第6讲、整数和分数量子霍尔效应 1、多体(电子)问题? 1.多体(电子)问题? 金属自由电子气体模型与理想气体模型比较 2.整敷量子霍尔效应(IQHE) 子,相互作用是指气 3. Landau能级和局域态 皇庸孟额慈·滑忠柔立铝子与 与电子的相 4.整数量子霍尔效应的解释 5.分数量子霍尔效应(FQHE) ·独立电子近似质凝 6.换个图象看量子霍尔效应 ·电子作为带电体,它们之间至少有库仑相互作用 恕略这样的作用,近似能够好到什么程度? 7.分数量子霍尔效应的解释 ·固体物理、凝聚态物理最重要的问题 ·太复杂、太困难 ·专题2:究竟什么是电子关联? 8个有关的诺风尔物理奖 196219781996),超导(1913,1 霍尔救应1985,1998)←有没有看法或猜想? mp:/a.45.24.132/chey 体学 http:10.45.24132/igchey c体理学 将分四个专题来专门介绍这个问题 2、整数量子霍尔效应 ·K. von Klitzing:观察到整数量子霍尔效应, 单电子近似:所有电子(包括被考虑的客体) PRL45,494(1980) 作为一个整体对单个电子(被考虑的客体)的 ·极低温L5K、强碰场18、流子浓度约101cm2 平均作用 维电子气的尔电阻与电压的关系呈现一个个 我认为,改变数学工具才能在多体问题上取得突破 Mot皑体:单电子近似,或者说忽略电子关 j为整数。199年起定为电阻单位标准 联会导致什么荒唐的结果? 超导:电子关联又会引起什么奇异的结果 a-gc,称为 von Klitzing常数,用这个量来包装这个工作 ·量子霍尔效应:直观地给出物理图象—电子 必须作为整体(关联在)一起被考虑,才能解 ·这个实验在1978年已经完成,但当时没有注意 释量子霍尔效应 这个平台是有量子化的。平台平整度103 因为这个发现的重要意义,1985年救Nobl奖 hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 种即加4524l32 gche ·观测量子霍尔效应示 品。国定B,改变栅电 PlIYSICAL REVIEW LETTI 压以改变載流子数 New Method for High-Accuracy D 目,观察霍尔电压V 和纵向电压V1的变化 ·霍尔电压呈现平台的 地方,纵向电压V1为 零→纵向电阻为零! ·几种样品都有同样的 结果(不同的外型尺 寸、不同能带 构,…) 普适现象 http:/10.45.24.132/-igchey
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第6讲、整数和分数量子霍尔效应 1. 多体（电子）问题？ 2. 整数量子霍尔效应(IQHE) 3. Landau能级和局域态 4. 整数量子霍尔效应的解释 5. 分数量子霍尔效应(FQHE) 6. 换个图象看量子霍尔效应 7. 分数量子霍尔效应的解释 • 专题2：究竟什么是电子关联？ * 11.1.3和12.5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、多体（电子）问题？ • 金属自由电子气体模型与理想气体模型比较 * 理想气体模型：客体是气体分子，相互作用是指气 体分子与气体分子之间的碰撞 * 自由电子气体：客体是电子，但是电子与电子的相 互作用却被忽略Æ所谓的独立电子近似 • 独立电子近似质疑 * 电子作为带电体，它们之间至少有库仑相互作用 * 忽略这样的作用，近似能够好到什么程度？ • 固体物理、凝聚态物理最重要的问题 * 太复杂、太困难 %8个有关的诺贝尔物理奖！ %液氦(1962,1978,1996)，超导(1913,1972,1987)， 量子霍尔效应(1985,1998)Å有没有看法或猜想？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 将分四个专题来专门介绍这个问题 • 单电子近似：所有电子（包括被考虑的客体） 作为一个整体对单个电子（被考虑的客体）的 平均作用 * 我认为，改变数学工具才能在多体问题上取得突破 • Mott绝缘体：单电子近似，或者说忽略电子关 联会导致什么荒唐的结果? • 超导：电子关联又会引起什么奇异的结果? • 量子霍尔效应：直观地给出物理图象——电子 必须作为整体（关联在）一起被考虑，才能解 释量子霍尔效应 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 2、整数量子霍尔效应 • K. von Klitzing：观察到整数量子霍尔效应， PRL45, 494 (1980) * 极低温1.5K、强磁场18T、载流子浓度约1013/cm2？ * 二维电子气的霍尔电阻与栅电压的关系呈现一个个 量子化的平台 , 为整数。 1990年起定为电阻单位标准 1 2 2 e h j e h I j V x H ρ H = = − ,称为von Klitzing常数,用这个量来包装这个工作 2 1 0 1 2 c e h α μ − = • 这个实验在1978年已经完成，但当时没有注意 这个平台是有量子化的。平台平整度10-8 • 因为这个发现的重要意义，1985年获Nobel奖 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 观测量子霍尔效应示 意图：MOSFET样 品。固定B，改变栅电 压以改变载流子数 目，观察霍尔电压VH 和纵向电压VL的变化 • 霍尔电压呈现平台的 地方，纵向电压VL为 零Æ纵向电阻为零！ • 几种样品都有同样的 结果（不同的外型尺 寸、不同能带结 构，…），这是一个 普适现象
dau能级和局域态 实验观测条件指出,这是一种强磁场下的二维 约東的电子气体 维自由电子气在均匀磁场(方向)下如何运动 ·k和绕场方向的角动量是好量子数 电子绕磁场方向作邮旋运动 其解为 力2k2 流密庋不变,只改变 场,也可看 的平台和纵向电阻为零 即在平行于磁场方向,能量仍是连续的,但在 我们只关 这现象背后的物理实 垂直于磁场平面,原来无磁场时的连续能量, 质是什么? 个实验现象? 量子化,简并到分立的 Landau能级 mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche c体理学 k Landau环 能级简并度可从无磁场时态密度得到 ·对二维电子气体,在垂 直子诚平面加上均匀磁 从没有礅场时的二维电子气的电子能态密 场后,k空间被等分成 度(是常数,单位面积态密度为得到简并度 个个面积为常数的 Landau环,每个环上的 能量各自相等;三维 ·引入融场后,连续分布的能态收编为等能级间 横截面为常数 Landau'管 隔的分立能级,但总的能态敷目并没有减少, 原均匀分布的k点,重新。 新简并到分立能级上 分布,简并到 Landau环 ·因此,单位面积 Landau能级简并度为(注意 问:简井,p? AA=mA( +A )=22 强磁场下自旋简并巳消除) b(27/=2 种即加4524B32- Fache 体理学 磁场下的二维电子气态密度 比较磁场下的三维电子气态密度 ·磁场叠直于二维面 维时,由于方向仍可自由运动,故总的能 如果是二电子气,那么加磁场垂直于二雄电 量状态密度仍是连续的 子所在面,能量态密度也是量子化的 能量态密度是δ函数形式,δ函数乘以简并度 ·可以看出,态密度具有这种形式 ba sa DE)-∑E-/+) 种p45.2432/ gche 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 也可控制栅电压保持电流密度不变，只改变磁 场，也可看到霍尔电阻的平台和纵向电阻为零 • 我们只关心物理！那么，这现象背后的物理实 质是什么？怎么解释这个实验现象？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 3、Landau能级和局域态 • 实验观测条件指出，这是一种强磁场下的二维 约束的电子气体 • 三维自由电子气在均匀磁场(z方向)下如何运动 • kz和绕磁场方向的角动量是好量子数 • 电子绕磁场方向作螺旋运动 * 其解为 m eB j m k E k c c z j z ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + ω ω 2 1 2 2 2 ( ) h , h • 即在平行于磁场方向，能量仍是连续的，但在 垂直于磁场平面，原来无磁场时的连续能量， 量子化，简并到分立的Landau能级 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 Landau环 • 对二维电子气体，在垂 直于该平面加上均匀磁 场后，k空间被等分成 一个个面积为常数的 Landau环，每个环上的 能量各自相等；三维 时，则被等分成一个个 横截面为常数Landau管 ( ) h h h h m eB m E A k k c x y π ω π π π 2 2 2 2 2 2 2 = = Δ Δ = Δ + = h eB L h eB L eB p A 面积 单位 ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ = Δ 2 2 2 1 2 π π k h • 原均匀分布的k点，重新 分布，简并到Landau环 • 问：简并度，p=？ kx ky http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 能级简并度可从无磁场时态密度得到 • 也可从没有磁场时的二维电子气的电子能态密 度(是常数，单位面积态密度为)得到简并度 2 2 2 ( ) πh m g D E = • 引入磁场后，连续分布的能态收缩为等能级间 隔的分立能级，但总的能态数目并没有减少， 都简并到分立能级上 • 因此，单位面积Landau能级简并度为(注意： 强磁场下自旋简并已消除) B h m e p = g D E ΔE = ωc = π h h 2 2 2 ( ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 磁场下的二维电子气态密度 • 磁场垂直于二维面 • 如果是二维电子气，那么加磁场垂直于二维电 子所在面，能量态密度也是量子化的 • 能量态密度是δ函数形式， δ函数乘以简并度 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 比较磁场下的三维电子气态密度 • 三维时，由于z方向仍可自由运动，故总的能 量状态密度仍是连续的 1/ 2 2 1 ( ) ~ − ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + j c D E E j hω • 可以看出，态密度具有这种形式
能量态密度4a(“9ym 霍尔电阻参数的物理意义:填充因子 ·原来连续的E(k)由于磁场简并 电子密度为n对 Landau能级密度p的填充,填 到 Landauf能级,成一条条 充因子为 的抛物线, Landau能级只 是使之移动一个常数 ·将n代入霍尔电阻公式(纵向电流霍尔电压) 样t 态密度就很容易得 的因子,对一条抛物线,态密 1 I/w JB=.D B2- 霍尔电阻中的敷的物理意义就是填克因 dN,(E)=D(E)E=p42dk 子,即电子填克到哪个 Landau能级 黄线表示没有磁场的 思考:能不能用金属观察量子霍尔效应? 维的k 体学 即加452432/iche c体理学 4、整数量子霍尔效应的解释 整数量子霍尔效应解释 ·如果材料有缺陷,会使 Landauf能级的简并度降 加惑场隆低时,局城态被逐 低, Landau能级晨宽成有限宽度的局城态 ·扩辰态:原 Landau能 级态,可在整个平面 时,传导电子才增加,霍尔电阻突然变化 内自由移动的电子态 ATENDSTATE 栅电压变化(E变化,E在能隙(局城态 ·局城态:由缺陷导致 时应筹产京老包突年 Landau能级(扩 的态局城在缺陷附 近,好比是芯电子局 ·如保持柵电压不变(相 城在原子核周围 舌或萍藏 量子霍尔效应就是由 可以引起霍尔电阻发生类似的变化 这些局域态产生 设问:是否还遣留什么没有解释清楚的问题? hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 种即加4524B32- Fache 体理学 尚有两个仍然没有解释的问题 5、分数量子霍尔效应 1.对应霍尔电 R B. Laughlin(T) 阻平台为什 D.C.Tsui(E,崔琦) 么纵向电阻 H L Stoermer(E) 会变成零? 1982年,0.5K,20强職场,发现分数量子霍 Landau能 尔效应 级展宽后, e2,/为分数 霍尔电阻平 ·同年由 laughlin对此进行理论解释,论文发表 台数值是否 在PRL50,1395(1983) 还正好等于 ·1998年上述三人共同分享诺贝尔物理奖 实验论文发表是三个人暑名,还有AC. Gossard ·不能用前面的图象解释,那是单粒子图象 提供椭品 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 能量态密度 • 原来连续的E(k)由于磁场简并 到Landau能级，成一条条一 维的抛物线，Landau能级只 是使之移动一个常数 • 这样的一维态密度就很容易得 到，但需要乘上二维简并密度 的因子，对一条抛物线，态密 度为 kz En(kz) c z n z n m k E k B hω h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + 2 1 2 ( , ) 2 2 黄线表示没有磁场的 E(k)关系，当然是三 维的k ( ) ( ) V E n dE m dk L dN E D E dE pA c c n n z 3/ 2 1/ 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ω π ω π h h h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 霍尔电阻j参数的物理意义：填充因子 • 电子密度为n对Landau能级密度p的填充，填 充因子为 eB nh p n j = = • 将n代入霍尔电阻公式(Ix纵向电流VH霍尔电压) 2 1 / / e h ne j B B R B J B E I w V w I V H x H x H x H ρ H = = = = = − = − • 霍尔电阻中的j参数的物理意义就是填充因 子，即电子填充到哪个Landau能级 思考：能不能用金属观察量子霍尔效应？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 4、整数量子霍尔效应的解释 • 扩展态：原Landau能 级态，可在整个平面 内自由移动的电子态 • 局域态：由缺陷导致 的态局域在缺陷附 近，好比是芯电子局 域在原子核周围 • 量子霍尔效应就是由 这些局域态产生 • 如果材料有缺陷，会使Landau能级的简并度降 低，Landau能级展宽成有限宽度的局域态 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 整数量子霍尔效应解释 • 当电子态密度增加或磁场降低时，局域态被逐 步填充，但扩展态占据数没有改变，因此，电 流不变，霍尔电阻不变，形成一个台阶，只有 电子密度在电压下增加到占据更高的Landau能 级时，传导电子才增加，霍尔电阻突然变化 • 栅电压变化(EF变化)。EF在能隙(局域态)中 时，对应霍尔电阻平台， EF在Landau能级(扩 展态)时，对应霍尔电阻突然增加， • 如保持栅电压不变(相当于EF不变)，只改变磁 场，Landau能级及局域态整体压缩或伸展，也 可以引起霍尔电阻发生类似的变化 • 设问：是否还遗留什么没有解释清楚的问题？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 尚有两个仍然没有解释的问题 1. 对应霍尔电 阻平台为什 么纵向电阻 会变成零？ 2. Landau能 级展宽后， 霍尔电阻平 台数值是否 还正好等于 实验值？ • 不能用前面的图象解释，那是单粒子图象 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 5、分数量子霍尔效应 • R. B. Laughlin (T) D. C. Tsui (E, 崔琦) H. L. Stoermer (E) • 1982年，0.5K，20T强磁场，发现分数量子霍 尔效应， PRL48, 1559 (1982) j为分数 e h j H , 1 2 ρ = − • 同年由Laughlin对此进行理论解释，论文发表 在 PRL50, 1395 (1983) • 1998年上述三人共同分享诺贝尔物理奖 * 实验论文发表是三个人署名，还有A. C. Gossard， 提供样品
IY8IGAL.R. WIt LlTI易 VottO 4 NUMDEr HYSICA⊥ REVIET LETTER 三至 3MAT1992 对于整数量子霍尔效应的单粒子图象不再适 用:实验条件指明是强关联 ·新稳定态好象在电子填克 Landau能级到一个分 数时产生!而且分母都是奇数! 即加452432/iche c体理学 、换个图象看量子霍尔效应 磁通量子 二维路径绕一围必有一点 用磁通量子作雕场单位Φ 交点,三雄则不 由量子力学分析可以知道:一个被束 考虑到电子有波动性时这有 缚在二空间运动的电子包围整数倍 雄略征很大不同 雕遁量子时才是稳定的,即绕融遁量 电于波在封闭路径上必须 子一国位相变化必须正好是2π的整 形成驻波才有稳定态,三 数倍形成的驻波才是稳定的,因为二 草径了一维没有此条件 径一定是闭合的,不闭合就是 ·电子不受散射时必形成鞋 分数的遍通不能使相位等2 丌的整数倍,因而是不稳定的 hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 种即加4524B32- Fache 体理学 为何引入磁通量子? B 如果用箭头袁示雕通量子,圆饼表示电子 · Landau能级的简并度等于磁场以磁通量子为单 位的数目 就是单位面积内有多少个碰通量子 ·这样,填充因子就等于二维电子气的电子数目 与磁逼量子数目的比 遁量子上的几个电子,能级是不连续的 ·即-电子密度础通密度 磁遁量子上事几个电子,就是被填充到哪个 就是每个碰過量子分配到的电子数目 Landau能级 电子气中电子数固定,磁场越大,就越小v磁场固 定,电子数越大,就魅大 ·磁场强庋小的时候,电子数目大于融场的雕通 敷目,电于平均分在每个磁通量子上,所以每 个磁遁量于总有几个电子与之配对,填充因子 p eb/h 是整数 种p45.2432/ gche 体物理学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 • 对于整数量子霍尔效应的单粒子图象不再适 用：实验条件指明是强关联！ • 新稳定态好象在电子填充Landau能级到一个分 数时产生！而且分母都是奇数！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 6、换个图象看量子霍尔效应 • 二维路径绕一圈必有一点 交点，三维则不然 * 考虑到电子有波动性时这有 很大不同 • 电子波在封闭路径上必须 形成驻波才有稳定态，三 维没有此条件 • 电子不受散射时必形成驻 波 三维路径 二维路径 交点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 磁通量子 • 由量子力学分析可以知道：一个被束 缚在二维空间运动的电子包围整数倍 磁通量子时才是稳定的，即绕磁通量 子一圈位相变化必须正好是2π的整 数倍形成的驻波才是稳定的，因为二 维时路径一定是闭合的，不闭合就是 发散的，而三维则不是 • 否则，分数的磁通不能使相位等于2 π的整数倍，因而是不稳定的 • 用磁通量子作磁场单位 e h Φ0 = Φ0 n Φ0 m n http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 为何引入磁通量子？ • Landau能级的简并度等于磁场以磁通量子为单 位的数目！ * 就是单位面积内有多少个磁通量子 • 这样，填充因子j就等于二维电子气的电子数目 与磁通量子数目的比 * 即j=电子密度/磁通密度 * j就是每个磁通量子分配到的电子数目 * 电子气中电子数固定，磁场越大，j就越小；磁场固 定，电子数越大，j就越大 Φ0 = = B B h e p eB h n p n j / = = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 磁通量子上的几个电子，能级是不连续的 • 磁通量子上串几个电子，就是被填充到哪个 Landau能级 • 磁场强度小的时候，电子数目大于磁场的磁通 数目，电子平均分在每个磁通量子上，所以每 个磁通量子总有几个电子与之配对，填充因子 是整数 j = 1 j = 2 j = 3 • 如果用箭头表示磁通量子，圆饼表示电子
电子磁通量子串形成量子超流体 量子超流体对QHE的解释 j为整数的二维电子和磁遁量子辛,相互排斥 前面遗留的两个问题现在可以解释 (关联形成一种不可压缩的量子流体 基态和激发态之间存在能隙, Landau能级间隔 ·量子超流体没有散射:量子超流体就好象是一 在极低温下,超流体粒子不能获足够的能量跃 济满粒子的非常狭窄的遁道,所有粒子只能 迁到激发态,但低能态又全被占滿,无处 起行动,要么都往前,要么都往后走。因此就 根本没有碰撞和散射没有阻尼机制 射,所以沿电场方向电阻R、=0,对应p平台 ·没有同样配对的电子和磁遁形成准粒子或峡 ·磁场增加,开始礅坏超流态,达到一定程度 后,不再有超流态性质,霍尔电阻平台被破坏 陷,受其他超流体排斥,是局城的 j为整数时,这幡图象比较简单 ·这种准粒子或缺陷只有积系到一定程度,才会 纵向电阻为零得到了解释 攻坏超流体状态 平台的数值与 von klitzing常撒的关系也得到了解释 mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche c体理学 7、分数量子霍尔效应的解释 不可压缩量子超流体 ·当为分数,怎么解释呢? ·这样的圆饼箭头串形成不可压缩量子流体,称 ·强磁场,低载流子浓度才能观察到!从雕通的 为量子超流体 喜这季由于电子密度小于密度如 这种量子超流体的状态与填充因子南关 1/3,还有2/3空着 缩一个系純,等于改变电子密度,改变j当 ·思考:分敷霍尔电阻平台是否意咪着同一 面积和職场新固定时,这样的改变都要改变能 Landau能级里还有空隙? 量,有空隙的存在 ·先看为分数时的磁 遁量子和电子串图 ·这时,可以看成几 雕通穿一个电子 中T 物学 种即加4524B32- Fache 体理学 量子超流体状态在外场下如何变化? 为什么量子超流体中有缺陷? ·并不总是正好所有的电子分配到同样的磁遁 李是想流体*士:画, 超流子都是 学努满个量3这就是子m志 变,才使超流体发生变 化,观察的霍尔电阻才会发生改变 芣经号妥滑手这建子个只m冠陷 但当磁融场增加戴减少,磁通量变而电子敷不变 时,不会立即改变整个量子超流体的状态 出现有些國饼(电 体会排斥它使它 箭头(敬 遁),或有些箭头(磁遁)没有圆饼(电子) 这样的缺陷。这样的缺陷积多了,达到一定 程度,整个系就不再是量子超流体,纵向电 阻不为零,霍尔电阻发生改变 ·栅电压变化时,改变电子数,结果也一样 种p45.2432/ gche 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 电子-磁通量子串形成量子超流体 • j为整数的二维电子和磁通量子串，相互排斥 (关联)形成一种不可压缩的量子流体 • 量子超流体没有散射：量子超流体就好象是一 挤满粒子的非常狭窄的通道，所有粒子只能一 起行动，要么都往前，要么都往后走。因此就 根本没有碰撞和散射——没有阻尼机制 • 没有同样配对的电子和磁通形成准粒子或缺 陷，受其他超流体排斥，是局域的 • 这种准粒子或缺陷只有积累到一定程度，才会 破坏超流体状态 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 量子超流体对IQHE的解释 • 前面遗留的两个问题现在可以解释 • 基态和激发态之间存在能隙，Landau能级间隔 • 在极低温下，超流体粒子不能获足够的能量跃 迁到激发态，但低能态又全被占满，无处可 去，挤在一起，形成所谓的超流， 不会受散 射，所以沿电场方向电阻Rxx=0，对应ρH平台 • 磁场增加，开始破坏超流态，达到一定程度 后，不再有超流态性质，霍尔电阻平台被破坏 • j为整数时，这幅图象比较简单 * 纵向电阻为零得到了解释 * 平台的数值与von Klitzing常数的关系也得到了解释 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 7、分数量子霍尔效应的解释 • 当j为分数，怎么解释呢？ • 强磁场，低载流子浓度才能观察到！从磁通的 观点这是由于电子密度小于磁通密度，如此， 填充因子是分数。Landau能级被占了比如 1/3，还有2/3空着 • 思考：分数霍尔电阻平台是否意味着同一 Landau能级里还有空隙？ • 先看j为分数时的磁 通量子和电子串图 • 这时，可以看成几个 磁通穿一个电子，这 里j=1/3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 不可压缩量子超流体 • 这样的圆饼箭头串形成不可压缩量子流体，称 为量子超流体 • 这种量子超流体的状态与填充因子j有关 • 压缩一个系统，等于改变电子密度，改变j。当 面积和磁场都固定时，这样的改变都要改变能 量，有空隙的存在 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 量子超流体状态在外场下如何变化？ • 需要解释量子超流体如何变化。显然，填充因 子j是一个表示超流体状态的量。因为，这时所 有超流子都是j。如j改变，才使超流体发生变 化，观察的霍尔电阻才会发生改变 • 但当磁场增加或减少，磁通量变而电子数不变 时，不会立即改变整个量子超流体的状态。这 时，会出现有些圆饼（电子）少一个箭头（磁 通），或有些箭头（磁通）没有圆饼（电子） 这样的缺陷。这样的缺陷积累多了，达到一定 程度，整个系统就不再是量子超流体，纵向电 阻不为零，霍尔电阻发生改变 • 栅电压变化时，改变电子数，结果也一样 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 为什么量子超流体中有缺陷？ • 并不总是正好所有的电子分配到同样的磁通 * 当正好都是三个磁通量子配一个电子，而有一个电 子只分配到两个磁通量子，这就是一个j=1/3态缺陷 * 当正好都是三个磁通量子配一个电子，可能只有一 个磁通量子没有任何电子，这也是一个j=1/3态缺陷 • 准粒子 * 由于缺陷的能量稍高，附近的超流体会排斥它使它 孤立出来，其余部分仍保留超流体性质 * 孤立出来的缺陷也可以流动，有自己的动量，能 量，称为准粒子，占据准粒子能级 * 准粒子带电量这样考虑：对少一个磁通量子而言， 相当于多了-1/3e的电量，而对多一个磁通量子而 言，则少了1/3e的电量，这就是准粒子带有的电量
000000 eeQeeQeee @0000000 mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche 电荷的准粒子 电荷的准空穴 o00900000 准粒子或缺陷如何运动? 准粒子不是超流体,准粒子之间会有相互作 用,会受到散射 °准粒子受散射,就会产生电阻 改变外场,一些正常粒子被激发成准粒子,有能腺 ·问:为何准粒子少时,觉察不出来电阻变化? 准粒子能级也有扩展态和局城态! 局城态不参与导电,而扩展态可以到处流动 准粒子数量少时,先占据同域态,但多了后,就填 到扩晨态,参与导电 666 hrp://0.45.24.132/-jgcher 物学 电荷的准空穴 种即加4524B32- Fache 体理学 准粒子如何积累改变超流体状态? ·准粒子被其他完整的圆 饼箭头亭粒子)排斥 准粒子局 当磁场持缥渺少,小于1很多 就产生很多准粒子,准粒子 个通量子穿一个电子 ·随外场变化,准粒子开 始增加,正常粒子减 少,直至洼地全被填 图中的带头球都是准粒 洼地开始连遁 子,量子超流体内其他正 盟 常粒子形成起伏的势 超流态被坏 R开始变,p平台消失 http://.45.24.132/-jigche 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学 6
6 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 电荷的准粒子 3 e − 电荷的准粒子 3 e − http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 电荷的准空穴 33 3 e 电荷的准空穴 3 e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 准粒子或缺陷如何运动？ • 准粒子不是超流体，准粒子之间会有相互作 用，会受到散射 * 准粒子受散射，就会产生电阻 * 改变外场，一些正常粒子被激发成准粒子，有能隙 • 问：为何准粒子少时，觉察不出来电阻变化？ • 准粒子能级也有扩展态和局域态！ * 局域态不参与导电，而扩展态可以到处流动 * 准粒子数量少时，先占据局域态，但多了后，就填 到扩展态，参与导电 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 准粒子如何积累改变超流体状态？ • 准粒子被其他完整的圆 饼箭头串(粒子)排斥 * 排斥势能起伏，准粒子局 域在势能的洼地 * 这时，系统仍然是超流 体，因此Rxx=0，对应ρH 平台 • 随外场变化，准粒子开 始增加，正常粒子减 少，直至洼地全被填 平，洼地开始连通 * 超流态被破坏 * Rxx开始变，ρH平台消失 图中的带箭头球都是准粒 子，量子超流体内其他正 常粒子形成起伏的势 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 3 1 j = 5 2 j = 如果这样的准粒子多到正好每两个电子就 有一个准粒子，即一个准粒子配一个正常 粒子，两个电子就有五个磁通量子，这就 形成新的j=2/5态 当磁场持续减少，小于j=1/3很多 时，就产生很多准粒子，准粒子 是两个磁通量子穿一个电子
如果外场继续减少,这样的准粒子越聚越多, 直到所有的电子和通再次达成新的配对,就 会就发育成新的不可压编量子超流体状态 是一种量子超流体的凝聚现象 产2/5态,又开始建立新的霍尔电阻平台,纵向 电阻又为零 看实验,从中能 严2/5的态称为产1/3的子蠢;产1/3的态称为产2/的 发现什么? 整数1平台以前的 ·如果外场继续小下去,产2/还会生出新的准粒 分数平台出现 电阻增加,电流变化。积到一定程度 在:1/3,2/5, 再形成子态的子态的超流体,再建立霍尔电阻 3/7,4/9,5/9 台。但平台会越来越模糊 4/7,3/5,23, 到職遁量子数和电子数之比为整数 整 5/7,4/5 教平台,然后循环—这样就 FOHE 什么没有1/2? ·问:对这样的解释还有什么凝问? ·这预示什么?能不能有所启发,从这里找证据? ·这幅图象有其他证据吗???? hrp://a.45.24.132/gche/ 体学 即加452432/iche c体理学 统计特性的转换证明图象的合理性 量子约束导致另类统计性质 ·看电子磁遁量于作为一整体的統计性质转换 户1/3又是玻色子, *磁通和电子串在一起是费米子或玻色子? ·看户=1的两个电子磁遁量子,将它们交换位置 ·这样,这种约来产生了一个很有趣的现象 子虾电 通产生的电子磁 相当于一个电子磁通量子绕另一个团定的走半 绕一个磁通量子走半国有丌相位差 电子磁通量子可以变成破色子,也可再变回贵米子 子磁通量子交换不变号,是玻色子 问:两带分敷电荷的准粒子交换位置会怎样? ·同样,看1/2的两个电子薇遁量子, 结杲是相因子改变不是1,也不是1,而是一 释的图和魔電即费子这 个复数=e ·这样户12的霍尔电阻平台不出现是很正常的 周奖m不是3计将态为分激为任 因为贵米子不能占据同一状态—辅助的证据! PRL63,199(1989),证明电子磁遁量子存在 hrp://0.45.24.132/-jgcher 体学 种即加4524B32- Fache 体理学 本讲要点 概念要点 ·量子霍尔效应明显地显示电子关联相互作用 ·FQHE是电子的强关联现象的反映(IOHE的严 电子关联 格解释也需将它视作强关联) ·扩展态,局城态 y么是态:合灌系平究个笑款电 起分到个或几个磁通量子 磁遁量子 ·关联电子激遁量子形咸不可压编量子超流体 电子融通量子 置示尔电阻平台,粒子间无散射,纵向电阻为零 量子超流体准粒子,准空穴 ·电子密度或雕通密度改变时,形成准粒子 超流体的缺陷 直至完全破坏超流态,导致了整教和分 种p45.2432/ gche 体是学 http:/10.45.24.132/-igchey 体物理学
7 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 37 • 如果外场继续减少，这样的准粒子越聚越多， 直到所有的电子和磁通再次达成新的配对，就 会就发育成新的不可压缩量子超流体状态—— j=2/5态，又开始建立新的霍尔电阻平台，纵向 电阻又为零 * j=2/5的态称为j= 1/3的子态；j= 1/3的态称为j=2/5的 母态 • 如果外场继续小下去， j=2/5还会生出新的准粒 子，电阻增加，电流变化。积累到一定程度， 再形成子态的子态的超流体，再建立霍尔电阻 平台。但平台会越来越模糊，一代不如一代。 直到磁通量子数和电子数之比为整数，建立整 数平台，然后循环——这样就解释了FQHE • 问：对这样的解释还有什么疑问？ • 这幅图象有其他证据吗？？？？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 38 是一种量子超流体的凝聚现象 • 看实验，从中能 发现什么？ • 整数1平台以前的 分数平台出现 在：1/3，2/5， 3/7，4/9，5/9， 4/7，3/5，2/3， 5/7，4/5，…， • 为什么没有1/2? • 这预示什么？能不能有所启发，从这里找证据？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 39 统计特性的转换证明图象的合理性！ • 看电子-磁通量子作为一整体的统计性质转换 * 磁通和电子串在一起是费米子或玻色子？ • 看j=1的两个电子-磁通量子，将它们交换位置 * 相当于一个电子-磁通量子绕另一个固定的走半圈 %一个电子绕一个磁通量子走半圈有π相位差，-1 的相因子。加上电子交换本身一个-1，这两个电 子-磁通量子交换不变号，是玻色子！ • 同样，看j=1/2的两个电子-磁通量子， * 等于在j=1上再加了一个磁通，即再增加一个-1，这 样三个-1的相因子相乘，可知j=1/2还是费米子！ • 这样j= 1/2的霍尔电阻平台不出现是很正常的 * 因为费米子不能占据同一状态——辅助的证据！ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 40 量子约束导致另类统计性质 • j=1/3又是玻色子，… • 这样，这种约束产生了一个很有趣的现象 * 处于强磁场约束下的电子，结合磁通产生的电子-磁 通量子，可以改变电子的统计特性？！ * 电子-磁通量子可以变成玻色子，也可再变回费米子 • 问：两带分数电荷的准粒子交换位置会怎样？ • 结果是相因子改变既不是1，也不是-1，而是一 个复数=eiu！ * 因此它既不是玻色子，也不是费米子，而被称为任 意子(anyon)，它的统计可以称为分数统计 • PRL63, 199 (1989)，证明电子-磁通量子存在 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 41 本讲要点 • 量子霍尔效应明显地显示电子关联相互作用 • FQHE是电子的强关联现象的反映(IQHE的严 格解释也需将它视作强关联) * 什么是关联？Æ每个磁通量子平均分配到分数个电 子——即当电子间存在关联时，几个电子关联着一 起分配到一个或几个磁通量子 • 关联电子-磁通量子形成不可压缩量子超流体 * 显示霍尔电阻平台，粒子间无散射，纵向电阻为零 • 电子密度或磁通密度改变时，形成准粒子—— 超流体的缺陷 * 准粒子积累直至完全破坏超流态，导致了整数和分 数量子霍尔效应 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 42 概念要点 • 电子关联 • 扩展态，局域态 • 填充因子 • 磁通量子 • 电子-磁通量子 • 量子超流体——准粒子，准空穴
思考题 习题 能不能用金属来观察量于霍尔效应? 1.试画出产3/7的电于融通量子的箭头圆饼亭 图,再作户4。你能画出产5的箭头圆饼串 图吗? 2.计箕产=37电子通量子的交换性质,是费米 子还是玻色子? mp:/a.45.24.132/chey 体学 即加452432/iche c体理学
8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 思考题 • 能不能用金属来观察量子霍尔效应？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 习题 1. 试画出j=3/7的电子-磁通量子的箭头圆饼串 图，再作 j=4/9。你能画出j=5/9的箭头圆饼串 图吗？ 2. 计算j=3/7电子-磁通量子的交换性质，是费米 子还是玻色子？
