上讲复习:晶面和Mier指数举例 过原点晶面在晶轴上的截距 ·假定某族晶西中的一个晶面在基失轴上的截距 看某一族晶面在基失轴上 的截距 当b轴上正好六倍基夫长度 时,在和c上是三倍和两 简约为互质的整数,则 倍基失长度。这样 为3,6,2,因此倒数为13 1:4 411 1/12.互质后为(213),o。ooO 该族晶面的密勒指数为 我;则为1218:°°。5。°° (hkD)=(144) 们的倒数已经互质,就是 Miller指数(213) 种:∥45.24324kche國体学 政中4524l3-iche 体理学 如果与某基轴无交点? 立方结构常用的Mier指数 如果某族晶面与某一基失轴没有相交 ·简立方 截距是无限大 =2v=2.w=∞0 ·面心立方 现在 1:1:0 密勒指数为 (100),(010), (110),(011) (hk)=(110 (001)→{100}(101)→110} (1l1) 们45.24132che回体学 邮m452413 binche体物理学 六角结构的 Miller指数表示 六角密堆积结构 ·基矢a1,a2,c 设问:如图垂直于c轴有几个 常用(hD,i=h+k 晶西? 对应的基矢a1a2,a3c,其中a3=a1+a2 中间层,也具有与底层和上 屡同样的二簞周期性 注意:是格点而不是原子在 晶面上! 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 上讲复习：晶面和Miller指数举例 • 假定某族晶面中的一个晶面在基矢轴上的截距 是 u = 4,v =1,w =1 • 简约为互质的整数，则 1: 4 : 4 1 1 : 1 1 : 4 1 1 : 1 : 1 = = u v w • 该族晶面的密勒指数为 (hkl) = (144) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 过原点晶面在晶轴上的截距 • 看某一族晶面在基矢轴上 的截距 • 当b轴上正好六倍基矢长度 时，在a和c上是三倍和两 倍基矢长度。这样，u, v, w 为3, 6, 2，因此倒数为1/3, 1/6, 1/2。互质后为(213) • 如由最靠近原点的晶面看 截距，则为1/2, 1, 1/3 。它 们的倒数已经互质，就是 Miller指数(213) a c b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 如果与某基轴无交点？ • 如果某族晶面与某一基矢轴没有相交 • 截距是无限大 u = 2,v = 2,w = ∞ 1:1: 0 1 : 2 1 : 2 1 1 : 1 : 1 = ∞ = u v w (hkl) = (110) • 现在 • 密勒指数为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 立方结构常用的Miller指数 • 简立方 • 体心立方 • 面心立方 (100), (010), (001)Æ{100} (110), (011), (101)Æ{110} (111) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 六角结构的Miller指数表示 • 基矢a1, a2, c • 常用 (hkil), i = h + k • 对应的基矢a1, a2, a3, c，其中a3 =a1+ a2 a a c http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 六角密堆积结构 • 设问：如图垂直于c轴有几个 晶面？ • 中间层，也具有与底层和上 层同样的二维周期性，是否 也是一晶面 • 注意：是格点而不是原子在 晶面上！ c a
第10讲、晶体对称性和晶体结构分类 1、复杂结构 1.复杂结构 2.化合物晶体结构举例 3.其他重要结构 4.晶体对称性 5.最体分类和 bravais格子 复杂结构和晶体对称性,七大晶系,十四种 Bravais格子 种:∥45.24324kche國体学 体理学 复杂结构的任何原子位王=格夫+原胞内位夫 2、化合物晶体结构举例 NaCl R1=l1a1+l2a2+l2a1,l1,l2l4为整数 τ,K=1.2.3 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 Cl结构 o(0,0.0) 氯化铯结构 ○a2(1,1,1) ·注意不同原子,配位数? 球不相切时是不是稳定 ·这是什么晶格? 求相切时的半径比 ·小球和大球分别形成 相切时 简立方 对角线=√5a=23R 2(r+R)=2√R 如果r>073R,穗定 不稳定 种的45.24132he园你物学 B业3氯化构
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 第10讲、晶体对称性和晶体结构分类 1. 复杂结构 2. 化合物晶体结构举例 3. 其他重要结构 4. 晶体对称性 5. 晶体分类和Bravais格子 复杂结构和晶体对称性，七大晶系，十四种 Bravais格子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 1、复杂结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 复杂结构的任何原子位置 = 格矢 +原胞内位矢 Rl +τ κ , κ =1,2,3,...m Rl = l 1a1 + l2a2 + l3a3 , l 1,l2 ,l3为整数 a1 a3 a2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 2、化合物晶体结构举例 sc CsCl fcc NaCl http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 CsCl结构 • 这是什么晶格 ? • 小球和大球分别形成 简立方 (0,0,0) a/2(1,1,1) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 氯化铯结构 • 注意不同原子，配位数？ • 球不相切时是不是稳定 • 求相切时的半径比 • 相切时，a=2R 对角线 = 3a = 2 3R 2(r + R) = 2 3R • 如果r>0.73R，稳定 • 如果rr/R>0.73：氯化铯结构 r ( ) 2 3R 2R 0.73R 2 1 = − ≈
NaC结构 (0,0,0) 氯化钠结构 a/2(1,0,0) ·配位教? 大球有可能不切!6 ·小球和大球分刹形 咸面心立方结构 ·都相切时的半径比 (R+r)=(2R)=4R a3 R V=a3/4 0.73>r/R>0.41:氯化钠结构 种:∥45.24324kche國体学 政中4524l3-iche 体理学 一些属NaC和CsC结构的化合物 3、其他重要的结构 NaCl CsCl 闪锌矿结构 KCI CsBr ·纤锌矿站构 Mgo TIBr 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 闪锌矿结构(立方Zn 立方ZnS结构 1098° ·晶格? Oa/4(1,1,1) 原子连接是四面 ·从结构上看 种原子处于四通体中心,另 ·两个面心立方:属于面心立方格子 中心原子指向四画体四个顶角 为什么会形成这样的结构? V=aloi 同样的电子数 的排斥作用使成 注意四西体的排列方式 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 NaCl结构 • sc ? • 小球和大球分别形 成面心立方结构 (0,0,0) a/2(1,0,0) V=a3/4 4 4 a3 1 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 氯化钠结构 • 配位数？ • 大球有可能不切！6 • 半径之比？ • 都相切时的半径比 ( ) ( ) 2 2 2 2 R + r = 2R = 4R = 2 −1≈ 0.41 R r • 0.73>r/R>0.41：氯化钠结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 一些属NaCl和CsCl结构的化合物 NaCl LiF KCl AgF MgO MgS CaO CsCl CsCl CsBr CsI TlCl TlBr http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 3、其他重要的结构 • 闪锌矿结构 • 纤锌矿结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 闪锌矿结构（立方ZnS） • 晶格? • 从结构上看 * 两个面心立方! (0,0,0) a/4(1,1,1) V=a3/4 4 4 a3 1 1 配位数=？ 属于面心立方格子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 立方ZnS结构 • 原子连接是四面体 * 一种原子处于四面体中心，另 一种原子处于四面体顶角上 * 中心原子指向四面体四个顶角 的方向之间的夹角是109.80 • 为什么会形成这样的结构？ * 从轨道物理学观点看就是轨道 杂化后，形成四个完全等价的 轨道，占据着同样的电子数， 它们之间的排斥作用使成 * 注意四面体的排列方式 109.8o
属金刚石和闪锌矿结构化合物 纤锌矿结构(六角ZnS) Diamond Zns 结构上看,四层都是简单六角[于简单六角格子 Diamond III-V: gaAs 原胞? ·原子连接也是四面体 InAs 但连接方式与闪钟矿不同 I-VI: Znt 种:∥45.24324kche國体学 hm.452413yih理想:=a2/c2,c/a=√8/3 属六角ZnS化合物 4、晶体对称性 ·有了原胞,为何还要晶胞 Crystals a(A) c(A) Crystals a(A) c(A) 什么是晶体宏观对称性? Sic ·前面所讲原胞只涉及平移对称性 h diamond 2.52 4.12 ·在一定的几何操作下,晶体保持不 nSe3.986.53 变的特性)晶体宏观对称性 ZnTe 4.27699 Cdse 4.307.02 然也应包括平移操作冷受平移操作。o。 宏观对称反映在宏观物理性质上 们45.24132che回体学 邮m452413 binche体物理学 对称操作 平移对称性对转动操作有限制 ·数学上,有一变换矩阵D使晶体中的某点满 ·定理:晶体中允许的转动轴只能是1,2,3, 4,6重軸 其中变換矩阵D为正交(为 阵,除了对 ·证明:BA绕A转,B到B';AB绕B转,A到A 角线上元为1,其佘为零),行列式值等于正负 AB∥ABB'o D=I.D=± ·如果正交变换使晶体不变,则为晶体D=010 的对称操作。如反演对称操作的D为 ·对称操作多表示晶体对称性高 ·满足一定运算规则的一组元素构成一个群 A'B也是格点,在同簇晶列上,同一周期,必 是AB倍数,即AB'=mAB→1-2cos9=m 晶体所有的对称操作(元素)满足群的定义 晶体就是根据群的观点来分类的 m=-101239=0.22x,27,2x,2x 种45.2413yche园体是学 45.24132he国体物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 属金刚石和闪锌矿结构化合物 Diamond Diamond Si Ge α-Sn ZnS III-V: GaAs GaP InAs II-VI: ZnS HgSe CdTe CuF AgI http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 纤锌矿结构（六角ZnS ） • 结构上看，四层都是简单六角 • 原胞？ • 原子连接也是四面体 * 但连接方式与闪锌矿不同 τ k τ j k τ j k τ ˆ) 2 ( ˆ ˆ 3 ˆ 2 ˆ 3 0 4 3 2 1 c uc uc a a c = + = + = + = / , / 8 / 3 2 2 理想：u = a c c a = 配位数=？ 属于简单六角格子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 属六角ZnS化合物 • Crystals a (A) c (A) ZnO 3.25 5.12 ZnS 3.81 6.23 ZnSe 3.98 6.53 ZnTe 4.27 6.99 • Crystals a (A) c (A) SiC 3.25 5.21 h diamond 2.52 4.12 CdS 4.13 6.75 CdSe 4.30 7.02 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 4、晶体对称性 • 有了原胞，为何还要晶胞？ • 什么是晶体宏观对称性？ • 前面所讲原胞只涉及平移对称性 • 在一定的几何操作下，晶体保持不 变的特性Æ晶体宏观对称性 * 绕固定轴转动(2π/n，n重轴)、镜面反 映、中心反演(可以组合) 等等非平移 操作 * 当然也应包括平移操作Æ受平移操作 制约 • 宏观对称反映在宏观物理性质上 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 对称操作 • 数学上，有一变换矩阵D使晶体中的某点满 足： ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , 3 , 2 , 1 2 3 1 r x , x , x ⇒ r' x , x , x = Dr x , x , x • 其中变换矩阵D为正交(I为单位矩阵，除了对 角线上元为1，其余为零)，行列式值等于正负 1 D = ( ), D D = I, D = ±1 T dij • 如果正交变换使晶体不变，则为晶体 的对称操作。如反演对称操作的D为 • 对称操作多表示晶体对称性高 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 D • 满足一定运算规则的一组元素构成一个群 • 晶体所有的对称操作(元素)满足群的定义 • 晶体就是根据群的观点来分类的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 平移对称性对转动操作有限制 • 定理：晶体中允许的转动轴只能是1，2，3， 4，6重轴。 −θ • 证明：BA绕A转，B到B’；AB绕B转，A到A’ A'B'= AB(1- 2cosϑ) A B θ B’ A’ A'B'= mAB →1- 2cosϑ = m 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 6 2 1,0,1,2,3 0, π π π π π m = − →ϑ = • AB//A’B’ • A’B’也是格点，在同簇晶列上，同一周期，必 是AB倍数，即
n度螺旋轴(转动加平移) 滑移反映面(反演加平移) ·绕螺旋轴转2丌/,A→1 ·镜象反映后,再沿平行于 再沿轴方向平移T/的整数 该面的方向平移T/的距 倍,T为u方向的周期夫量 高.T是该方向上的周期 次后,重合 失量,n=2或4,原子重 种:∥45.24324kche國体学 体理学 5、晶体分类和 Bravais格子 晶系分类:七大晶系 按对称性分类 ·按对称轴之间的相互关系 晶系:七大晶系 Bravais格子:14 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 七大晶系 L三斜 a≠B≠y≠90a=y=90≠Ba=B=y=90 ≠B≠y≠90 a≠b≠C a≠b≠C a≠b≠c a≠b≠C 单斜 正交 a=B=y=90|a=B=90,y=120a=B=y≠90 a=b≠c 正方 六角 a=B=y=90 种p:ma45.24l32che 立方 424l3iche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 n度螺旋轴（转动加平移） • 绕螺旋轴转2π/n，AÆ1 1 A A1 2 A2 3 A3 4 A4 • 再沿该轴方向平移T/n的整数 倍，T为u方向的周期矢量 • n次后，重合 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 滑移反映面（反演加平移） • 镜象反映后，再沿平行于 该面的方向平移T/n的距 离。T是该方向上的周期 矢量，n=2或4，原子重 合。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 5、晶体分类和Bravais格子 • 按对称性分类 • 晶系：七大晶系 • Bravais格子: 14种 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 晶系分类: 七大晶系 • 按对称轴之间的相互关系 a b c γ α β http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 七大晶系 a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90 a = b = c α = β = γ = 90 a = b ≠ c α = β = γ = 90 a = b = c α = β = γ ≠ 90 a = b ≠ c α = β = 90,γ = 120 a ≠ b ≠ c α = γ = 90 ≠ β a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90 单斜 正交 正方 六角 三角 立方 三斜 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 I. 三斜 a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90
I.单斜 IL正交 y=90≠B a=B=y=90 a≠b≠C b 简草单 底心草斜 简单正交底心正交体心正交面心正交 种:∥45.24324kche國体学 体理学 I.正方 V六角 B a=B=90,y=120 b 方 们45.24132che回体学 趣452413 binche体理学 VL.三角 VIL.立方 B=y≠90 C 简单立方 种的45.24132he园你物学 424l3iche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 II. 单斜 a ≠ b ≠ c α = γ = 90 ≠ β a c b β 简单单斜 a c b β 底心单斜 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 III. 正交 a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90 a c b 简单正交 a c b 底心正交 a c b 体心正交 a c b 面心正交 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 IV. 正方 a = b ≠ c α = β = γ = 90 a c a 简单正方 体心正方 a c a 底心正方？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 V. 六角 a a c a = b ≠ c α = β = 90,γ = 120 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 VI. 三角 a = b = c α = β = γ ≠ 90 α α α a a a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 VII. 立方 a = b = c α = β = γ = 90 a a 简单立方 a a a 体心立方 a a a 面心立方 a
十四种 Bravais格子 本讲要点 ·三斜:1 ·晶体对称操作:平移、转动等 ·单斛:2 转动轴 平移对称操作对转动操作的限制→只有1、2、 Frankheim(1842): 15 5、46度转动轴 正方:2 度螺旋轴 角: 三角:1 Bravais(1845): 14 系分类 立方:3 七大晶系 十四种 bravais格子 ·思考:有几种二簞晶系、几种二蝉 bravais格 子? 种:∥45.24324kche國体学 体理学 概念要点 对称操作:使晶体保持不变的变换 点对称操作:平移对称对转动操作有限制 #没有5度和6度以上的转动轴 们45.24132che回体学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 十四种 Bravais 格子 • 三斜：1 • 单斜：2 • 正交：4 • 正方：2 • 六角：1 • 三角：1 • 立方：3 • 思考：有几种二维晶系、几种二维Bravais格 子？ Frankheim (1842): 15 Bravais (1845): 14 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 本讲要点 • 晶体对称操作：平移、转动等 * 转动轴 # 平移对称操作对转动操作的限制Æ只有1、2、 5、4、6度转动轴 * n度螺旋轴 # 滑移反映面 • 晶系分类 * 七大晶系 * 十四种Bravais格子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 概念要点 • 对称操作：使晶体保持不变的变换 * 点对称操作：平移对称对转动操作有限制 # 没有5度和6度以上的转动轴
