第2讲、金属自由电子气的 Drude模型 1、模型的建立—基本假定及其合理性 1.模型的建立—基本假定及其合理性 ·为什么研究国体从金属开始 2.金属电导率 最基本物质状态之 期表中有3属于金 3.电子气的热传导 4. Wiedemann- franz定律 #比如,电导、热导、光泽、延展等性能很早开始 广泛应用 5.Drud模型的局限 ·区分非金属,实际上也是从理解金属开始 6.国体的微观描写 当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质 专题1:代替引论。完整的模型建立过程 ·这些性质很多已经育应用,亟需知道其之所以有这 何根据已知的物理现象,可供使用的物理理 些性质的原因 和敷学工具,建立模型、对比实验 修正模型—过程比结论更重要 中424132 inche 学 即∥45.24l32che 体理学 金属知多少? 273K373K 从这些现象得到的对金属的认识 ·好的导电体、导热山|an1|1210324 少良好导电体、导热体? A237214230219 组成金属的原子大多位于周期表左边 与温度有关 Fe|080261073288 #金属原子容易失去价电子 延展性、可塑性 金属电导和热传导可能是价电子起作用? 金属光泽? Cu3.52.203.82229 ·→延展性、可塑性? Wiedemann-Franzt Ag.182.314..38 ·与组成金属的原子之闻的相互结合的方式有关 律(1853) Pb0.382640.352.53 #合没有方向性,区别于共价健,金属键(?) 当时热传导在应用上比[B093s|0s35 金属健—形隶地说,价电子形成负电背 景,正电荷镶嵌其中,库仑作用的结合 电导更重要,但测量很 #金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?)→ 十配位教—形象地说,就是厚子周国最拿近 该原子的原子的个(晶体结构中将涉及 h即的45.24.132 inche 是学 体理学 金属中电子行为的推测 当时可供使用的物理工具? 金属特点 1897年 Thomson的电子论 价电子可以活动的区域较力 一个转折点 比如,L原子间距3A,而原子半径0.5A(?) →原子核小分布很稀 ° Paul Karl Ludwig Drude(18631906)意识到 金属的导电(热)性质可能与电子有关 →因此,价电子活动空间大 电子:東缚?自由? 分析小推测→图象(要能够自圆其说? #电子对导热有贡献有何根据 芯电子行为:束集在原子周感形成离子实,不参 1900年物理学的状况? 量子力学还处于萌芽状态 只有经典物理,连原子结构的正确理论尚未立 #但当时,理想气体的运动学理论已经非常成功 p: 10.45.24.132/-igcher 是学 h趣的良45.24I32che 体理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第2讲、金属自由电子气的Drude模型 1. 模型的建立——基本假定及其合理性 2. 金属电导率 3. 电子气的热传导 4. Wiedemann-Franz定律 5. Drude模型的局限 6. 固体的微观描写 专题1：代替引论。完整的模型建立过程——如 何根据已知的物理现象，可供使用的物理理 论和数学工具，建立模型、对比实验、验证 并修正模型——过程比结论更重要 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、模型的建立——基本假定及其合理性 • 为什么研究固体从金属开始？ * 最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3属于金 属，应用很广泛，当时对金属的了解比其他固体多 # 比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始 就被广泛应用 * 区分非金属，实际上也是从理解金属开始 • 当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质 * 这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这 些性质的原因 Æ那么，当时对金属所知有多少？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 金属知多少？ • 良好的导电体、导热 体 * 与温度有关 • 延展性、可塑性 * 金属光泽？ • Wiedemann-Franz定 律（1853） * 当时热传导在应用上比 电导更重要，但测量很 困难 = LT σ κ ΩK-2 L:10 κ:W cm-1 K-1 -8W Bi 0.09 3.53 0.08 3.35 Pb 0.38 2.64 0.35 2.53 Ag 4.18 2.31 4.17 2.38 Cu 3.85 2.20 3.82 2.29 Fe 0.80 2.61 0.73 2.88 Al 2.37 2.14 2.30 2.19 Li 0.71 2.22 0.73 2.43 κ L κ L 273 K 373 K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 从这些现象得到的对金属的认识 • Æ良好导电体、导热体？ * 组成金属的原子大多位于周期表左边 Æ # 金属原子容易失去价电子Æ # 金属电导和热传导可能是价电子起作用？ • Æ延展性、可塑性？ * 与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关Æ # 结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?)Æ † 金属键——形象地说，价电子形成负电背 景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合 # 金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?)Æ † 配位数——形象地说，就是原子周围最靠近 该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及） http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 金属中电子行为的推测 • 金属特点 * 价电子可以活动的区域较大 Æ比如，Li原子间距3A，而原子半径0.5A（？） Æ原子核小分布很稀 Æ因此，价电子活动空间大 † 价电子：束缚？自由？ • 分析Æ推测Æ图象（要能够自圆其说？） * 芯电子行为：束缚在原子核周围形成离子实，不参 与导电 * 价电子行为：核对它们的吸引力弱，可以离开核的 束缚，可以自由地在整个金属中移动，这部分电子 参与导电 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 当时可供使用的物理工具？ • 1897年Thomsom的电子论 * 一个转折点 * Paul Karl Ludwig Drude（1863——1906）意识到 金属的导电（热）性质可能与电子有关 * 当然也可以质疑这种猜测 # 电子对导热有贡献有何根据？ • 1900年物理学的状况？ * 量子力学还处于萌芽状态 * 只有经典物理，连原子结构的正确理论尚未建立 # 但当时，理想气体的运动学理论已经非常成功！
如何建立模型? 价电子运动图像 Drud的经典金属自由电子气模型(1900) 國导电子□芯区□原子核 在微观层次上解释实验量的第一个理论模型 首先用于解释电导、热传导问题 那么如何根据已知的金属性质,构造模型? 在这个屡次上,根据上一讲有三点需考虑 经典还是量子? 无可选择!当时只有经典可供使用 2.如何描写体系粒子间相互作用? 价电子之间? 如何处理102/m3个粒子? 价电子与离子实之间作用?也几乎无可选择 Na1s22p53s:价电子敷量少,空间大 中424132 inche 学 即∥45.24l32che 体理学 思考假如你是 Drude 金属中价电子势(与原子核相互作用) 根据已有线索,如何仿照理想气体建立模型? 既然搞不 或者彻底简 有库仑相互作用?那么 化;或者归 电子电子如何相互作用? 到另一个也 电子原子教如何相互作用? 仍然不清楚 还没有完—模型将用来研究电导和热导 适过程,非平衡过程,所以 挪!物理中 还需规定体系将通过什么方式建立热平衡? 金属中价电子真实势常用手段Drud模型便定的金属 #即,在没有电场(温度 兽度)时、在有电场(温 场的一维示意图:起 中价电子的势场示意 伏的部分是价电子所 图—常数!? #按理想气体做? 受的有微势 因为真实的还不清楚! 是学 h即的45.24132che 体理学 讨论(看能不能自圆其说) 模型的三个基本假定 芯电子被原子核紧紧束鳟,形成高子实,本声 ·独立电子近似:电子与电子无相互作用 園定,不参与导电 ·很的近似,但多体问题现在也还无解决之道 价电子脱高原子核的束缚而在固体中自由适动 离子实对价电子的作用可忽略不计 ·自由电子近似:除碰撞的瞬间外电子与高子无 高子实的作用仅维持园体结合,维持电中性 相互作用 高子实在个空间平均分布,包括核电荷 即使以现代量子的观点来看也是 金属中的价电子就象无相互作用的理想气体 #1916年的 Tolman实验支持这个假定 但模型与理想气体又有所不同 #其深刻的物理原因就是电子在周期结构中运动→ 电子气体的浓度比典型的理想气体大三个量级 ·弛豫时间近似:一给定电子在单位时间内受一 次碰拉的几率为1/r 有两种粒子:电子,高子 →加些限制(基本假定),完成 Drude模型构造 ·不可能完全自由电导率无穷大,无法取得热平衡 对照上面所说的周期性结构中运动电子 是学 h趣的良45.24I32che
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 如何建立模型？ • Drude的经典金属自由电子气模型（1900） * 在微观层次上解释实验测量的第一个理论模型 * 首先用于解释电导、热传导问题 • 那么如何根据已知的金属性质，构造模型？ • 在这个层次上，根据上一讲有三点需考虑： 1. 经典还是量子？ * 无可选择！当时只有经典可供使用 2. 如何描写体系粒子间相互作用？ * 价电子之间？ 3. 如何处理1029/m3个粒子？ * 价电子与离子实之间作用？也几乎无可选择！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 价电子运动图像 传导电子 芯区 原子核 Na 1s22s22p6 3s1：价电子数量少，空间大 考虑金属中价电子的行为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 思考——假如你是Drude • 根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？ * 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的 瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子 • 有库仑相互作用？那么 * 电子-电子如何相互作用？ * 电子-原子核如何相互作用？ • 还没有完——模型将用来研究电导和热导，输 运过程，非平衡过程，所以 * 还需规定体系将通过什么方式建立热平衡？ # 即，在没有电场（温度梯度）时、在有电场（温 度梯度）时，电子如何达到热平衡？ # 按理想气体做？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 金属中价电子势(与原子核相互作用) 金属中价电子真实势 场的一维示意图：起 伏的部分是价电子所 遭受的有效势 Drude模型假定的金属 中价电子的势场示意 图——常数！？ 因为真实的还不清楚！ 既然搞不 清？那么， 或者彻底简 化；或者归 到另一个也 仍然不清楚 的作用中 去——腾 挪！物理中 常用手段 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 讨论（看能不能自圆其说) • 芯电子被原子核紧紧束缚，形成离子实，本声 固定，不参与导电 • 价电子脱离原子核的束缚而在固体中自由运动 • 离子实对价电子的作用可忽略不计 * 离子实的作用仅维持固体结合，维持电中性 * 离子实在整个空间平均分布，包括核电荷 • 金属中的价电子就象无相互作用的理想气体 • 但模型与理想气体又有所不同： * 电子气体的浓度比典型的理想气体大三个量级 * 有两种粒子：电子，离子 Æ加些限制(基本假定)，完成Drude模型构造 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 模型的三个基本假定 • 独立电子近似：电子与电子无相互作用 * 很糟糕的近似，但多体问题现在也还无解决之道 * 与其他相比，多数情况下最不重要Æ • 自由电子近似：除碰撞的瞬间外电子与离子无 相互作用 * 即使以现代量子的观点来看也是很好的近似。 # 1916年的Tolman实验支持这个假定； # 其深刻的物理原因就是电子在周期结构中运动Æ • 弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一 次碰撞的几率为1/τ * 不可能完全自由Æ电导率无穷大，无法取得热平衡 # 对照上面所说的周期性结构中运动电子
建立热平衡的方式与离子实的碰撞 2、金属电导率 ·碰撞前后遠度无关联 电子各个适动方向等价,互相 以前的速度没有记忆 体流动,无电流。当有电场存在 ·碰撞后获得速度的方向随机; 合理的假定 ·这个力使电子有了一个与电场相反方向的总体 漂移,速度v,显示出电流,其电流密度 遠率与碰撞处的温度相适应 思考:电子的漂移速度 与电子内在速度比较 但是没有关系,因为方向随机,平均没有页献 ·n是电子密度。根据牛顿定律,电子将被加 速,飘移速度会随时间不断增加,趋于无穷 需要检查电子适动方程中被散射的机制! 中424132 inche 学 即∥45.24l32che 体理学 散射图象 估计(由实验电导率) 弛豫时间近似:一给定的电子在单位时间经历 ·在无法知道碰撞的细节时,r是最重要的 一次碰拉的几率为1r 电导可测,如果取n102-102cm3 ·弛机制:电子漂移速度从零开始增加 豫时间大约在1014-101秒,低 与离子相碰撞,漂移速度即为零),在下 ·可估计平均自由程:Fvr 弛豫时间里,在电场作用下,电子的漂移速度 再从零开始增加。 可由能均分定理得到,宣温时,-107cm/s 思考:碰撞后平均漂移速度为零,合理吗? 数量级的差别!思考:际应该大还是小,比为什 碰撞后在电场力作用下加速,到下一次碰 于是,L10A,基本与原子距高的量级相当 撞前(时间τ)可以获得的遠度即漂移遠度 ·似乎很合理,与 Drude假定自治 -eE=mai()/r 但实际电子平均自由程要大10倍 在极低温更大,cm,几乎是10倍的原子间隔≯ j=dE #有深刻的物理原因 h即的45.24.132 inche 是学 h趣45.24132/che 体理学 评论。2 3、电子气的热传导 ·这里碰检或者说被高子散射是电阻的根源,无 ·热流密庋与热导系数的关系 -AVT 碰推,弛豫时间无穷大,电导率无穷大 ·观察这个公式,除了弛豫时间外,其他都是已 直觉:导体好于绝缘体→电子导热 知的。有一待定系数τ,因此总可以与实验符 合,从而直接与实验比较就没有意义,除非这 雏情况(热流是能量的輪运) 个系数独立,即对所有材料都相同 子在高温处以及在 已经知道,电导率与温度有关。但这个关系可 以说已经包含,也可以说没有包含,因为有待 定参敷,τ与湿度有关 米一米 次碰擅,到达 温、低温处各贡献一半 · Drude模型成功在 Wiedemann-Fran定律 一中+m() 是学 同速度,与无关?l=r
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 建立热平衡的方式——与离子实的碰撞 • 碰撞前后速度无关联； * 对以前的速度没有记忆 # 合理吗？ • 碰撞后获得速度的方向随机； * 合理的假定 • 速率与碰撞处的温度相适应 * 很含糊？ * 但是没有关系，因为方向随机，平均没有贡献 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 2、金属电导率 F = −eE • n是电子密度。根据牛顿定律，电子将被加 速，飘移速度会随时间不断增加，趋于无穷 • 没有外电场时，电子各个运动方向等价，互相 抵消，没有整体流动，无电流。当有电场存在 时，电子受力 • 这个力使电子有了一个与电场相反方向的总体 漂移，速度v漂移，显示出电流，其电流密度 j = −nev漂移 思考：电子的漂移速度 与电子内在速度比较？ • 需要检查电子运动方程中被散射的机制！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 散射图象 • 弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间经历 一次碰撞的几率为1/τ • 弛豫机制：电子漂移速度从零开始增加（一旦 与离子相碰撞，漂移速度即为零），在下一个 弛豫时间里，在电场作用下，电子的漂移速度 再从零开始增加。 * 思考：碰撞后平均漂移速度为零，合理吗？ • 电子碰撞后在电场力作用下加速，到下一次碰 撞前（时间τ）可以获得的速度即漂移速度 m ne τ σ 2 − eE = mv漂移 ( )t /τ = j = σE j = −nev漂移 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 估计(由实验电导率) • 在无法知道碰撞的细节时，τ是最重要的 * 电导可测，如果取n~1022-1023cm-3，在室温下，弛 豫时间大约在10-14~10-15秒，低温时大一个量级 • 可估计平均自由程：l=vτ • v可由能均分定理得到，室温时，~107cm/s * 数量级的差别！思考：实际应该大还是小，比为什 么？ • 于是，l~ 10A，基本与原子距离的量级相当 * 似乎很合理，与Drude假定自洽 * 但实际电子平均自由程要大103倍 * 在极低温更大，l~cm，几乎是108倍的原子间隔Æ # 有深刻的物理原因 m ne τ σ 2 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 评论 • 这里碰撞或者说被离子散射是电阻的根源，无 碰撞，弛豫时间无穷大，电导率无穷大 • 观察这个公式，除了弛豫时间外，其他都是已 知的。有一待定系数τ，因此总可以与实验符 合，从而直接与实验比较就没有意义，除非这 个系数独立，即对所有材料都相同！ • 已经知道，电导率与温度有关。但这个关系可 以说已经包含，也可以说没有包含，因为有待 定参数， τ与温度有关 • Drude模型成功在Wiedemann—Franz定律 Æ先看热传导系数 m ne τ σ 2 = 18 3、电子气的热传导 j T q = −κ∇ • 直觉：导体好于绝缘体Æ电子导热 j nv{ } ε[ ] T( ) x vτ ε[ ] T( ) x vτ q = − − + 2 1 • 热流密度与热导系数的关系 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − dx dT dT d nv ε τ 2 • 一维情况（热流是能量的输运） 高温 低温 电子在高温处以及在低温 处经最后一次碰撞，到达x 处，携带能量不同，导致 热流。x处的密度n，高 温、低温处各贡献一半， 1/2n 同一速度，与T无关？ l = vτ
能量均分定理经典的MB分布 评论 ·利用能量均分定理和定容比热的定义 金属电子对比热的贡献完全失败! de I(dE 比热与湿度无关!被严重高估 ¨菲电,龠季蠡,所以比 ·比较前式,可得 进个唱子晓时是际 也就是說,电子实际上没有那么大的热容量 ·根据电子平均能量,即可得 或说,好象只有很小部分电子对比热有贡献 思考:为何如此 ·思考:电子热传导会不会导致电子定向流动 形成电流? hip: 10.45.24.132/igcley 学 即∥45.24l32che 体理学 4、 Wiedemann-Fran定律(1853) 评论 T=LT Drude取 L=111108w/k2,是实验值的约一半 Drude当时在推导电导率时出错,电导率小了 半,所以得到L大了一倍 L=22210W/k2,与实验值相符 ·假定热导和电导的弛獐时间相同,L为 Lorentz Drude模型最成功之处是解释 Wiedeman 数,与实验值同敷量级 Franz定律,与很多更精致、更复杂的理论得 出的值相差不多 ·稍微精确点的理论可以得到,只差一个常系数 h即的45.24.132 inche 是学 h趣45.24132/che 体理学 5、 Drude模型的局限性 电子对比热的贡献与温度无关,过大(102) 电子遠度,p2,太小(102) 研究方法特点? 什么决定传导电子的数目?价电子 磁化率与温度成反比?实际无关 导体?绝繚体?半导 抓住要点,简化问 p: 10.45.24.132/-igcher 是学 h趣的良45.24I32che 体理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 能量均分定理←经典的M-B分布 • 利用能量均分定理和定容比热的定义 2 2 2 2 3 1 v v v v === c v c vl V V 3 1 3 1 2 κ = τ = Vc dT dE dT V d V N dT d n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ε ε 1 • 比较前式，可得 • 根据电子平均能量，即可得 B 2 3 c nk kBT V = 2 3 ε = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 评论 • 金属电子对比热的贡献完全失败！ • 比热与温度无关！被严重高估 * 实际上，室温时，金属与绝缘体几乎一样，所以比 热并非电子贡献，而是原子振动的贡献 * 即使低温时，电子对比热贡献显著可以和原子振动 比拟时，每个电子贡献3kB/2，也还是高估两个量级 • 也就是说，电子实际上没有那么大的热容量！ * 或说，好象只有很小一部分电子对比热有贡献！ * 思考：为何如此？ • 思考：电子热传导会不会导致电子定向流动， 形成电流？ V B c nk 2 3 = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 4、Wiedemann-Franz定律(1853) • Drude取 T LT e kB ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 3 σ κ mv k T c nk B V B 2 3 2 1 2 3 2 = = • 假定热导和电导的弛豫时间相同，L为Lorentz 数，与实验值同数量级 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 评论 • L=1.11 10-8 WΩ/K2，是实验值的约一半 • Drude当时在推导电导率时出错，电导率小了 一半，所以得到L大了一倍， * L=2.22 10-8 WΩ/K2，与实验值相符 • Drude模型最成功之处是解释WiedemannFranz定律，与很多更精致、更复杂的理论得 出的值相差不多 • 稍微精确点的理论可以得到，只差一个常系数 T LT e kB ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 3 σ κ 8 2 2 2 2.45 10 W / K 3 ⎟ = × Ω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − e k T L π B σ κ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 研究方法特点？ 抓住要点，简化问题 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 5、Drude模型的局限性 • 电子对比热的贡献与温度无关，过大（102） • 电子速度，v2，太小（102） • 什么决定传导电子的数目？价电子？ • 磁化率与温度成反比？实际无关 • 导体？绝缘体？半导体？ • ？
如何修正? ·放弃经典理论,改经典统计为孟于统计(1) 放弃自由电子近似:考虑电子与高子实的相互 作用。这时高子实国定→晶体的结构(2) 研究方法特点? 考虑电子与周期性排列的离子实的相互作用→ 虎带理论(3+4) ·放弃高子实固定→晶格振动(5) 实验鉴定,逐步修正 ·放弃弛豫时间近似→輸适理论(6) 放弃独立电子近似(电子的关联问题,非常复 专题) 具体来看如何修正→ 中424132 inche 学 即∥45.24l32che 体理学 6、固体的微观描写 近似步骤绝热近似 的({R)=EF(;R池子坐标 (H子+H+H电子厘平({},R,}=EH({},{,) H电子+H核+H电子一核 ·基本事实:原子核比电子重得多 ·绝热近似:考虑电子适动时可不考虑原子核得 ∑ 适动。原子核国定在它的瞬间位置 电子 V电子(T-F) P2 ISv( R) 2M,2 R一 ∑V子数(-R) +n+厘(,{R)=(电+r(,E ha424 物学 h趣45.24132/che 体理学 进一步的近似和简化处理 如果要去拌自由电子近似,则仍需加上 )独立电子近似 电子(-R 但霄要对原子核位置的理想化,才能处理 自由电子近似 1029/m数量级的原子 静止〔绝热近似) ·同期性排列近似,即 R0=R0,+R 同经典自由电子气,但用量子统计 →第一章的其余内容 mmefeld模型 这个关系就是站构的平移周期性的数学表示→ 少第二章、晶体的结构 是学 h趣的良45.24I32che 体理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 研究方法特点？ 实验鉴定，逐步修正 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 如何修正？ • 放弃经典理论，改经典统计为量子统计（1） • 放弃自由电子近似：考虑电子与离子实的相互 作用。这时离子实固定Æ晶体的结构（2） • 考虑电子与周期性排列的离子实的相互作用Æ 能带理论（3+4） • 放弃离子实固定Æ晶格振动（5） • 放弃弛豫时间近似Æ 输运理论（6） • 放弃独立电子近似（电子的关联问题，非常复 杂——专题） • 具体来看如何修正Æ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 6、固体的微观描写 H ({ },{ }) ({ },{ }) ˆ i J i RJ Ψ r R = EΨ r = 电子 + 核 + H电子−核 Hˆ Hˆ Hˆ ˆ = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 pˆ Hˆ i i i i i i V r r m 电子 电子 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核 核 = − ∑ − − − i J i RJ V r , ( ) 2 1 Hˆ 电子 核 电子 核 核坐标 电子坐标 { } { } J i R r http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 近似步骤——绝热近似 • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得 运动。原子核固定在它的瞬间位置。 ( ) H ) ({ },{ }) Hˆ ˆ H ({ },{ }) ( Hˆ Hˆ ˆ 0 i J i RJ + + Ψ r R ⇒ + Ψ r 电子 核 电子−核 电子 电子−核 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核 核 RJ 0 RJ H ) ({ },{ }) ({ },{ }) Hˆ Hˆ ˆ ( - i J i RJ 电子 + 核 + 电子 核 Ψ r R = EΨ r http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 进一步的近似和简化处理 • 同经典自由电子气，但用量子统计 Æ第一章的其余内容—— Sommefeld模型 = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 pˆ Hˆ i i i i i i V r r m 电子 电子 = − ∑ − − − i J i RJ V r , 0 ( ) 2 1 Hˆ 电子 核 电子 核 独立电子近似 自由电子近似 + + − ⇒ ∑i i 2m pˆ Hˆ Hˆ Hˆ 2 电子 核 电子 核 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 • 但需要对原子核位置的理想化，才能处理 1029/m3数量级的原子 * 静止（绝热近似） * 周期性排列近似，即 0 RJ 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ = − ∑ − − − i J i RJ V r , 0 ( ) 2 1 Hˆ 电子 核 电子 核 •如果要去掉自由电子近似，则仍需加上 * 这个关系就是结构的平移周期性的数学表示Æ Æ 第二章、晶体的结构
在周期性施构中因悶=+E 前面都是绝热近似,即在考虑电子迳动时,不 考虑原子核运动,现去拌绝热近似, 电子核(一R)=1电子核() R←一罔但这时不考虑电子的运动,田就 ·考虑电子电子、电子周期性静止排列的原子 V楼(R,-Ry) 核的相互作用 R-R=R H=|22m+22(-)-25(一 但假定原子仅在平衡位置附近适动,而这种平 子(r-R2)=[电子(r) 衡位置仍呈周期性排列,可用经典处理 →第三、四章、能带理论 ≯第五章、晶格振动(量子化声子 p: 10.45.24.132// 即∥45.24l32che 体理学 模型逐级修正的需要、根据及结果 ·如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动 需加上 ·金属自由电子气模型 H;x=2(8 量子统计自由电子气体一局限出自没有考虑结构 ·晶体的结构 原子固定在平衡位置,102数量级的困难,抽象一 声子 能带理论 考虑电子与晶格振动(声子)的相互作用 ·电子在周期性排列的结构中运动 ·晶格振动 →第六章、输运现象 周期性排列的原子的运动—声子,固体比热 又回到金属电导,但已是另一层次 电子輸运理论 同时考虑电子、原子远动电子与声子相互作用 h即的45.24.132 inche 是学 体理学 本讲要点 概念要点 Drude用类似于理想气体的方法处理金属中电子 自由电子近似 的运动→自由电子气体,包含一些近似和假定 *电子离子间除碰擅间,无相互作用 独立电子近似、匏豫时闻近似,经典 ·独立电子近似 电子间无相互作用 Drude模型得到的一些与实验符合较好的结果 *电导率、热导率、 Wiedemann- franz定律 ·弛豫时间近似 Drude模型碰到的困难、原因及在此框架下的解 ·一给定电子前后两次与离子磁擅的平均时闻 ·漂移遠度 漂移速度即在弛豫时闻内电场对电子加速的结果 #原因,没有那么多电子对电导有贡献 #其前提为:撞后,电子瀑移遠度为零 #解决方法:不用经典统计,用量子(贵米)统计 #电流即源于这个电子的漂移 是学 h趣的良45.24I32che 体理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 • 考虑电子-电子、电子-周期性静止排列的原子 核的相互作用 ( ) ( ) 0 V电子 核 r R V电子 核 r − − − = 0 " 0 ' 0 RJ = RJ + RJ •在周期性结构中，因 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ + ∑ − − ∑ − − i J i J i i i i i i V r r V r R m H , 0 , ' ' 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 pˆ 电子 电子 核 •就有 •且 ( ) ( ) 0 V电子 核 r R V电子 核 r − − − = Æ第三、四章、能带理论 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 • 但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平 衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理 Æ 第五章、晶格振动（量子化——声子） = ∑ + ∑ − , ' ' 2 ( ) 2 1 2 Pˆ Hˆ J J J J J J J V R R M 核 核 RJ − RJ ' = RJ " RJ 0 RJ 但这时不考虑电子的运动，H就一项 • 前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不 考虑原子核运动，现去掉绝热近似， http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 • 考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用 Æ第六章、输运现象 * 又回到金属电导，但已是另一层次 0 RJ = − ∑ − − − i J i RJ V r , ( ) 2 1 Hˆ 电子 核 电子 核 RJ 声子 • 如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动， 需加上 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 模型逐级修正的需要、根据及结果 • 金属自由电子气模型 * 量子统计自由电子气体——局限出自没有考虑结构 • 晶体的结构 * 原子固定在平衡位置， 1029数量级的困难，抽象— —周期排列 • 能带理论 * 电子在周期性排列的结构中运动 • 晶格振动 * 周期性排列的原子的运动——声子，固体比热 • 电子输运理论 * 同时考虑电子、原子运动——电子与声子相互作用 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 本讲要点 • Drude用类似于理想气体的方法处理金属中电子 的运动Æ自由电子气体，包含一些近似和假定 * 自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似，经典 统计 • Drude模型得到的一些与实验符合较好的结果 * 电导率、热导率、Wiedemann-Franz定律 • Drude模型碰到的困难、原因及在此框架下的解 决之道 * 电导率，热导系数 # 原因，没有那么多电子对电导有贡献 # 解决方法：不用经典统计，用量子（费米）统计 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 概念要点 • 自由电子近似 * 电子—离子间除碰撞瞬间，无相互作用 • 独立电子近似 * 电子间无相互作用 • 弛豫时间近似 * 一给定电子前后两次与离子碰撞的平均时间 • 漂移速度 * 漂移速度即在弛豫时间内电场对电子加速的结果 # 其前提为：碰撞后，电子漂移速度为零！ # 电流即源于这个电子的漂移
本讲存疑(以后讲解中还会涉及) 思考题 金属健→ ·电子气与理想气体的异同? ·配位教→ Drude模型电子碰撞后平均漂移遠度为零的假 独立电子近似(电子与电子无相互作用)多数 是否合理? 情况下可以作为整体来处理→ ·电于的漂移速度与电子内在遠度比较? 位作为体效 从能量均分定理得到的电子速度比实际的大还 ·自由电子近似(电子与高子无相互作用)还算 是小,为什么? 比较好的近似→ 为什么只有很小一部分电子对比热有贡献? 粉图比是表在每电转串由都 电子气存在温度梯度时,会不会导致电子定向 结构的平移周期性的数学表示→ 流动?形成电流 中424132 inche 学 即∥45.24l32che 体理学 习题 1.尝试用 Drude模型推导焦耳定律 H=R尸 2.尝试用 Drude模型推导Ha)数 h即的45.24.132 inche 是学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 本讲存疑（以后讲解中还会涉及） • 金属键Æ • 配位数Æ • 独立电子近似（电子与电子无相互作用）多数 情况下可以作为整体来处理Æ * 与其他相比，最不重要Æ单电子近似（作为整体效 应）——对大部分材料都是较好的近似 • 自由电子近似（电子与离子无相互作用）还算 比较好的近似Æ * 物理原因就是电子在周期结构中运动没有被散射的 机制，因此，极低温时电子的平均自由程非常大 • 结构的平移周期性的数学表示Æ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 思考题 • 电子气与理想气体的异同？ • Drude模型电子碰撞后平均漂移速度为零的假 定是否合理？ • 电子的漂移速度与电子内在速度比较？ • 从能量均分定理得到的电子速度比实际的大还 是小，为什么？ • 为什么只有很小一部分电子对比热有贡献？ • 电子气存在温度梯度时，会不会导致电子定向 流动？形成电流？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 习题 1. 尝试用Drude模型推导焦耳定律 2. 尝试用Drude模型推导Hall系数 2 W = RI nec R 1 H = −
