复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第24讲静止晶格模型的局限.pdf_大学文库

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 习题3.7 • 对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆积结构， 1. 画出前3个布里渊区 2. 求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 3. 给出第一布里渊区内接圆半径 4. 求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子数 5. 平均每个原子有两个自由电子时，在简约布里渊区中画出费米圆的图形 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 1. 简单六角结构 * 第一布里渊区绿色(正六边形)，第二黄色区域，第三兰色区域 2. 费米波矢： 3. 内接圆半径： 4. 平均电子数： 5. 费米波矢比第一布里渊区内接圆略大，但比外接圆略小。略加修饰的六边形 a a a a π π 2 ,1 3 1 2 1 , 2 3 2 ,1 3 1 2 1 , 2 3 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a b a b 1 / 2 F 2 3 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a k π a r π 3 2 = ( ) 1.55 3 , 1 3 / 0 2 F = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r k = N = + N π π a a k π π 3 4 3 8 1 / 2 F 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 习题3.8 • 向铜中掺锌，取代铜原子。采用自由电子模型，求锌原子与铜原子之比为何值时，费米球与第一布里渊区相接触？(铜是fcc结构，一价，锌是二价) • 解答： * fcc的第一布里渊区边界点(单位2π/a): * 6个等价的正方形面和8个等价的六角形面 * L(.5,.5,.5), X(1,0,0), K(.75,.75,0), W(1,.5,0) 三维时 ( ) k N V =3 3 F 3 4 2 2 π π a a Z Z k π π π π 3 12 3 3 3 2 F = = Ω = 1.36 4 3 = ≈ π Z http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 例：二维正方点阵能隙 M K4 K2 K3 π/a π/a ( ) y a x a U x y U π 2π cos 2 , 4 cos = − 0 • 设有二维正方点阵，如下的势场形式，求M点的能隙 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 解答 • M点是三个边界面(10), (01), (11)的交点，自由电子的4度简并能量 ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 2 0,1 , 2 1,0 2 0.5,0.5 , 0, 2 3 4 1 2 a a a a M π π π π = = = = = K K K K K [ ]2 2 0 2 i i m E = k − K h 2 0 2 0 4 0 3 0 2 0 1 2 E m E = E = E = E = K M = h M K4 K2 K3 π/a π/a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 4个平面波为 (k −K )•r (k −K )•r ( ) k −K •r (k −K )•r = = = = 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , i i i i ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e • 简并微扰，用它们组成尝试波函数 ψ = C1 ϕ 1 + C2ϕ 2 + C3ϕ 3 + C4ϕ 4 • 代入Schroedinger方程 0 2 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∇ + U − E ψ m h • 分别用这4个平面波左乘后积分，即可得 ( ) 0 2 4 1 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ − − + = − j i E ij U C j m K j K i k K δ h

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 如U=0，就是零级近似，即自由电子的解，简并 • 现在，U不为零，有解的条件是 0 0 4 0 3 0 2 0 1 1 4 2 4 3 4 1 3 2 3 4 3 1 2 3 2 4 2 2 1 3 1 4 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − − − − − − U U U E E U U E E U U E E U U E E U U U K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K • 其中势能的傅立叶分量 ( ) ( ) r K K r K K U U x y e d j i j i i − • − ∫ = , ( ) () () () ( ) ( ) b b r b b r b b r b b r K K r K r • + • − + • − • − − • = ∑ = − + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i i i U U e U e e e e • 如果将U展开，成 • 其中b1和b2为倒格子基矢 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 那么，只有当Kj -Ki 为如前的{b1,b2}组合时，才不为零 0 0 0 0 - 0 0 - 0 0 0 - 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − U E E U E E E E U E E U • 这个4X4矩阵可以改写为两个2X2的对角矩阵，因为实际上零级能量是相同的，即简并 0 0 0 0 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − U E E E E U • 可解得 0 0 E = E ± U • 简并分裂为2U0，1~4和2~3的简并被打开，但仍是俩两简并的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 例：椭球等能面的状态密度 • Ge和Si晶体导带极值附近的等能面可以近似看作是旋转椭球，求导带极值附近的状态密度 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + i y z l x m k k m k E k 2 2 2 2 2 ( ) h • 解：令E(k)=E 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = h h h m E k m E k m E k i z i y l x http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 令 2 2 2 2 2 , 2 h h m E b m E a l i = = • 则 1 2 2 2 2 2 2 + + = b k b k a k x y z • 椭球的体积 • 能量为E的等能面内所包含的状态数 2 3 4 πab ( ) ( ) ( )1 / 2 3 / 2 2 3 2 3 2 2 3 8 3 4 2 E mlmi V V Z E ab π π h = π = • 状态密度为 ( ) ( ) 1/ 2 3 / 2 2 1/ 3 2 2 2 2 E V m m dE dZ D E l i ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = π h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 第24讲、晶格振动的经典理论 1. 静止晶格模型的局限 2. 经典还是量子 3. 一维单原子链的晶格振动 4. 一维双原子链的晶格振动 5. 三维体系的晶格振动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 绝热近似 • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。 ( ) H ) ({ },{ }) Hˆ ˆ H ({ },{ }) ( Hˆ Hˆ ˆ 0 i J i RJ + + Ψ r R ⇒ + Ψ r 电子核电子−核电子电子−核 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核核 RJ 0 RJ H ) ({ },{ }) ({ },{ }) Hˆ Hˆ ˆ ( - i J i RJ 电子 + 核 + 电子核 Ψ r R = EΨ r

1、静止晶格模型的局限静止晶格模型失效能带理论中假定原子新普止在它们的平衡位置静止晶格模型的困难这与真实的情况差别有多大? 大的力限制原子哪些固体性质会受影响 ·静止晶格樸型的成功理,电子在昌由电子决定的性质,一般都能成功地描述,如射,电导率将是 #金属的一些着运性质 ·对静止模型,特别困难的是绝缘体的输适性质 #有些高子组成的绝绿体,分子绝体折有电子都处于填满经典理论:只有在绝对温度零度,原子才是静 ·如果对绝缘体采用静止是格模型, 量子理论:即使在绝对零度,根据测不准原静止模型也不成立,所谓零点振动 #如果晶体中原子都静止,绝缭体是不是一定是种p∥45.2413che國体学体理学受晶格振动影响的性质受晶格振动影响的输运性质平衡性质 ·输透性质 :: ·超导:传统起导的解释是昌格振动在电子对上的有但在静止晶格模体。主要爺昌格自由度导热基本上取决于电子构,但金属音传播:绝缘体还可以传播声音,静止横型里与温庭无关井且是 mann-Fran定律:在中等温度失效,原因就需要知道有多少电子被是格散射 p45.24132gche回物学趣452413 binche体嚼理学静止晶格模型修正的基本出发点 2、经典还是量子? R←一咫这时不考虑电于的运动,田就一项粒子的dB波长与动重战反比,即} 65W-2)R-R=R 由m-2,减长与7的平方根成反比但假定原子仅在平衡位置附近适动,与平衡位当粗子的波长与粒子间的平均距高a可以比拟置的偏高是电子受到原子散射的时,就会显示量子效应。由λ=a,可以估计简假定平衡位仍呈周期性排列可用经典处理并温度作为判据如何考虑周期性排列原子间的相互作用? 假定原子之间的相互作用力是已知原子间平均距高是23A,电子的质量-10 原子间的力可以雷作位移的线性函 3kg,原子的质量-102kg 数,因为原子位移本身很小 T电子子~10K 种的45.24132he园体物学趣452413 2-igcher物理学

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 1、静止晶格模型的局限 • 能带理论中假定原子都静止在它们的平衡位置 * 这与真实的情况差别有多大？ * 哪些固体性质会受影响 • 静止晶格模型的成功 * 由电子决定的性质，一般都能成功地描述，如： # 金属的一些输运性质 # 有些离子组成的绝缘体，分子绝缘体 • 经典理论：只有在绝对温度零度，原子才是静止的 • 量子理论：即使在绝对零度，根据测不准原理，静止模型也不成立，所谓零点振动 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 静止晶格模型失效 • 静止晶格模型的困难 * 只要原子不是无限重，或没有无限大的力限制原子运动，静止晶格模型都只是一种近似 * 如晶体有严格的周期性，根据Bloch定理，电子在晶体中运动不会受到任何散射，电导率将是无限大 • 对静止模型，特别困难的是绝缘体的输运性质 * 绝缘体中电子是相对惰性的，所有电子都处于填满的能带中，难以参与输运过程 * 如果对绝缘体采用静止晶格模型，几乎没有自由度可以被用来描写绝缘体丰富的、不同的物理性质：比如热传导等 # 如果晶体中原子都静止，绝缘体是不是一定是 “绝热体”呢？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 受晶格振动影响的性质 • 平衡性质 * 比热：静止晶格模型只计入电子贡献，cV ~T，但只有在10K时才能明显地观察到；更高温：cV ~ T2- T3 * 热膨胀：物质的密度与温度有关。但在静止晶格模型中，只有激发电子才有温度效应 • 输运性质 * 金属的输运性质基本上取决于电子结构，但金属还有相当一部分的输运性质、绝缘体的所有输运性质只有考虑了晶格振动才能被很好地解释 * 电子弛豫时间：静止晶格模型，与温度无关并且是无限长的 * Wiedemann-Franz定律：在中等温度失效，原因就是需要知道有多少电子被晶格散射 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 输运性质 * 超导：传统超导的解释是晶格振动在电子对上的有效作用 * 绝缘体的热传导：大部分金属的输运性质的机制与绝缘体不同。例子，绝缘体也可以是良好的导热体。主要靠晶格自由度导热 * 声音传播：绝缘体还可以传播声音，静止模型里，绝缘体也是“绝声体” 受晶格振动影响的输运性质 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 静止晶格模型修正的基本出发点 • 但假定原子仅在平衡位置附近运动，与平衡位置的偏离(是电子受到原子散射的原因) * 假定平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理 • 如何考虑周期性排列原子间的相互作用？ * 唯象的观点——假定原子之间的相互作用力是已知的，并能够用一组力常数描述，而且这些力常数是原子间势对原子位移的二阶导数 * 简谐近似——原子间的力可以看作位移的线性函数，因为原子位移本身很小 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核核 RJ − RJ ' = RJ " RJ 0 RJ 这时不考虑电子的运动，H就一项 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 2、经典还是量子？ • 粒子的de Broglie波长与动量成反比，即 • 由，波长与T的平方根成反比 • 当粒子的波长与粒子间的平均距离a可以比拟时，就会显示量子效应。由λ=a，可以估计简并温度作为判据 mv h λ = mv kBT 2 2 3 2 1 = 2 B 2 3mk a h T量子简并 = • 原子间平均距离是2~3A，电子的质量~10- 30kg，原子的质量~ 10-27kg ~ 10 K 5 T电子量子简并 T原子量子简并 ~ 50K

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 描写晶格振动的基本图象 • R是原子的平衡位置，具有周期性 * 但在任一时刻有一远远小于原子间距的偏离平衡位置的位移u * x <<R • 思考：不同原子的位移x在周期性结构中有什么关系 O R r x 平衡位置位移瞬时位置 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 2、一维单原子链的晶格振动一维振动：比如在立方晶体中，当波沿着[100], [110], [111]之一传播时，整个原子平面作同相位运动，或平行或垂直与波矢方向，可以看作一维的振动，存在三个振动模式：一个纵向、两个横向偏振研究晶格振动即需求波矢与频率的关系 3D 1D [100] [111] [110] http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 2 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ + + ⋅⋅⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + − d d V V a d d V d dV V a V a x x n n 两原子间相互作用势能展开后，零次项是常数，一次项为零(？)，只保留位移的二次项Æ简谐近似 n-2 n+1 n+2 n-1 n 平衡时振动时偏离平衡位置 xn xn-1 xn+1 a 原子平衡位置 rn=na，xn是相对于平衡位置的偏离 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 δ βδ δ δ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − 0 2 2 d d V d dV 势能对位移求导后可得力与 F 位移成线性关系Æ简谐近似只考虑最近邻原子相互作用，即，考察第n个原子受力，写出关于第n个原子的运动方程——牛顿方程这里β是力常数(force constant) ( ) ( ) 2 1 1 2 n n n n n x x x x dt d x m = β + − + β − − 思考：如果不只是考虑最近邻？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 ( ) ( ) 2 1 1 2 n n n n n x x x x dt d x m = β + − + β − − 运动方程 equations of motion iqna i t iqna n x t x t e Ae e − ω ( ) = 0 ( ) = q: 波矢 Wave-vector na: 第n个原子的坐标 x是相对于平衡位置的偏离 q v q p ω π λ = = 2 波长相速度因为晶格具有周期性，因此它的尝试解应满足Bloch定理，有平面波形式的相因子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 将尝试解代入运动方程 ( ) ( ) ( ) i qna t iqa iqa i qna t m Ae e e Ae ω ω ω β − − − − = − 2 − − 2 ( ) n n n n x x x dt d x m 1 1 2 2 2 = β + + − − • 得 − m = −2 (1− cos qa) 2 ω β ( ) ( cos ) i qna t qa Ae ω β − = −2 1− 2 2 m 2 1 qa m qa q sin ( cos ) ( ) β β ω = − = • 即

5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 哪些q值有意义？ • 与电子的情况相似，不等价的q可以限制在第一Brillouin区 * 这与连续介质中的弹性波的传播有本质的区别 * 在连续介质中，aÆ0，qmaxÆ±∞ • 现周期性重复，即q与q+K等价，K是倒格矢 =1 iqNa e • 相当于 l取整数 N a l q 2 , π = • 循环周期性边界条件要求 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 色散关系 (dispersion) • 频率与波矢的关系称为色散关系 * 就象能带结构，这是晶格振动问题的主要任务 • 只有一支，当q在 B区边界时最大 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ( ) 2 sin 2 1 qa m q β ω q ω −π/a π/a 一维布里渊区 2 1 max 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m β ω http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 群速与波矢关系 • 能量传播速度 * 在B区边界，满足Bragg反射条件，群速为零 • 这时，相邻原子振动位相相反，这个波既不向右也不向左运动 • 不能在晶格中传播，而是通过来回的反射，形成一个驻波 q vg π/a 0 0 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m βa ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = qa m a dq d q vg 2 1 cos ( ) 2 1 2 ω β http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 声学支 • 因此把q->0时，ω->0的这支色散关系称为声学支 • 其振动模式称为声学模 q q m q ≈ a ∝ β ω( ) • 在长波极限下，即当qa<<1，频率与波矢成线性关系 • 系数为声速 vg = a β / m • 这是一维弹性波特征 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 讨论 • 长波极限 * 如果qa<<1Æ则波长λ比晶格常数a大得多 * 对这样的波来说，晶体可近似地看成连续介质 * 这时，声学支格波即连续介质的弹性波 • 振动频率与波矢的关系类似于能带理论中能量与波矢的关系 • 周期性 2 2 m 2 1 qa m qa q sin ( cos ) ( ) β β ω = − = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 Displacement patterns iqna i t n x Ae e− ω = q=π/a i t xn Ae− ω = -2 +1 +2 -1 0 a q=0 in i t n x Ae e π − ω = 在B区边界，相邻原子振动位相相反，这个波既不向右也不向左运动，不能在晶格中传播，而是通过来回的反射，形成一个驻波

7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 振幅之比——声学支 • 由 2 2 0 2 2 0 2 2 − + − = − − = qa B m A M B qa A cos( ) ( ) ( ) cos( ) β β ω β ω β 2 2 2 cos( ) β ω β m qa B A − = • 因为对声学支，有 • 可得 • 所以振幅之比大于零，这表示相邻不同原子的振幅都有相同的方向，代表质心的振动 M q β ω 2 ( ) max = > 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 振幅之比——光学支 • 由 2 2 0 2 2 0 2 2 − + − = − − = qa B m A M B qa A cos( ) ( ) ( ) cos( ) β β ω β ω β • 因为对光学支 • 可得 • 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的振幅方向相反的相对振动 2 cos( ) 2 2 qa M B A β β − ω = m q β ω 2 ( ) min = < 0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 长波极限 • 即在长波极限下，光学支是原胞质心保持不动的原胞内原子的相对振动 • 离子晶体中长光学波有特别作用：相对振动产生电偶极矩，与电磁波相互作用 * 玻恩—黄昆方程 • 这些结论对三维也适用 • 长波极限：q~0时，cos(qa)~1，而 0 2 2 2 < − = cos(qa) M B A β β ω μ β ω2 2 光学 = = − → mA+ MB = 0 m M B A • 所以 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 一维Æ三维：色散关系与振动自由度 • 一维单原子线性链的色散关系：一个声学支 • 一维双原子线性链的色散关系：一个声学、一个光学支 • 三维？原胞内有s个原子？ • 与原胞内原子的自由度有关：3个声学、3s-3个光学支格波 • 对于q的N个取值（N：原胞个数），共有3N个声学、(3s-3)N个光学振动模式 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 4、三维体系的晶格振动原胞内原子数：s 自由度：3s optical acoustic http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 三维运动方程及其解 • 晶体共有i=1,N个原胞，原胞内有j=1,s个原子，每个原子有三个振动方向α=x,y,z • 如果第i个原胞内第j个原子的k方向的位移为 uα,ij，势能是位移的函数。在平衡点附近有 ... 2 1 ', ', ' , , , ', ' ' 0 , ', ' ' 2 , , , 0 , 0 + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∑ ∑ α α α α α α α i j i j ij i j i j ij i j k ij k ij u u u u V u u V V V • 简谐力： ∑ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ', ', ' ', ' ' 0 , ', ' ' 2 , , α α α α α α i j i j ij ij i j u u u V u V F ij 简谐

8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 • V对ui,i’的导数仅与i和i’的格矢差有关，因为可以任意移动原点坐标而不影响这个导数 • 尝试解 ∑ ∂ ∂ ∂ = − ', ', ' ', ' ' 0 , ', ' ' 2 2 , 2 α α α α α i j i j ij i j ij j u u u V dt d u M • 经典运动方程为 i i t j j ij i u e M u ω α α ⋅ − = q R (q) 1 , , http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 • 代入后可得： ( ) ∑ ( ) ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ = − − = ', ', ' ', ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' , 2 ' 1 α α ω α α ω ω α i j j i i t i ij i j j i i t j j e u u u V M M u e i i i i q q q R q R R q R ( ) ∑ ( ) ⋅ − ∂ ∂ ∂ = ', ', ' ', ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' , 2 ' 1 α α α α ω α i j j i ij i j j j j e u u u V M M u i i q q q R R • 即 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 45 本征值方程 • 写成 () () () = ∑', ' , ', ' ', ' 2 α ω α αα α j j jj j u q D q u q ( ) ∑− ⋅ − ∂ ∂ ∂ = i i i i i ij i j j j jj e u u V M M D R R q R R q ' ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' ', ' 1 α α αα • Dαα’,jj’(q)称为动力学矩阵，即 det ( ) 0 ' ' 2 Dαα', jj' q −ω δ αα δ jj = • 上述线性方程组有非平凡解的条件是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 46 讨论 • 形式上与能带本征值问题完全类似，D(q)相当于H(k) • 3s x 3s维的矩阵（s是原胞内原子的个数），而且是个Hermit矩阵（作为习题证明），即有实数的本征值 • 对每一个q，ωl (q)，l=1,….,3s，共有3s个实数的本征值， ωl (q)称为色散关系，3支声学支，其余光学支 • 对每一个ωl (q)，D分别有一个本征矢，本征矢具有正交归一性和完备性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 47 () () () () = ∑', ' ( ) ', ' ', ' ( ) , 2 α ω α αα α j l jj j l l j q c q D q c q • 本征矢的正交性 () () ' ', ' ( ') ', ' ( )* ', ' ll j l j l j c c δ α ∑ α q α q = • 本征矢的完备性 ( ) ( ) ' ' ( ) ', ' ( )* , jj l l j l j ∑cα q cα q = δ αα δ • 对每一个本征值，有一个本征矢，满足： http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 48 本讲要点 • 一维单原子链的晶格振动 * 势能与力常数(简谐近似)、运动方程、尝试解形式 (Bloch定理)，色散关系(声学支振动) • 一维双原子链的晶格振动 * 与单原子相比，有光学支振动 * q~0(长波近似)光学支、声学支色散关系特点？ * 光学支、声学支振幅关系——相对质心的振动 (q=0时，质心不动的振动)、质心振动 • 三维体系的晶格振动 * 原胞中原子的自由度数(3s)与振动格波数(3s，3s-3) 之间的关系

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第24讲 静止晶格模型的局限

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