复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第11讲倒格子.pdf_大学文库

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 习题 1. 试画出j=3/7的电子-磁通量子的箭头圆饼串图，再作 j=4/9。你能画出j=5/9的箭头圆饼串图吗？ 2. 计算j=3/7电子-磁通量子的交换性质，是费米子还是玻色子？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 1. 如图 2. j=3/7 ，(-1)7*3+3，是玻色子 j=3/7 j=4/9 j=5/9 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 习题 1. 请画出上图结构的原胞并给出基矢 a) 底心立方(简立方上下面中心各加一原子) b) 侧心立方(简立方四个侧面中心各加一原子) c) 棱心立方(简立方十二个棱中心各加一原子) * 附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格子？棱心立方格子？ 2. 试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基矢之间的夹角相等。并求夹角的数值 * 原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 侧心立方、棱心立方的原胞？ • 用标准步骤 * 假定原子是格点，取基矢，看能不能得到所有格点位置;有没有遗漏？有没有多余？ * 还可借助晶胞内含有整数个原胞原则来判断 • 侧心立方，立方内3个原子 * 原胞含1个或3个原子，尝试基矢尽可能取短 a1=(0.0, 0.0, 1.0)a a2=(0.5, 0.0, 0.5)a a3=(0.0, 0.5, 0.5)a 可得所有原子位置，但有多余，故不是基矢 * 因此，原胞为立方，内含3个原子 • 类似可得棱心立方结构，立方内4个原子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 1. 附加问题的意思是每个原子是不是都可作为格点，其中： a) 原子位置可以当作格点，但属于底心正方格子； b) 原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶胞，原胞内3个原子； c) 原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶胞，原胞内4个原子。 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 解答：面心立方 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j a k i a j k = + = + = + a a a k j i a1 a2 a3 2 60 2 1 arcsin 2 0 = = α

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 解答：体心立方 i k j a1 a3 a2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 2 3 2 1 a i j k a i j k a i j k = + + − = + − + = − + + a a a 2 109.5 3 2 arcsin 2 0 = = α http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 习题解答 1. 用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定： 1) 波矢k的取值和k空间状态密度 2) 能量空间状态密度 3) 零温度时的费米能级和电子气总能 4) 电子出现在空间任何一点的几率 5) 平均动量 6) 由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 波函数 • 驻波：尝试解(分离变量后的结果。y,z类同) • 代入方程后得到 • 用驻波边界条件，得 • 用归一条件得 • 平面波：尝试解(三维) • 用周期性边界条件，得 • 用归一条件得 ( ) ik x ik x x x x Ae Be− ϕ1 = + A k x k y k z x y z ψ = sin sin sin i = i i = x y z ni = 正整数 L n k , , , ; π L V A 8 8 3 = = ( ) k r r ⋅ = i ψ Ae i = ni i = x y z ni = 整数 L k , , , ; 2π V A 1 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 状态数 • 驻波解：k空间，常数，每个状态的体积为 • 驻波条件时，n只取正整数，所以只分布在k空间的第一象限，因此，只有1/8的球壳体积 • 所以，E~E+dE的状态数 • 平面波解：k空间，常数，每个状态的体积为 • 平面波条件时，n能取整数，所以能分布在整个k 空间因此，整个球壳体积。(问：一维时如何？) • 所以，E~E+dE的状态数 /V 3 Δk = π k dk 2 4 8 1 π k dk V dN 2 3 4 8 2 1 π π = (2 ) /V 3 1/ Δk Δk = π k dk 2 4π ( ) k dk V dN 2 3 4 2 2 π π = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 状态密度，费米能级，平均能量 • 驻波、平面波解，对E(k)关系求导 • 于是 • 费米能级 • 平均能量 dk m k dE 2 2 2 h = dE E m dk 2 1 2 1 1/ 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h EdE V m dN 3/ 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = π h 0 5 3 EF N U = ( )2/3 2 0 3 2 n m EF π h = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 出现在空间任一点的几率，平均动量 • 驻波解 • 几率为 • 平均动量(y, z类同) • 平面波解 • 几率为 • 平均动量 k x k y k z V x y z sin sin sin 8 ψ = k x k y k z V x y z 2 2 2 2 sin sin sin 8 ψ = ( ) k r r ⋅ = i e V 1 ψ V 2 1 ψ = 0 sin cos 2 0 = = ∂ ∂ = ∫ ∫ L x x x x xdx L n x L n i n L dxdydz i x p π π π ψ ψ h h r k r p h h = ∂ ∂ = ∫ d i ψ ψ

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 讨论驻波解 • 驻波解不是动量算符的本征解。因此，尽管电子是运动的，但其平均动量为零 • 电子在势垒反射下，来回往复运动，波函数迭加形成驻波，空间分布不是常数，有起伏行波解 • 平面波解又称行波解，是动量算符的本征解。电子有确定的动量和速度 • 平面波解在空间各点出现的几率一样，空间分布是常数 • 平面波解符合自由电子气体性质 • 周期性边条件是无限体系的数学处理，与晶体周期性无关 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 第11讲、倒格子 1. 为什么倒空间？ 2. 晶格的Fourier变换 3. 倒格子 4. 二维倒格子 5. 重要的例子 6. Brillioun区 7. 正、倒格子对应关系换个空间看晶体结构 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 1、为什么倒空间(reciprocal space)？ • 一个物理问题，既可以在正(坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写 * 坐标表象r，动量表象k • 适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理 * 比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但 k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单 • 正空间的格矢(Rl )描写周期性；在动量空间？ • 这两个空间完全是等价的 * 只是一个变换 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 正(坐标)空间倒(动量)空间 • 数学：(正)格子 • 观察：显微镜? • 观察： X射线衍射 • 数学：倒格子 r r r rr r rr k？周期性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 2、晶格的Fourier变换 • 势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 = ∑ ( ) − l V V Rl r r atom ( ) • 可对其作Fourier展开 • FKh称为Fourier系数，两边乘共轭因子后积分 • 如果晶体具有平移周期性 Rl = Rm + Rn • 则是Rl 的周期函数 F(r R ) F(r) + l = = ∑ ( − ) l l F(r) f r R ∑ • = h i h h F F e K r K (r) ( ) ∑ ∫ ∫ − • − • r = r r K K r K r K F e d V e d V F h h h h i h i ( ) 1 1 ' ' ' = ∑ ( − ) l Rl r r atom ρ( ) ρ r r K r K F e d V F h h −i • ∫ = ( ) 1 − K •r h i e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 • 因为F(r)= F(r+Rl )，就有 r r K r K F e d V F h h −i • ∫ = ( ) 1 ( ') ' 1 ( ' ) r r K r K R K F e d V F h h l h −i • − • ∫ = • 作变量替换，r’=r+Rl ，就有 • 即 (1− ) = 0 •h l h i F e K R K h h l i i F e d e V K r K R r r − • • ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ ( ') ' 1 ' h l h i F e K R K • = r R r K r F e d V h i l − • ∫ = ( + ) 1 ≠ 0 h FK =1 •h l i e K R Kh • Rl = 2πm, m整数 • 即如有平移周期性，那么就在Fourier空间存在Kh 矢量满足这个关系。要问Kh 究竟是什么？

4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 看格点的Fourier变换？ • 数学上如何用一个函数来描写格点？ • δ函数！ = ∑ ( − ) l l R ρ(r) δ r R • 对这个函数进行Fourier变换 ( ) ∫ ∑∫ ( ) ∑ − • − • − • = = − = l l l i i l i e d e d e R k R R k r k r ρ k ρ(r) r δ r R r • 格点满足平移周期性，则有Kh满足 Kh • Rl = 2πm • 那么乘上不变因子 ( ) ∑ ∑ − • − − • = = l h l l l i i e e R k K R R k R ρ k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 这告诉了我们什么信息，Kh对应什么？ • 坐标空间里，δ(r-Rl )函数表示在Rl 的格点，当满足上述条件时，其Fourier变换也是δ(k-Kh) 函数，表示的是倒空间里的一个点！ • 后面会知道，这些点就是倒格点，Kh即倒格矢 * 或者说前面Kh与Rl 的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢ÅÆ格矢 * Kh的量纲为Rl 的倒数 • 利用Poisson求和公式，即可得 ( ) = ∑ = ∑ ( ) − − − • l h h l h i e R K k K R ρ k δ k K • 即当矢量Kh与Rl 乘积是2π的整数倍时，在坐标空间Rl 处的δ函数的Fourier变换为在动量空间以Kh为中心的δ函数！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 3、倒格子(reciprocal lattice) =1 •h l i e K R Kh • Rl = 2πm, m为整数 • 因此，Bravais格子也称为正格子(direct lattice) • 等价关系：知道Kh，就知道Rl ；反过来也一样 • 它们满足Fourier变换关系，因此，倒空间也称 Fourier空间 • 定义：对Bravais格子中所有的格矢Rl ，有一系列动量空间矢量Kh ，满足的全部端点Kh的集合，构成该Bravais格子的倒格子，这些点称为倒格点， Kh称为倒格矢 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 倒格子基矢 • 对正格子 1 1 2 2 3 3 R l a l a l a l = + + • 如果选择一组b，使 • 那么矢量K就可由b组成 Kh = h1b1 + h2b2 + h3b3 i j = 2πδ ij b ⋅a • 有 l 1Kh ⋅a1 + l2Kh ⋅a2 + l3Kh ⋅a3 = 2πm • 它满足上述关系，因此Kh具有平移特征 Æ可用基矢和整数表示的平移周期性 Æ Kh定义倒空间的Bravais格子， bi 就是倒格子基矢 • Kh为倒格矢——Kh所有的端点即为倒格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 倒空间中的Bravais格子 • 倒格矢 K 1b1 2b2 3b3 h h h h = + + • 倒格子原胞体积，是正格子原胞体积的倒数 Ω Ω = ⋅ × = 3 1 2 3 * (2 ) ( ) π b b b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 i j = 2πδ ij • b ⋅a 表示什么含义？ • 是正交关系！即b1与a2和a3正交！ • 看a2和a3确定的平面，即a2×a3 矢量垂直于该平面 3 a 2 a 2 3 a ×a • 从正交关系，就有b1与a2×a3平行，可设 ( ) 1 2 3 b =η a ×a • 用正交关系，就有 a1 •b1 =ηa1 • ( ) a2 ×a3 = 2π ( ) Ω = ⋅ × = π π η 2 2 a1 a2 a3 ( ) 1 2 3 2 b a ×a Ω = π ( ) 1 2 3 Ω = a ⋅ a ×a

7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 7、正、倒格子对应关系 • 不同空间描写晶体的对称性 r空间 k空间 Bravais格子 W-S原胞倒格子 Brilliuon区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 Kh=h1b1+h2b2+h3b3与晶面(h1h2h3)正交 • 面指数(h1h2h3)，意即最靠近原点晶面的截距分别为a1/h1, a2/h2, a3/h3 O C A B Kh 3 3 1 1 h h a a CA = OA −OC = − 3 3 2 2 h h a a CB = OB −OC = − ( ) 0 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = + + ⋅ − h h h h h h a a K CA b b b ( ) 0 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = + + ⋅ − h h h h h h a a K CB b b b http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 倒格矢的长度与面间距 • 设晶面(h1h2h3)的面间距为d • 则最靠近原点的晶面到原点的距离即OA在面方向上的投影 O C A B Kh h h h d K a K = ⋅ 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 b b b a b b b h h h h h h h + + ⋅ + + = Kh 2π = h h d 2π K = h h h d K nˆ 2π = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 倒格子与Bravais格子的几何关系 • 倒格子与晶面的关系 • 自原点O引晶面族法线N，截取P使 OP = 2π / d O a3 a1 a2 N P • P点即倒格点，沿N平移OP，形成格子，即倒格子 * 晶面ÅÆ倒格点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性 ∑ • + + = h i l h l h F F e ( ) ( ) K r R R K r (r) K r FK e F h i h h = ∑ = • http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 正、倒对应关系 • 互为正格子、倒格子 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 a a a a a b a a a a a b a a a a a b • × × = • × × = • × × = π π π ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 b b b b b a b b b b b a b b b b b a • × × = • × × = • × × = π π π • 倒格矢与晶面(h1,h2,h3)正交，不是Miller指数！？ Kh = h1b1 + h2b2 + h3b3 i j πδ ij b ⋅a = 2 Ω Ω = 3 * (2π )

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第11讲 倒格子

复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第11讲倒格子