第16讲、金属、绝缭体和半导体 1、空晶格模型 1.空晶格模型 ·空晶格模型V(r+R)=J(r) 2.禁带起因—定性分析 3.禁带宽度定量计算微扰法) 仍然具有周期性势,但V=0 4.金属、绝鰾体、半导体 思考:与自由电子气有无关系、异同? 方程的解是否相同? 能带概念 -边界条件是否相同? 种p∥45.2413che國体学 体理学 E是k的周期函数:E(k)=En(k+K)! Bch函数:已×周期函数 在整个空同取值 符号示k在第B区中取值 +[ 维自由电子气 一維空是格 k=-i,i=整数 k==i= 得到 周期函数 第一B区→k∈[ ·方括号内的仍是周期函数:(x)=u(+na) ·在第一 Brillouin区外的状态k,可以遁过把改 变2丌/的整数倍,移入第一 Brillouin区内 E(k=k ·这样,第一B区中的每个,对应一系列不同 E m+kJ=E(kD 的能量 趣的45.24132che国体制 http:/10.45.24.132-igche 广延区图 E() k 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第16讲、金属、绝缘体和半导体 1. 空晶格模型 2. 禁带起因——定性分析 3. 禁带宽度——定量计算(微扰法) 4. 金属、绝缘体、半导体 能带概念 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 • 空晶格模型 V (r + R) =V (r) • 仍然具有周期性势，但 V = 0 • 思考：与自由电子气有无关系、异同？ ——方程的解是否相同？ ——边界条件是否相同？ ( ) ( ) 2 2 2 ψ r Eψ r m − ∇ = h 1、空晶格模型 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 E是k的周期函数: En(k)= En(k+K)! 一维自由电子气 一维空晶格 = i i = 整数 L k , 2π [ ] 2 2 , 2 [ ] ] a , a B [- 2 2 2 N l N N l a k k m k a i Na i L k = − < ≤ → ∈ = = = + π π π π π π 第一 区 2 E(k) = k ( ) m [] [] k E ( ) k a E k ⎟ = n ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 2π k在整个空间取值 符号[k]表示k在第一B区中取值 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 • 方括号内的仍是周期函数：u(x)=u(x+na) • 在第一Brillouin区外的状态k，可以通过把k改 变2π/a的整数倍，移入第一Brillouin区内 • 这样，第一B区中的每个[k]，对应一系列不同 的能量 e ikx × 周期函数 • 代入 m [ ] k a k = + 2 π • 得到 [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × 周期函数 mx a i i k x e e 2 π • Bloch函数： [ ] 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m + k a π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 广延区图 a π − a π 2 E(k) = k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 a π − a 1 π 2 2 3 3 4 4 ( ) [ ] [ ]⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m + k a En k E 2π m [ ] k a k = + 2π
周期区图 简约区图 E是k的多值函数:En(k),n=1,2,…! 日 所以,对于E2(小=一m+ m为整数,有无穷多个〔等于原胞个数) 当k被展定在第一B区时,[],E(k]就有无 穷多个值!每个n,对应一条能带 因此,对En,必须区分: 属于哪个n,即哪个能带? 在用第一 Brillouin区内的波夫[k]时,必须指明 属子哪个能带 否则是不确定的 p:∥4.24I32he 心学 ∥45.2413y-iche体理学 小结:能带的一些重要性质 2、能隙(禁带起因定性分析50+(2nm 周期函数:E(k+K=E(k 空晶格模型与自由电子气的差来自于 ·多值画敷:对一个k,多个E(k)能量值.用n 空晶格具有周期性 来区分 虽然空晶格模型势能等于零,但仍是周 ·波夫k的偶函数:E(k)=E(-k) 期性势,满足 Bloch定理,因此,波函数 是 Bloch画数 对称性:E(ak=E(),a表示晶体所具有 ·因为k与kK等价,能量是周期函敷,当 的对称操作 k限定在第一B区,必须区分n,多值函数 设问:多值会出现什么问题? 叶1的两条能带,在 Brillouin边界, 即在k=n丌,=0,±1,土2,…处是 简并的!! 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 弱周期性势场 定性分析:Brag散射形成驻波 如果格点势能不等于零,会发生什么变 电于会受周期性势场的散射 ·当 Bragg反射条件滿足时,沿一个方向行进的 可以想象,如晶格势很小(弱周期性 势场),那么能带的大部分区城没有明 波受到反射,沿相反方向传播,反射波与入射 显的变化 波干涉,形成驻波——禁带的起因 但是,布里渊区边界能级的简并处会发 p=Avr+ Bwk 生什么变化? ·怎么变化? ·定性分析(驻波势能与平面波比较 H(+)=e°+e 变化大小? 定量计算(微抗方 平(-)=ea-ea=2inzx http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 周期区图 简约区图 a π − a π a π a π − 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • m为整数，有无穷多个（等于原胞个数） • 当k被限定在第一B区时，[k] ，En ([k])就有无 穷多个值！每个n，对应一条能带 • 因此，对En，必须区分： * k的取值范围？ [k] * 属于哪个n，即哪个能带？ • 在用第一Brillouin区内的波矢[k]时，必须指明 属于哪个能带，n，否则是不确定的 ( ) [ ] [ ] 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m + k a E k n π • 所以，对于 E是k的多值函数: En(k)，n=1, 2, …∞! http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 小结：能带的一些重要性质 • 周期函数：En(k+K)= En(k) • 多值函数：对一个k，多个En(k)能量值。用n 来区分 • 波矢k的偶函数： En(k)= En(-k) • 对称性： En(α k)= En(k)，α表示晶体所具有 的对称操作 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 2、能隙(禁带)起因: 定性分析 • 空晶格模型与自由电子气的差别来自于 空晶格具有周期性 • 虽然空晶格模型势能等于零，但仍是周 期性势，满足Bloch定理，因此，波函数 是Bloch函数 • 因为k与k+K等价，能量是周期函数，当 k限定在第一B区，必须区分n，多值函数 • 设问：多值会出现什么问题？ • n=j和j+1的两条能带，在Brillouin边界， 即在k=nπ/a ，n=0，±1， ± 2，…处是 简并的!!! ( ) [ ] 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m + k a E k n π a π a π − 1 2 3 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 弱周期性势场 • 如果格点势能不等于零，会发生什么变 化？ • 可以想象，如果晶格势很小（弱周期性 势场），那么能带的大部分区域没有明 显的变化 • 但是，布里渊区边界能级的简并处会发 生什么变化？ • 怎么变化？ * 定性分析（驻波势能与平面波比较） • 变化大小？ * 定量计算（微扰法） a π a π − 1 2 3 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 定性分析：Bragg散射形成驻波 • 电子会受周期性势场的散射 • 当Bragg反射条件满足时，沿一个方向行进的 波受到反射，沿相反方向传播，反射波与入射 波干涉，形成驻波——禁带的起因 0 ' 0 0 Ψ = Aψ k + Bψ k x a e e i x a e e x a x i a i x a x i a i π π π π π π ( ) 2 sin ( ) 2cos Ψ − = − = Ψ + = + = − −
定性分析:驻波中心位置 定性分析:驻波与平面波电荷分布 H(+)×cox中心在+2m-… ) v(- N()sin2x中心在业 位于正 ·两个驻波(+)和(-),使电子积聚在不同的区城 高子间 因此具有不同的势能 能隙的起因:(+)的能量比平面波低,而(-)比 平面波高,使原来简并的能级分裂 ·能朦的宽度:(+)和的能量差 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 定性分析:禁带的起因 禁带,能隙( energy gap) 简并能级在晶格势作 广延区图 能量区间) 食果满两爱域低看 并能级“相互排斥 裂的大小(禁带宽度)与晶 格势的强弱有关—用微 扰法可以计算 对照自由电子?孤立原子 的电子? 45.24112gche园体制学 m42B1y)h上a验糖理学a 周期区图 简约区图 3、禁带宽度—定量计算(微扰法) 芯区外电子受 自由电子气,空晶格长能带(定性) 处理成自由电子气,如何处理高子 实? 少正电背景:均匀分布保持电中性 为什么正高子的周期性势场能被忽略? 考察金属,区城:芯区,其余区城 ·在芯区外,受与屏蔽电子的联合作 用势—非常弱 橄电荷[花电子d 电子在其余区城可看成自由电子 →微扰法 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 定性分析：驻波中心位置 x a 2 2 π Ψ(+) ∝ cos x a 2 2 π Ψ(−) ∝ sin 中心在0, ±a, ±2a, …, 上，即正离子上 中心在±0.5a, ±1.5a, …上，位于正 离子间 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 定性分析：驻波与平面波电荷分布 • 两个驻波(+)和(-)，使电子积聚在不同的区域， 因此具有不同的势能 • 能隙的起因：(+)的能量比平面波低， 而(-)比 平面波高，使原来简并的能级分裂 • 能隙的宽度： (+)和(-)的能量差 2 ikx e 2 ψ(+) 2 ψ(−) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 定性分析：禁带的起因 • 简并能级在晶格势作用下 分裂——禁带（没有解的 能量区间） • 分裂结果：能级低的更 低，高的更高——所谓简 并能级“相互排斥” • 分裂的大小(禁带宽度)与晶 格势的强弱有关——用微 扰法可以计算 • 对照自由电子？孤立原子 的电子？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 禁带 ，能隙(energy gap) a π − a π 广延区图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 a π − a π a π a π − 周期区图 简约区图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 3、禁带宽度——定量计算(微扰法) • 自由电子气，空晶格Å能带（定性） • 定量？回顾Sommerfeld模型： 把价电 子处理成自由电子气，如何处理离子 实？ • Æ正电背景：均匀分布保持电中性 • 为什么正离子的周期性势场能被忽略？ • 考察金属，区域：芯区，其余区域 核电荷+Z 芯电子-d r Z − d 到势 ~ − 芯区外电子受 • 在芯区外，受核与屏蔽电子的联合作 用势——非常弱 • 电子在其余区域可看成自由电子 • Æ微扰法
微扰法:零势场(空晶格)的解与微扰 零级解 Hy(x)= 方2d2 )l(x)=Ev(x) ·能量 2m dx 将H分成两部分 2m H=H 空晶格 微扰 H L=NO V(x)=( 种p∥45.2413che國体学 体理学 微扰部分 H=Ho+H v(x=v(x+na) 空晶格 微扰的 Fourier展开 ·周期性势场,可作 Fourier展开 Ho--hd A' =v(0)+>vn)expdi 2T nux (0)+∑?m)e ·v常敷,可通过能量零点平移来消除, Fourier (0)=0或常数,等于能量零点作平移E=E-(0) 系数 零解能量 考:复杂结构?(-n)=(m) 零级波函数 L-Na 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 非简并情况 Iv(nI 能量修正 EP=H[嘴(xH=0 波画数修正(x)=+∑、∥ He 1(n)exp(-i--x) v(n) if k-ke2m/a 被周期势场散射 种45.2413yche是学 =0)+∑n)=a 趣452413 binche物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 微扰法：零势场(空晶格)的解与微扰 • 将H分成两部分 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ˆ 2 2 2 V x x E x dx d m Hψ x ⎥ψ = ψ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − + h ' ˆ ˆ ˆ H = H0 + H 2 2 2 0 2 ˆ dx d m H h = − ' ( ) ˆH =V x V (x) =V (x + na) 空晶格 微扰 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 零级解 • 能量 m k Ek 2 2 2 0 h = • 波函数 exp( ) 0 1 ikx L ψ k = L=Na http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 微扰部分 • 周期性势场，可作Fourier展开 V (x) =V (x + na) ∑≠ = + 0 2 0 n nx a V(x) ( ) (n)exp(i ) π V V • V0常数，可通过能量零点平移来消除。Fourier 系数 ∫ − = L nx a i V x e dx L n 0 2 1 π V ( ) ( ) ( n) (n) * 思考：复杂结构？ V − = V http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 ' ˆ ˆ ˆ H = H0 + H 2 2 2 0 2 ˆ dx d m H h = − ) 2 ' (0) ( ) exp( ˆ 0 nx a H n i n π ∑≠ = V + V V (0) = 0 空晶格 微扰的Fourier展开 m k Ek 2 2 2 0 h = exp( ) 0 1 ikx L ψ k = 零级解能量 零级波函数 L=Na 或常数，等于能量零点作平移 E = E − V (0) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 Ek = Ek 0 + Ek (1) + Ek (2) +L ( ) ' 0 0 0 (1) ' 0* = = = ∫ E H x H dx k L k kk ψ k ψ ∑≠ − = '( ) 0 ' 0 2 ' ' (2) k k k k kk k E E H E H x H dx k L kk k 0 ' 0 ' 0* ' ' ˆ ψ ( ) ψ ∫ = 非简并情况 ⎩ ⎨ ⎧ − = = 0 others ( ) if ' 2 / V n k k πn a ) 2 ' (0) ( ) exp( ˆ 0 nx a H n i n π ∑≠ = V + V ∑ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = n L n a i k k e dx L n 0 2 1 ' ( ) π V http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 ( ) ∑≠ − − = + 0 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 | ( ) | 2 n k k n a m m k n m k E π h h h V 平面波 0 ' '( ) 0 ' 0 ' 0 ' ( ) k k k k k kk k k E E H ψ x ψ ∑ ψ ≠ − = + 能量修正 波函数修正 被周期势场散射 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = +∑≠0 2 2 2 2 * 0 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( ) exp( 1 n k a n k m m k x a n n i π π ψ h h V
·看微扰波函数是否仍满足Boch定理 简并情况 V(r)=viu(x) 1(n)exp(-i-x) 当-2(k-2m)→0散射波抓幅趋于无限大! h2k2h2.2m、 Ist Brillouin zone ·v身很小。如果k不在边界,分母不为零,影 响很小!因此,除边界外,类自由电子的结果 n2= 2a a 2asin b=nd Brg反射加强条件! 种p∥45.2413che國体学 如果k=m丌/a两态能量相同简并 k'=-nr/a d2E-(x)=0 用简并微扰 lvi,weir I (1+△) (E-E2)4-v(m)B △为小量 (n)A+(E-E()B=0 E=7(1+4)±√v(n)P+4 掌级波函数为两波函数的q=Av+Bv 线性蛆合 动能 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 △→0E=Tn±7(m 一维图象的结论完全可以推 广到二维、三维 非简并微扰,影响不大 简并态出现 k=an=E=7-7( 简并微扰,简并态k=n 能量分裂! E=T,+/v(n) 禁带宽度E2=2|(n)考:Wm不等于掌时, 有无可能禁带宽度=0? E2=p( 思考:禁帶宽度与势场的傅立叶分量有关,那 能带宽度与什么有关 种∥45.24132he园体物学 种液4524132iche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 • 看微扰波函数是否仍满足Bloch定理？ ( ) ( ) 0 x u x ψ k =ψ k • V本身很小。如果k不在边界，分母不为零，影 响很小！因此，除边界外，类自由电子的结果 ∑≠ − − − = + 0 2 2 2 2 * ) 2 ( 2 2 ) 2 ( ) exp( ( ) 1 n a n k m m k x a n n i u x π π h h V u(x) = u(x + na) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 当 散射波振幅趋于无限大！ Bragg 反射加强条件！ 0 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ →⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − a n k m m h k h π a n k π = nλ = 2a 2asinθ = nλ -π/a 0 π/a k 1st Brillouin zone 简并情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 k n a k n a ' / / π π = − = 两态能量相同 简并 用简并微扰 ' (1 ) (1 ) = − − Δ = + Δ a n k a n k π π Δ 为小量 0 ' 0 0 Ψ = Aψ k + Bψ k 零级波函数为两波函数的 线性组合 如果 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 [ ( )] 0 2 0 2 2 2 Ψ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + E −V x m dx d h ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + − = − − = 0 0 0 0 n A E E B E E A n B k k ( ) ( ) ( ) ( ) ' * V V [ ] ∫ dx k k 0 ' 0 ψ ,ψ 0 0 0 = − − − − ' * ( ) ( ) k k n E E E E n V V 2 2 2 2 E = Tn 1+ Δ ± n +4Δ Tn ( ) | V ( )| 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a n m Tn h π 动能 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 令Δ Æ 0 E T (n) n = ± V ' ( ) ( ) E T n a n k E T n a n k n n V V = − ⇒ = + = ⇒ = − π π 简并态出现 能量分裂！ E (n) g 禁带宽度 = 2 V 思考：禁带宽度与势场的傅立叶分量有关，那 能带宽度与什么有关？ 思考：V(r)不等于零时， 有无可能禁带宽度=0？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 • 一维图象的结论完全可以推 广到二维、三维 • 非简并微扰，影响不大 • 简并微扰，简并态 k E k E −π/a π/a = 2 V (1) Eg k n a k n a ' / / π π = − = 0 ' 0 0 Ψ = Aψ k + Bψ k
4、金属、绝缘体、半导体 k的取值范围E(k)=E(k+K) ·k的取值范围 ·由于周期性,可以在第一 Brillouin区求解 即k的取值可以限制在第一 Brillouin区 电子对能带的填充 ·为简草起见只讨论一维情况,容易推广到三维 滿带和空带 ·原胞总数、,则L=Na,对周期性边界用 Bloch定理 投影能带 金属、绝繚体、半导体、半金属的能带 于是Nak=2m,为整数 ·因此,如用倒格子基失表示k,利 用正、倒格子基失的正交关系,则 ·l敷,由于k的周期性,只需取-N12</sN2 N是原胞总数,趋于无穷,因此是连续分布的 与自由电子完全 k空间态密度也是常 种p∥45.2413che國体学 数侣日不能简苦操由此得到能量态蜜度。 电子如何填充能带? 满带不导电E(k)=E(-k)k=k+K ·En(k)是k的多值函数,m=1,2,,∞ 具有N个原胞的晶体,每个 周期性边条件可知,第一B区内k的取值范国 能带能够容纳2N k-2xla,其中M2<k=N2 称地被填滿,对电流的 原胞总数,在第一B区中一共有M个不同的k 献互相抵消 ·每个k,自旋向上、向下各一个状态 在外场的作用下,没有空的k态可以使电子分布 每条能带(n的每个 有变化,电子从布里渊区一端出去,k=k+K, ·一个原胞内,如果总共有个价电子,在T 又从另一端进来,所以对电流没有贡献 时,从n=1开始填充,填充至讥能级 设问:自电子气时有没有电子的整体移动? 如果能带没有填满,导电电于自由地响应外场 对称的部分相互抵消,不对称的部分形咸咆流 p45.24132gche回物学 邮452413 binche体理学 思考 投影能带 ·单电子原子组成的晶体,能带总是填充至半 将能带往某一方向投 因此可以导电,是金属。但是,如果将晶 影,得到所谓的投影能 格常数遜渐增大,直至原子间无相互作用,这 时按照Boch定理,它还是金属吗?问题在哪 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 4、金属、绝缘体、半导体 • k的取值范围 • 电子对能带的填充 • 满带和空带 • 投影能带 • 金属、绝缘体、半导体、半金属的能带 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 k的取值范围 • 由于周期性，可以在第一Brillouin区求解 * 即k的取值可以限制在第一Brillouin区 • 为简单起见只讨论一维情况，容易推广到三维 * 原胞总数N，则L=Na，对周期性边界用Bloch定理 ψ (x + Na) =ψ(x) (x Na) () e x iNak ψ + = ψ =1 iNak e Nak = 2πl, l为整数 a b b N l k 2π = , = • 于是 • 因此，如用倒格子基矢表示k，利 用正、倒格子基矢的正交关系，则 • l整数，由于k的周期性，只需取 E(k)( ) = E k + K • N是原胞总数，趋于无穷，因此k是连续分布的 − N / 2 < l ≤ N / 2 • 与自由电子完全一样， k空间态密度也是常 数，但已经不能简单地由此得到能量态密度 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 电子如何填充能带？ • En(k)是k的多值函数，n=1, 2, …, ∞ • 周期性边条件可知，第一B区内k的取值范围 * k=2πl/a, 其中-N/2<l<=N/2 * N是原胞总数，在第一B区中一共有N个不同的k • 每个k，自旋向上、向下各一个状态 * 每个状态可填一个电子，所以每条能带(n)的每个 k，可填不同自旋的两个电子 • 一个原胞内，如果总共有j个价电子，在T=0 时，从n=1开始填充，填充至j/2能级 * 第一Brillouin区的每条能带，有N个不同的k，但同 时，整个系统也有N个原胞，所以正好相当于每个 原胞内的两个电子填第一Brillouin区内的一条能带 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 满带不导电 • 在外场的作用下，没有空的k态可以使电子分布 有变化，电子从布里渊区一端出去， k=k+K， 又从另一端进来，所以对电流没有贡献 • 设问：自电子气时有没有电子的整体移动？ • 如果能带没有填满，导电电子自由地响应外场 的作用，漂移，在外电场方向引起整体漂移， 对称的部分相互抵消，不对称的部分形成电流 E(k) = E(−k) • 具有N个原胞的晶体，每个 能带能够容纳2N个电子， 如果能带全部填满，k和-k 对称地被填满，对电流的 贡献互相抵消 k = k + K http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 思考 • 单电子原子组成的晶体，能带总是填充至半 满，因此可以导电，是金属。但是，如果将晶 格常数逐渐增大，直至原子间无相互作用，这 时按照Bloch定理，它还是金属吗？问题在哪 里？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 投影能带 • 将能带往某一方向投 影，得到所谓的投影能 带
金属、绝缘体、半导体、半金属的能带 本讲要点 能带和能隙:空晶格模型和弱周期势场近似 能腺的起因:散射形成驻波,与平面波相 k>E2杂质 驻波势能或高或低于平面波,在B区边界零级 近似的简并能级分裂而形成能隙 非简并微扰:除B区边界外,晶体势场对其他 区城能带的影响可忽略 简并微扰:能隙宽度是势 Fourier晨开系数的两 E >se 金属、绝繚体能带论判据:能带填充情况 金属到绝体转变 Metal 体理学 概念要点 思考问题 能带 1.自由电子气与空晶格模型的差别? 禁带 2.V(r)不等于零时,有无可能禁带定度=0? ·微扰法:禁带寬度 3.禁带宽度与势场的傅立叶分量有关,那能带 ·能带理论的导电解释:能带填充情况 宽度与什么有关? 单电子原子组成的晶体,能带总是填充至半 满,因此可以导电,是金属。但是,如果将 晶格常教逐漸增大,直至原子间无相互作 用,这时按膩Boch定理,它还是金属吗?问 题在哪里? 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 题 第14讲习题解答 3.1 2 -2penfet-ah adr's-EPeevf-Hr-e-r& (-4H(r- (k)=∑ k 种45.2413yche是学
7 Metal Semimetals Semiconductor E(k) 金属、绝缘体、半导体、半金属的能带 kBT>Eg 杂质 Insulator Eg>5eV Eg~1eV http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 本讲要点 • 能带和能隙：空晶格模型和弱周期势场近似 • 能隙的起因：散射形成驻波，与平面波相比， 驻波势能或高或低于平面波，在B区边界零级 近似的简并能级分裂而形成能隙 • 非简并微扰：除B区边界外，晶体势场对其他 区域能带的影响可忽略 • 简并微扰：能隙宽度是势Fourier展开系数的两 倍：Eg=2|V(n)| • 金属、绝缘体能带论判据：能带填充情况 • 金属到绝缘体转变 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 概念要点 • 能带 • 禁带 • 微扰法：禁带宽度 • 能带理论的导电解释：能带填充情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 思考问题 1. 自由电子气与空晶格模型的差别？ 2. V(r)不等于零时，有无可能禁带宽度=0？ 3. 禁带宽度与势场的傅立叶分量有关，那能带 宽度与什么有关？ • 单电子原子组成的晶体，能带总是填充至半 满，因此可以导电，是金属。但是，如果将 晶格常数逐渐增大，直至原子间无相互作 用，这时按照Bloch定理，它还是金属吗？问 题在哪里？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 习题： • 3.1 • 3.2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 第14讲习题解答 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x F x k k F k k q k q kq k q k dq k q k q q k q kq k d q d d dq V I k e V d e e V d e e e V e e d V d e e V e V d k k k k k k i i i i i i i i i i i j i j j i − − + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − − − + = − + = − = − = − = − − = − − = − − = − − = − − − ∫ ∑ ∫ ∫ ∑∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑∫ ∑ ∫ < < < < • − − • − • − − • − − • • − • • • • − • ≠ 1 1 ln 4 1 2 1 , 2 ln 2 1 1 1 ln 1 1 2 cos sin 2 4 2 1 4 4 1 4 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 1 ' ' 1 1 ' ' ' ' 2 F F 0 2 2 0 2 2 2 2 3 2 3 2 ' ' ' ' ' * F F F F F F 其中 π π π ϑ ϑ ϑ ϕ π π π π π π ϕ ϕ ϕ q q q q k r q k q r r k r q k q r r k q r q r q q r k q r q k r q r q r k q q k q k q r r r r r r r r r r r r r r r r r r