习题 解答 9→ 1.试画出户3/7的电子遁量子的箭头圆饼串 图,再作户4,你能画出户59的箭头圆饼串 2.产3/7,(-1)7*33,是玻色子 图吗 2.计算户37电于雕通量子的交换性质,是费米 m 子还是玻色子 产4 号一亚 种p∥45.2413che國体学 体理学 习题 侧心立方、棱心立方的原胞? 用标 准步 1.请画出上图结构的原胞并给出基失 a)底心立方简立方上下面中心各加一原子) b)侧心立方简立方四个侧面中心各加一原子) c)梭心立方简立方十二个中心各加一原子) ·原胞含1个3个原子,尝试基矢尽可能取短 a1r(0.0,0.0.L.0)a 2.试证明,面心立方和体心立方结构的原胞基 a严(0.0.0.5.0.5)a 夫之间的夹角相等。并求夹角的数值 可得所有原子位量,但有多余,故不是基矢 因此,原胞为立方,内含3个原子 类似可得棱心立方结构,立方内4个原子 45.24112gche园体制学 解谷:面心立方 1.附加问题的意思是每个原子是不是都可作为 格点,其中 a)原子位量可以当作格点,但属于底心正方格子; 量不能当作格点,属立方格子,原图即晶 (k+i) 量不能当作格点,属立方格子,原胞即晶 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 习题 1. 试画出j=3/7的电子-磁通量子的箭头圆饼串 图，再作 j=4/9。你能画出j=5/9的箭头圆饼串 图吗？ 2. 计算j=3/7电子-磁通量子的交换性质，是费米 子还是玻色子？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 1. 如图 2. j=3/7 ，(-1)7*3+3，是玻色子 j=3/7 j=4/9 j=5/9 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 习题 1. 请画出上图结构的原胞并给出基矢 a) 底心立方(简立方上下面中心各加一原子) b) 侧心立方(简立方四个侧面中心各加一原子) c) 棱心立方(简立方十二个棱中心各加一原子) * 附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格 子？棱心立方格子？ 2. 试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基 矢之间的夹角相等。并求夹角的数值 * 原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 侧心立方、棱心立方的原胞？ • 用标准步骤 * 假定原子是格点，取基矢，看能不能得到所 有格点位置;有没有遗漏？有没有多余？ * 还可借助晶胞内含有整数个原胞原则来判断 • 侧心立方，立方内3个原子 * 原胞含1个或3个原子，尝试基矢尽可能取短 a1=(0.0, 0.0, 1.0)a a2=(0.5, 0.0, 0.5)a a3=(0.0, 0.5, 0.5)a 可得所有原子位置，但有多余，故不是基矢 * 因此，原胞为立方，内含3个原子 • 类似可得棱心立方结构，立方内4个原子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 1. 附加问题的意思是每个原子是不是都可作为 格点，其中： a) 原子位置可以当作格点，但属于底心正方格子； b) 原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶 胞，原胞内3个原子； c) 原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶 胞，原胞内4个原子。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 解答：面心立方 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j a k i a j k = + = + = + a a a k j i a1 a2 a3 2 60 2 1 arcsin 2 0 = = α
解答:体心立方 习题解答 1.用无限深势阱代替周期性边界条件,即在边 界处有无限高势垒,试确定 1)波矢k的取值和k空间状态密度 2)能量空间状态密度 3)零温度时的费米能级和电子气总能 4)电子出现在空间任何一点的几率 PR击 阱边界条件与周 5° 那里?用哪个边界条件更符合实 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 波函数 状态数 ·耻波:尝试解(分高变量·平面波:尝试解(三雄) ·耻波解:k空间,常数 平面波解:k空间,常 后的结杲。y,类同) 每个状态的体积为 敷,每个状态的体积为 1/Ak dr)=Ae △k=(2r) 代入方程后得到 ·鞋波条件时,n只取正整·平面波条件时,n能取 敷,所以只分布在k空间数,所以能分布在些个k 用驻波边界条件,得 用周期性边界条件,得 的算一急限,因此,只空阃因此,整个球亮体 有1/8的球壳体积 =,1=xy三=正整数k=n,=x,y,三n=整数 ·用归一条件得 用归一备件得 所以,E-E+dE的状态傲·所以,E-E+E的状态敷 dN=二-4水 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 状态密度,费米能级,平均能量 出现在空间任一点的几率,平均动量 ·驻波、平面波解,对E(k)关系求导 平面波解 凡率为 几率为 于是 dN= wf=sink, sink,sin 平均动量(y,z类同) 平均动量 ·费米能级 E ·平均能量 http:Ia45].132ichey 是学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 解答：体心立方 i k j a1 a3 a2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j k a i j k a i j k = + + − = + − + = − + + a a a 2 109.5 3 2 arcsin 2 0 = = α http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 习题解答 1. 用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边 界处有无限高势垒，试确定： 1) 波矢k的取值和k空间状态密度 2) 能量空间状态密度 3) 零温度时的费米能级和电子气总能 4) 电子出现在空间任何一点的几率 5) 平均动量 6) 由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周 期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的 解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实 际情况？更合理？为什么？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 波函数 • 驻波：尝试解(分离变量 后的结果。y,z类同) • 代入方程后得到 • 用驻波边界条件，得 • 用归一条件得 • 平面波：尝试解(三维) • 用周期性边界条件，得 • 用归一条件得 ( ) ik x ik x x x x Ae Be− ϕ1 = + A k x k y k z x y z ψ = sin sin sin i = i i = x y z ni = 正整数 L n k , , , ; π L V A 8 8 3 = = ( ) k r r ⋅ = i ψ Ae i = ni i = x y z ni = 整数 L k , , , ; 2π V A 1 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 状态数 • 驻波解：k空间，常数， 每个状态的体积为 • 驻波条件时，n只取正整 数，所以只分布在k空间 的第一象限，因此，只 有1/8的球壳体积 • 所以，E~E+dE的状态数 • 平面波解：k空间，常 数，每个状态的体积为 • 平面波条件时，n能取整 数，所以能分布在整个k 空间因此，整个球壳体 积。(问：一维时如何？) • 所以，E~E+dE的状态数 /V 3 Δk = π k dk 2 4 8 1 π k dk V dN 2 3 4 8 2 1 π π = (2 ) /V 3 1/ Δk Δk = π k dk 2 4π ( ) k dk V dN 2 3 4 2 2 π π = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 状态密度，费米能级，平均能量 • 驻波、平面波解，对E(k)关系求导 • 于是 • 费米能级 • 平均能量 dk m k dE 2 2 2 h = dE E m dk 2 1 2 1 1/ 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h EdE V m dN 3/ 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = π h 0 5 3 EF N U = ( )2/3 2 0 3 2 n m EF π h = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 出现在空间任一点的几率，平均动量 • 驻波解 • 几率为 • 平均动量(y, z类同) • 平面波解 • 几率为 • 平均动量 k x k y k z V x y z sin sin sin 8 ψ = k x k y k z V x y z 2 2 2 2 sin sin sin 8 ψ = ( ) k r r ⋅ = i e V 1 ψ V 2 1 ψ = 0 sin cos 2 0 = = ∂ ∂ = ∫ ∫ L x x x x xdx L n x L n i n L dxdydz i x p π π π ψ ψ h h r k r p h h = ∂ ∂ = ∫ d i ψ ψ
讨论 第11讲、倒格子 此解 行波解 1.为什么倒空间? 驻波解不是动量算符的·平面波解又称行波解,是 2.晶格的 Fourier变换 本征解。因此,尽 管电 动量算 符的本征解电子 子是适动的,但其平均 有确定的动量和速度 3.倒格子 动量为零 平面波解在空间各点出现 4.二錐倒格子 电子在势垒反射下,来 的几率一样,空间分布是 5.重要的例子 加形成鞋波,空间分布·平面波解符合自由电子气 不是常教,有起伏 7.正、倒格子对应关系 体性质 周期性边条件是无限体系 的数学处理,与晶体周期 性无美 换个空间看晶体结构 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 1、为什么倒空间( reciprocal space)? 正坐标空间〈哪倒动量空间 ·一个物理问题,既可以在正(坐标)空间描写 教学:(正)格子 观察:X射线衍射 也可以在侧(动量空间描写 观察;显微忧? 数学:侧格子 坐标表象r,动量表象 适当地选取一个表象,可使问题简化容易处理 正空间的格矢R描写周期性;在动量空间? 这两个空间完全是等价的 只是一个变换 k? 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 2、晶格的 Fourier变换 因为Fr=F(r+R),就有 p(r)=∑P-(-R) F(r+R,)e-i,d 势能、电荷密度等滿足选加原理的物理量 F(r)=∑f(r-R) 作变量瞽换,r=r+R,就有 FK, =F(r') 如果晶体具有平移周期性R1=Rn+Rn ·则是R的周期函数F(r+R)=F(r) F(rldr 可对其作 Fourier展开F(r)=∑F, ·Fk称为 Fourier系数,两边乘共軛因子e FK.(I 后积分 2k°R=1K·R m整数 2 即如有平移周期性,那么就在 Fourier空间存在Kh F.=Fr“ 矢量溝足这个关系要问K究竟是什么? 种们45.2413he园体:学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 讨论 驻波解 • 驻波解不是动量算符的 本征解。因此，尽管电 子是运动的，但其平均 动量为零 • 电子在势垒反射下，来 回往复运动，波函数迭 加形成驻波，空间分布 不是常数，有起伏 行波解 • 平面波解又称行波解，是 动量算符的本征解。电子 有确定的动量和速度 • 平面波解在空间各点出现 的几率一样，空间分布是 常数 • 平面波解符合自由电子气 体性质 • 周期性边条件是无限体系 的数学处理，与晶体周期 性无关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 第11讲、倒格子 1. 为什么倒空间？ 2. 晶格的Fourier变换 3. 倒格子 4. 二维倒格子 5. 重要的例子 6. Brillioun区 7. 正、倒格子对应关系 换个空间看晶体结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 1、为什么倒空间(reciprocal space)？ • 一个物理问题，既可以在正(坐标)空间描写， 也可以在倒(动量)空间描写 * 坐标表象r，动量表象k • 适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理 * 比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但 k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单 • 正空间的格矢(Rl )描写周期性；在动量空间？ • 这两个空间完全是等价的 * 只是一个变换 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 正(坐标)空间 倒(动量)空间 • 数学：(正)格子 • 观察：显微镜? • 观察： X射线衍射 • 数学：倒格子 r r r rr r rr k？ 周期性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 2、晶格的Fourier变换 • 势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 = ∑ ( ) − l V V Rl r r atom ( ) • 可对其作Fourier展开 • FKh称为Fourier系数，两边乘共轭因子 后积分 • 如果晶体具有平移周期性 Rl = Rm + Rn • 则是Rl 的周期函数 F(r R ) F(r) + l = = ∑ ( − ) l l F(r) f r R ∑ • = h i h h F F e K r K (r) ( ) ∑ ∫ ∫ − • − • r = r r K K r K r K F e d V e d V F h h h h i h i ( ) 1 1 ' ' ' = ∑ ( − ) l Rl r r atom ρ( ) ρ r r K r K F e d V F h h −i • ∫ = ( ) 1 − K •r h i e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 因为F(r)= F(r+Rl )，就有 r r K r K F e d V F h h −i • ∫ = ( ) 1 ( ') ' 1 ( ' ) r r K r K R K F e d V F h h l h −i • − • ∫ = • 作变量替换，r’=r+Rl ，就有 • 即 (1− ) = 0 •h l h i F e K R K h h l i i F e d e V K r K R r r − • • ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ ( ') ' 1 ' h l h i F e K R K • = r R r K r F e d V h i l − • ∫ = ( + ) 1 ≠ 0 h FK =1 •h l i e K R Kh • Rl = 2πm, m整数 • 即如有平移周期性，那么就在Fourier空间存在Kh 矢量满足这个关系。要问Kh 究竟是什么？
看格点的 Fourier变换? ·利用 Poisson求和公式,即可得 ∑es,=∑-K) ·数学上加何用一个函数来描写格点? p(r)=∑(r-R,) 即当失量K与R乘积是2丌的整敷倍时,在坐 标空间R处的8函数的 Fourier变换为在动量空 ·对这个函数进行 Fourier变换 间以K为中心的δ画数! p(k)=Jpr-dr=∑ja(r-Rk-dr=∑ 这告诉了我们什么信息,K对应什么? 表示在R的格点,当 格点满足平移周期性则有K满足 满足上述条件时,其 Fourier变换也是8(k-Kb) 函数,表示的是倒空间里的一个点! 后面会知道,这些点就是倒格点,K即倒格矢 那么乘上不变因子A=∑c=∑ek 义了倒格矢,满足上述 K的量纲为R的倒 种p∥45.2413che國体学 45.2413 Piche体理学 3、倒格子( reciprocal lattice 倒格子基矢 ·定义:对 Bravais格子中所有的格失R,有一系 列动量空间失量K,满足 对正格子R=1a1+l2a2+l2a3 K·R1=2m,m为整数 ·如果选择一组b,使ba=2y 的全部端点K的集合,构成该 Bravais格子的 侧格子,这些点称为侧格点,K称为倒格矢 那么夫量K就可由b组成K=hb1+h2b2+h2b ·因此, Bravais格子也称为正格子( direct lattice 它满足上述关系,因此K具有平移特征 →可用基矢和整数表示的平移周期 等价关系:知道K,就知道R;反过来也一样 K定义倒空闻的 Bravais格子,b就是倒格子基矢 它们满足 Fourier变换关系,因此,倒空间也称 Fourier空间 K为倒格矢—K所有的端点即为倒格点 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 倒空间中的 Bravais格子 ·ba=2m表示什么含义?a2xa 是正交关系!即b与a2和a3正交! ·倒格夫 ·看a2和a确定的平面,即a2Xa3 Kh=hb,+,b2+h,b, 夫量垂直于该平面 ·从正交关系,就有b与a2×a3平行,可设 倒格子原胞体积,是正格子原胞体积的倒数 用正交关系,就有 g2=b(b2×b3N=g a1b1=m1·(a2xa3) 2,=)a+ 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 看格点的Fourier变换？ • 数学上如何用一个函数来描写格点？ • δ函数！ = ∑ ( − ) l l R ρ(r) δ r R • 对这个函数进行Fourier变换 ( ) ∫ ∑∫ ( ) ∑ − • − • − • = = − = l l l i i l i e d e d e R k R R k r k r ρ k ρ(r) r δ r R r • 格点满足平移周期性，则有Kh满足 Kh • Rl = 2πm • 那么乘上不变因子 ( ) ∑ ∑ − • − − • = = l h l l l i i e e R k K R R k R ρ k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 这告诉了我们什么信息，Kh对应什么？ • 坐标空间里，δ(r-Rl )函数表示在Rl 的格点，当 满足上述条件时，其Fourier变换也是δ(k-Kh) 函数，表示的是倒空间里的一个点！ • 后面会知道，这些点就是倒格点，Kh即倒格矢 * 或者说前面Kh与Rl 的关系定义了倒格矢，满足上述 条件矢量就是倒格矢ÅÆ格矢 * Kh的量纲为Rl 的倒数 • 利用Poisson求和公式，即可得 ( ) = ∑ = ∑ ( ) − − − • l h h l h i e R K k K R ρ k δ k K • 即当矢量Kh与Rl 乘积是2π的整数倍时，在坐 标空间Rl 处的δ函数的Fourier变换为在动量空 间以Kh为中心的δ函数！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 3、倒格子(reciprocal lattice) =1 •h l i e K R Kh • Rl = 2πm, m为整数 • 因此，Bravais格子也称为正格子(direct lattice) • 等价关系：知道Kh，就知道Rl ；反过来也一样 • 它们满足Fourier变换关系，因此，倒空间也称 Fourier空间 • 定义：对Bravais格子中所有的格矢Rl ，有一系 列动量空间矢量Kh ，满足 的全部端点Kh的集合，构成该Bravais格子的 倒格子，这些点称为倒格点， Kh称为倒格矢 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 倒格子基矢 • 对正格子 1 1 2 2 3 3 R l a l a l a l = + + • 如果选择一组b，使 • 那么矢量K就可由b组成 Kh = h1b1 + h2b2 + h3b3 i j = 2πδ ij b ⋅a • 有 l 1Kh ⋅a1 + l2Kh ⋅a2 + l3Kh ⋅a3 = 2πm • 它满足上述关系，因此Kh具有平移特征 Æ可用基矢和整数表示的平移周期性 Æ Kh定义倒空间的Bravais格子， bi 就是倒格子基矢 • Kh为倒格矢——Kh所有的端点即为倒格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 倒空间中的Bravais格子 • 倒格矢 K 1b1 2b2 3b3 h h h h = + + • 倒格子原胞体积，是正格子原胞体积的倒数 Ω Ω = ⋅ × = 3 1 2 3 * (2 ) ( ) π b b b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 i j = 2πδ ij • b ⋅a 表示什么含义？ • 是正交关系！即b1与a2和a3正交！ • 看a2和a3确定的平面，即a2×a3 矢量垂直于该平面 3 a 2 a 2 3 a ×a • 从正交关系，就有b1与a2×a3平行，可设 ( ) 1 2 3 b =η a ×a • 用正交关系，就有 a1 •b1 =ηa1 • ( ) a2 ×a3 = 2π ( ) Ω = ⋅ × = π π η 2 2 a1 a2 a3 ( ) 1 2 3 2 b a ×a Ω = π ( ) 1 2 3 Ω = a ⋅ a ×a
就可以得到 a,=2x,b×b 4、二维倒格矢 a x a b1 b1·(b2×b3) a1·(a2×=2,b1xb (b2×b3) k 有些教科书也将这个关系作为倒格子基失定 义,即由这三个失量可以定义倒格失,倒格失 给出的端点集合构成倒格子 ·互为倒正,即正格子也可看作倒格子的倒格子 种p∥45.2413che國体学 倒格子:二维 5、重要的例子 ·简单立方站构:se 面心立方结构:fc 体心立方结构:bc 万 b,=2π, 2π/b 2/a 趣452413 binche体嚼理学 简单立方: Simple cubic(s) 体心立方 a1=(-+j+k) ·简立方格子的倒格 体心立方格子的倒a2=2(+-j+k 子仍然是简立方格子a1= 格子是面心立方格子 (i+k) 种的45.24132he园体物学 x1B体m学b,=a(+i+D
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • 有些教科书也将这个关系作为倒格子基矢定 义，即由这三个矢量可以定义倒格矢，倒格矢 给出的端点集合构成倒格子 • 互为倒正，即正格子也可看作倒格子的倒格子 • 就可以得到 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 a a a a a b a a a a a b a a a a a b • × × = • × × = • × × = π π π ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 b b b b b a b b b b b a b b b b b a • × × = • × × = • × × = π π π 4、二维倒格矢 ( ) ˆ ˆ 2 ( ) ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 2 1 k a a k a b k a a a k b ⋅ × × = ⋅ × × = π π a kˆ 3 = 倒格子：二维 1 2 1 2 1 2 2 1 ˆ 2 ˆ 2 a a k a b a a a k b ⋅ × = ⋅ × = π π a b a j a i ˆ ˆ 2 1 b a = = b j b i ˆ 2 ˆ 2 2 1 b a π π = = 2π/a 2π/b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 5、重要的例子 • 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 简单立方：Simple cubic (sc) i k j a1 a2 a3 a k a j a i ˆ ˆ ˆ 3 2 1 a a a = = = b k b j b i ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 3 2 1 a a a π π π = = = • 简立方格子的倒格 子仍然是简立方格子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 体心立方 i k j a1 a3 a2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j k a i j k a i j k = + + − = + − + = − + + a a a ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 b i j b i k b j k = + + = + + = + a a a π π π • 体心立方格子的倒 格子是面心立方格子
面心立方 Reallattice<>Reciprocal lattice ·面心立方格子的倒a2=。(k+i) <> sc 格子是体心立方格子 fcc y bcc bee 少>f b,=4m(i-j+k) 思考:倒格子是否能保持正格子的宏观对称性? j-k) 种p∥45.2413che國体学 6、 Brillioun区—倒空间的原胞 第一 Brilliour区:ID 倒空间中的 Wigner-Seitz原胞 ·为什么引入 Brillioun区 会知道,这样定义的 Brillioun区,它的边界 山满足Bra反射条 45.24112gche园体制学 第一 Brillioun区:2D lst Brillouin zone: 2D 曲 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 面心立方 k j i a1 a2 a3 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j a k i a j k = + = + = + a a a ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 3 2 1 b i j k b i j k b i j k = + − = − + = − + + a a a π π π • 面心立方格子的倒 格子是体心立方格子 Real lattice Reciprocal lattice fcc bcc bcc fcc 思考：倒格子是否能保持正格子的宏观对称性？ sc sc http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 6、 Brillioun区——倒空间的原胞 • 倒空间中的Wigner-Seitz原胞 • 为什么引入Brillioun区？ * 下一讲会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界 面满足Bragg反射条件 * 第3章会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面 有特别意义 第一Brillioun区：1D a b = 2π 第一Brillioun区：2D 1st Brillouin zone: 2D
7、正、倒格子对应关系 Kb=h1b1+h2b2+h3b3与晶面(h1h2h3)正交 ·不同空间描写晶体的对称性 面指数(h1h2h3),意即最靠近原点晶面的截距分 别为a1/h1,a2/h2,ay/h3 r空间 k空间 CA=OA -oCA-B, Bri格子人 倒格子 CB=0B-0C=A h K,CA=(b,+h, b;+h,b,)- wS原胞 Brilliuon区 AK。CB={b+hb2+b 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 倒格矢的长度与面间距 倒格子与 Bravais格子的几何关系 设晶面h12h)的面间距为d ·倒格子与晶面的关系 则最靠近原点的晶面到原点的距离即OA在面 自原点O引晶面族法线N,截取P使OP=2nrld 方向上的投影 ·P点即倒格点,沿N平移OP,形成格子,即倒 a.(h, b, +h, b,+h 格子 ·昌面←倒格点 内b+h2b2+hb B 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 等价的周期性 正、倒对应关系ba,=2n6g=2x) 如果K是侧格矢,那么物理量的 Fourier级数 互为正格子、倒格子 在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性 b. xb a,·(a,xa =∑F,c=F(r) a2≈.b. =2r-a1×9 b1·(b2×b3) ·倒格夫与晶面(山1h2,h3)正交,不是 Miller指 数! K,=h,b,th,b2+h,b 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 7、正、倒格子对应关系 • 不同空间描写晶体的对称性 r空间 k空间 Bravais格子 W-S原胞 倒格子 Brilliuon区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 Kh=h1b1+h2b2+h3b3与晶面(h1h2h3)正交 • 面指数(h1h2h3)，意即最靠近原点晶面的截距分 别为a1/h1, a2/h2, a3/h3 O C A B Kh 3 3 1 1 h h a a CA = OA −OC = − 3 3 2 2 h h a a CB = OB −OC = − ( ) 0 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = + + ⋅ − h h h h h h a a K CA b b b ( ) 0 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = + + ⋅ − h h h h h h a a K CB b b b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 倒格矢的长度与面间距 • 设晶面(h1h2h3)的面间距为d • 则最靠近原点的晶面到原点的距离即OA在面 方向上的投影 O C A B Kh h h h d K a K = ⋅ 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 b b b a b b b h h h h h h h + + ⋅ + + = Kh 2π = h h d 2π K = h h h d K nˆ 2π = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 倒格子与Bravais格子的几何关系 • 倒格子与晶面的关系 • 自原点O引晶面族法线N，截取P使 OP = 2π / d O a3 a1 a2 N P • P点即倒格点，沿N平移OP，形成格子，即倒 格子 * 晶面ÅÆ倒格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数 在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性 ∑ • + + = h i l h l h F F e ( ) ( ) K r R R K r (r) K r FK e F h i h h = ∑ = • http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 正、倒对应关系 • 互为正格子、倒格子 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 a a a a a b a a a a a b a a a a a b • × × = • × × = • × × = π π π ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 b b b b b a b b b b b a b b b b b a • × × = • × × = • × × = π π π • 倒格矢与晶面(h1,h2,h3)正交，不是Miller指 数！？ Kh = h1b1 + h2b2 + h3b3 i j πδ ij b ⋅a = 2 Ω Ω = 3 * (2π )
本讲要点 概念要点 ·倒格子的意义 ·倒格子 倒格子 Brillioun区 倒格子基矢 Brillioun区(倒空间原胞)少 正格于和倒格子之间的关系 互为正、倒 与昌画正交 几何关系:倒格点←昌画 种p∥45.2413che國体学 体理学 思考问题 习题 1.倒格子是否保持其正格子的宏观对称性? 1.2.2 2.试确定二维蜂窝结构的倒格子基失,并作它 的第一布里渊 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学
8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 本讲要点 • 倒格子的意义 • 倒格子 * 倒格子基矢 * 倒格矢 * Brillioun区(倒空间原胞)Æ • 正格子和倒格子之间的关系 * 互为正、倒 * 与晶面正交 * 几何关系：倒格点ÅÆ晶面Æ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 概念要点 • 倒格子 • Brillioun区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 45 思考问题 1. 倒格子是否保持其正格子的宏观对称性？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 46 习题 1. 2.2 2. 试确定二维蜂窝结构的倒格子基矢，并作它 的第一布里渊区
