第7讲、晶格和基元 l、晶体的特征 1.晶休特征 ·晶体特征 2.晶格、空间点阵(点阵和 Bravais格子(格子) 3.基元;原胞、 Wigner-Seitz原胞和晶胞 几何:凸多体,晶棱平行,晶面夹角守恒 4.实战 5.重要的晶格例子 R=R,+R[周期性 与晶体结构周期性敷学描写有 重要概 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 ●●●●●● 晶体的外形→对称性 晶体由全同的基本结构单元在空间有规则地重 怎样描写原子排列 ·外形与基本形状有一定的关系,形成一系列突 多面体,比如可长成如下四个面 http:1a.45.24.132igchey 晶体的不同外形 暴露在最外的面形状不同,即不同的晶面 ·也可长成另外的形状,但有规律 晶面夹角守恒 构的方式就是用几 设问:晶棱平行,晶面夹角守恒反映什么特征? 晶体=几何结构(数学)+基本重复单元(物理)
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第7讲、晶格和基元 1. 晶体特征 2. 晶格、空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子) 3. 基元：原胞、Wigner-Seitz原胞和晶胞 4. 实战 5. 重要的晶格例子 与晶体结构周期性数学描写有关的一些重要概 念——晶格、基元、格点、格矢、基矢 周期性结构 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、晶体的特征 • 晶体特征 * 物理：固定熔点，长程有序，解理性 * 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 怎样描写原子排列？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 晶体的外形Æ对称性 • 晶体由全同的基本结构单元在空间有规则地重 复排列而构成，这样的单元称为基元 • 外形与基本形状有一定的关系，形成一系列突 多面体，比如可长成如下四个面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 晶体的不同外形 • 暴露在最外的面形状不同，即不同的晶面 • 也可长成另外的形状，但有规律 • 晶面夹角守恒 设问：晶棱平行，晶面夹角守恒反映什么特征？ 晶体http://10.45.24.132/~jgche/ = 几何结构（数学）固体物理学 + 基本重复单元（物理）6 比如金银铜，如果 不细究右图中小块 中的内容，即不管 中间是金或银还是 铜，它们是完全类 似的。描写晶体结 构的方式就是用几 何点代表小块。这 种几何点的结构就 是晶体结构。金银 铜的结构相同
2、晶格、空间点阵(点阵)和 Bravais格子格子) 晶格的数学表示 ·晶格:实际晶体结构的敷学抽象(简化、理想化) 晶格(格子、点阵):无限(无边界)高散的阵列 也称为空闻点阵点阵和 Bravais格子格子) 想晶体:以完全相同的基本结构单元(基元 规则地、重复地、以完全相同的方式排列而成 定义:如杲选择一组不共面的基失 格点(结点)∷:代表基元的几何点 ay),那么晶格中每个格点位置可由失量格矢) ·晶格(格子、点阵):点(格点)的总和 RFlyai+hay +l3a 鲐出。所有格点的集合组成墨格(点阵、格子) Crystal Structure= Lattice+ Basis a1,a2,a基矢可有多种选择,一般选最短) 数学物理一一 的特点:任何一个格矢可由另两个格矢的和 #平移任一格矢,晶格保持不变,因此它必是无限 格上形成晶体。昌格是是体结构的数学表示,昌格中 的每个格点代表基元 体理学 基矢多重选择举例 3、基元:原胞、wS原胞和晶胞 ·格点代表基元,戴者说基元由格点来代表 每个格点所代表的内容完全相网,即基元 基元=完全相同的重复的基本结构单元 ·一个或多个原子组成以及它们之间互相位量排列 晶体一金同的基元平移(没有转动地放在每个格 点上,基元将填满所有空间 基元之间没有重叠 基元排列后也没有剩余空间 ·平移实际巳意味着每个基元全同,有两层含义 组分全同:可以单个原子,也可多个、多种原子 鑫摆的单能题看子查指 量关系 45.24112gche园体制学 原胞 最小重复单元? ·原胞:最小的基元(内有且只有一个格点?) 卜球是格点,别把小球当作原子,虽然它可以是原子! 最小意咪着不能再分。当然只包含一个格 ,格点是基元的代表点→那为什么如此说? 这是相对于晶胞来说的(以后不要用这种说 法,见后) ·用格夫平移原胞,将填滿整个空间,没有空间 遣漏,也没有重叠 oo,oO 因为原胞就是基元,最小的的基元 选取原胞的方法可以不只是一种,遁常与基夫 的选取有关(选表面积最小,但体积一定相同 因为它将填满整个空间 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 2、晶格、空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子) • 晶格：实际晶体结构的数学抽象(简化、理想化) * 也称为空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子) • 理想晶体：以完全相同的基本结构单元(基元) 规则地、重复地、以完全相同的方式排列而成 • 格点 (结点)：代表基元的几何点 • 晶格 (格子、点阵)：结点(格点)的总和 晶体结构 = 格子+ 基元 数学 物理 Crystal Structure = Lattice + Basis • 该关系表示如果用几何点来代表基元，那么几何点在 空间排列成阵列——格子(点阵、晶格)，基元加在晶 格上形成晶体。晶格是晶体结构的数学表示，晶格中 的每个格点代表基元 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 晶格的数学表示 • 晶格(格子、点阵) ：无限(无边界)离散的阵列 * 无论从这个阵列中的哪一地方去观察，其周围环 境，即点的分布和排列方位都是完全相同的 • 定义：如果选择一组不共面的基矢(a1、a2和 a3)，那么晶格中每个格点位置可由矢量(格矢) Rl =l1a1 + l2a2 + l3a3 给出。所有格点的集合组成晶格(点阵、格子) a1, a2, a3: 基矢(可有多种选择，一般选最短) l1, l2, l3: 整数 # 重要的特点：任何一个格矢可由另两个格矢的和 来表示Æ Rl =Rm+Rn # 平移任一格矢，晶格保持不变，因此它必是无限 伸展的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 基矢多重选择举例 P Q a1 a2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 3、基元：原胞、W-S原胞和晶胞 • 格点代表基元，或者说基元由格点来代表 * 每个格点所代表的内容完全相同，即基元 • 基元=完全相同的重复的基本结构单元 * 一个或多个原子组成以及它们之间互相位置排列 • 晶体=全同的基元平移(没有转动)地放在每个格 点上，基元将填满所有空间 * 基元之间没有重叠 * 基元排列后也没有剩余空间 • 平移实际已意味着每个基元全同，有两层含义 * 组分全同：可以单个原子，也可多个、多种原子 * 形状结构全同：单个原子时只有形状，无所谓结 构；多个原子时，结构指原子互相之间的位置关系 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 原胞 • 原胞：最小的基元(内有且只有一个格点？) ——最小意味着不能再分。当然只包含一个格 点，格点是基元的代表点Æ那为什么如此说？ ——这是相对于晶胞来说的(以后不要用这种说 法，见后) • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有空间 遗漏，也没有重叠！ ——因为原胞就是基元，最小的的基元 • 选取原胞的方法可以不只是一种，通常与基矢 的选取有关(选表面积最小) ，但体积一定相同 ——因为它将填满整个空间 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 最小重复单元？ ？ 小球是格点，别把小球当作原子，虽然它可以是原子！
原胞的多量选择? Wigner- Seitz原胞 ·以某个格点为中心,作其与邻近格点的中垂 面,这些中垂面所包含最小体积的区城 ·对称性原胞,与基失的选择无关,与相应的 Bravais格子有完全相同的对称性 比问:有没有一种乐胞,它的选取是唯一 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 在实际研究工作中 Wigner-Seitz原胞的选取原 原胞体积 胞方法很少用 因为很少有需受,同时也不方便 很多时候,我们不助关心原胞边界在什么位置 这时是将基矢确定的平行六面体当作边界 有时,会有特珠的解能带理论所确定薛定鄂方 时方法,需要边界具有一定的对称性 g2=(a2×a3) 比如为边界上波数衔签方便,需要取这样的原胞 比如有一种方法叫原胞法,就是取这样的原胞 而确定原胞和选择基失才是最重要的 原胞大,处理的原子数就多 倒格子中(晶格可称为正格子),与WS原胞对 应的称为布里渊区,构造方法与WS原胞相同 45.24112gche园体制学 趣452413 binche嚼理学 原胞内组分和结构 ·原胞内可只有一个原子,当然至少有一个原子 原胞内也可以有多个原子:如两个原子的金刚 原胞内还可以有十几个、上百个、成千个原 子,如碳管、生物晶体,等等 种45.2413yche是学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 原胞的多重选择？ 设问：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 Wigner-Seitz原胞 • 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂 面，这些中垂面所包含最小体积的区域 • 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的 Bravais格子有完全相同的对称性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 在实际研究工作中Wigner-Seitz原胞的选取原 胞方法很少用 * 因为很少有需要，同时也不方便 * 很多时候，我们不必关心原胞边界在什么位置 * 这时是将基矢确定的平行六面体当作边界 • 有时，会有特殊的解能带理论所确定薛定鄂方 程时方法，需要边界具有一定的对称性 * 比如为边界上波函数衔接方便，需要取这样的原胞 * 比如有一种方法叫原胞法，就是取这样的原胞 • 而确定原胞和选择基矢才是最重要的 * 原胞大，处理的原子数就多 • 倒格子中(晶格可称为正格子)，与W-S原胞对 应的称为布里渊区，构造方法与W-S原胞相同 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 原胞体积 a1 a3 a2 ( ) 1 2 3 Ω = a • a ×a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 原胞内组分和结构 • 原胞内可只有一个原子，当然至少有一个原子 • 原胞内也可以有多个原子：如两个原子的金刚 石 • 原胞内还可以有十几个、上百个、成千个原 子，如碳管、生物晶体，等等 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18
高温超导材料 YBacuo结构 ·简单钙钛矿晶胞站构,掺入一些其他元素 ·别把原子当格点 种p∥45.2413che國体学 体理学 实战 问题:小球表示原 问题:小球表示原 子排列结构。选择 子排列结构。选择 基失,画出原胞 基失,画出原胞 OO OO 判断根据:能否用 基失表示所有的小 判断根提:能否用 ?并且只有这些 基失表示所有的小 球?并且只有这些 小球? 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 确定基矢、原胞的一般步骤 问题:小球表示原 子排列结构。选择 判断能否用格失表示所有的小球,并且只有 基失,画出原胞 判断小球是否就可以表示格点 比如选ab和a为基矢 看是否能表达所有点? 可以表达所有点 3.是否只有这些点? 判断根据:能否用 多出六边形中点 基失表示所有的小 球?并且只有这些 4.所以小球不能表示格点 5.基元内一定含多个原子>〈k 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 高温超导材料YBaCuO结构 • 简单钙钛矿晶胞结构，掺入一些其他元素 • 别把原子当格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 4、实战 问题：小球表示原 子排列结构。选择 基矢，画出原胞。 判断根据：能否用 基矢表示所有的小 球？并且只有这些 小球？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 问题：小球表示原 子排列结构。选择 基矢，画出原胞。 判断根据：能否用 基矢表示所有的小 球？并且只有这些 小球？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 问题：小球表示原 子排列结构。选择 基矢，画出原胞。 判断根据：能否用 基矢表示所有的小 球？并且只有这些 小球？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 确定基矢、原胞的一般步骤 • 判断能否用格矢表示所有的小球，并且只有 这些小球？ 1. 判断小球是否就可以表示格点 * 比如选a-b和a-f为基矢 2. 看是否能表达所有点？ * 可以表达所有点！ 3. 是否只有这些点？ * 多出六边形中点！ 4. 所以小球不能表示格点 5. 基元内一定含多个原子 a b c d f e g h i k j l
确定基矢、原胞的一般步骤 晶胞(单胞) 基元至少含两个原子 ·结晶学上用的基元 选基元含两个原子 ·反映晶体宏观对称性 2.该基元能否覆盖晶体? 能正确反映 昆体的对称性 可以I 原胞体积的整数倍 3.选基元中一原子代表格南 ·晶胞的基失常用a,b,c来表示 如a所有基元对应点 4.选基失 比如ak和ae 5.检验程序如前 6.还需给出基元内原子坐标 种:a45.24I32che國体学 体理学 5、重要的晶格例子 简单立方: Simple cubic(sc 简单立方结构:s ·面心立方结构:fce 体心立方结构:bce 简单六角结构:sh ·六角密积结构:hcp 注意晶胞和原胞的划分 i小球是否代表格点 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体理学 体心立方:Body- centred cubic(bc 面心立方:Face- centred cubic(f) a2=(+i-j+k) r小球是否代表格点 i小球是否代表格点 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 确定基矢、原胞的一般步骤 • 基元至少含两个原子 1. 选基元含两个原子 * 比如a和b a b c d f e g h i k j l 2. 该基元能否覆盖晶体？ * 可以！ 3. 选基元中一原子代表格点 * 如a，所有基元对应点 5. 检验程序如前 4. 选基矢 * 比如a-k和a-e 6. 还需给出基元内原子坐标 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 晶胞(单胞) • 结晶学上用的基元 • 反映晶体宏观对称性 * 如果用原胞，不管怎么选取基矢，都不能正确反映 晶体的对称性——原胞基矢只反映格子的对称性 • 原胞体积的整数倍 • 晶胞的基矢常用a，b，c来表示 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 5、重要的晶格例子 • 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc • 简单六角结构：sh • 六角密积结构：hcp • 注意晶胞和原胞的划分 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 简单立方：Simple cubic (sc) i k j a1 a2 a3 a k a j a i ˆ ˆ ˆ 3 2 1 a a a = = = 小球是否代表格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 体心立方：Body-centred cubic(bcc) i k j a1 a3 a2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j k a i j k a i j k = + + − = + − + = − + + a a a 小球是否代表格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 面心立方：Face-centred cubic(fcc) 小球是否代表格点 k j i a1 a2 a3 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j a k i a j k = + = + = + a a a
简单六角: simple hexagon(sh) 六角密积: Hexagonal close- packed(hp) a(i+√i T1=(0,0,0),以基矢为单位 ,以基矢为单位 小球是否代表格点 小球是否代表格点 45.24L132gche國体物学 邮45.2413 binche体嚼理学 六角密堆积顶视: ABABAB 本讲要点 先在平面内确定基失 即a1和a2,如何确定a? ·晶体周期性结构的数学抽象→晶格(格子,点阵) ·如原子可代表格点 晶体结构=基元+晶格 层某原子指 晶格中的格点的坐标用格失R来表示,其中 (a1,a2,a)表示基失 向第层某原 o。 任何一个格矢都可由另两个格矢的和来表示 a行不行?可看顶视图 ·复的。现在显然不能/错也关12方内的分量即 ·基元 六角密堆积是ABAB重 ·原胞:最小的基元,形状与基矢的取法有关 向A格点 昌胞:保持体宏观对称性的基元 p45.24l32/che 矢可把所有绿黄点表示出来 趣452413 binche体嚼理学 概念要点 思考问题 ·晶格(格子= Bravais格子,点阵空间点阵)基 对同一晶体,原胞的形状是不是唯一的?为什 元代表点的集合 么?晶胞的形状是不是唯一的?为什么? ·基失=构成格失的不共面(线)的基本平移夫量 基元=基本结构重复单元 ·原胞一最小的基元(形状与基夫取法有关 Weigner-Seitz.原胞保持晶格对称性原胞 晶融(单胞)保持晶格宏观对称性(晶系对称性) 的基元 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 简单六角: simple hexagon (sh) i j k a1 a2 a3 c a a k a i j a i j ˆ )ˆ 3 ˆ( 2 )ˆ 3 ˆ( 2 3 2 1 c a a = = + = − 小球是否代表格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 六角密积: Hexagonal close-packed(hcp) c a1 a2 a3 以基矢为单位 以基矢为单位 ), 2 1 , 3 1 , 3 2 ( (0,0,0), ˆ )ˆ 3 ˆ( 2 )ˆ 3 ˆ( 2 2 1 3 2 1 = = = = + = − τ τ a k a i j a i j c a a i 小球是否代表格点 j k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 六角密堆积顶视：ABABAB… • 先在平面内确定基矢， 即a1和a2，如何确定a3？ • 如原子可代表格点 * a3必需从第1层某原子指 向中间层某原子！ * 同时 a3还必需从第2层那 个原子指向第3层某原子 * 而各层二维周期性由a1和 a2定，没有问题 * a3行不行？ 可看顶视图 • 六角密堆积是ABAB重 复的，现在显然不能指 向A格点 绿色表A层，黄色表B层。 B 层和A层二维周期一样，但有 一错位，a3在xy方向的分量即 错位矢量。六角密堆积结构是 ABAB地重复。如原子可代表 格点，那a1,a2,a3整数组合(格 矢)可把所有绿黄点表示出来 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 本讲要点 • 晶体周期性结构的数学抽象Æ晶格(格子，点阵) 晶体结构=基元+晶格 • 晶格中的格点的坐标用格矢R来表示，其中 (a1，a2，a3)表示基矢 R = l1a1 + l2a2 + l3a3 任何一个格矢都可由另两个格矢的和来表示： Rl =Rm+Rn • 基元 * 原胞：最小的基元，形状与基矢的取法有关 * 晶胞：保持晶体宏观对称性的基元 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 概念要点 • 晶格(格子=Bravais格子，点阵=空间点阵)=基 元代表点的集合 • 基矢=构成格矢的不共面(线)的基本平移矢量 • 基元=基本结构重复单元 • 原胞=最小的基元(形状与基矢取法有关) • Weigner-Seitz原胞=保持晶格对称性原胞 • 晶胞(单胞)=保持晶格宏观对称性(晶系对称性) 的基元 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 思考问题 • 对同一晶体，原胞的形状是不是唯一的？为什 么？晶胞的形状是不是唯一的？为什么？
习题 1.请画出上图结构的原胞并给出基失 a)底心立方简立方上下面中心各加一点 b)侧心立方简立方四个侧面中心各加一点 c)棱心立方简立方十二个棱中心各加一点 有没有底心立方格子?侧心立方格 2.试证明,面心立方和体心立方结构的原基 夫之间的夹角相等。并求夹角的数 原胞可以有多中取法,这里指习悯的取法 种p∥45.2413che國体学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 习题 1. 请画出上图结构的原胞并给出基矢 a) 底心立方(简立方上下面中心各加一点) b) 侧心立方(简立方四个侧面中心各加一点) c) 棱心立方(简立方十二个棱中心各加一点) * 附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格 子？棱心立方格子？ 2. 试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基 矢之间的夹角相等。并求夹角的数值 * 原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法
