gche园体制学
9 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 49 概念要点 • 简谐近似 • 色散关系 • 振动模式——电子中的状态 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 50 思考问题 1. 不同原子的位移x在周期性结构中有什么关 系？ 2. 原子之间的相互作用如果不只是考虑最近 邻，如何写出运动方程？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 51 习题： • 5.1 • 5.2
