复旦大学：《固体物理学》课程f教学资源（讲稿）第31讲其他输运现象.pdf_大学文库

1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第31讲、其他输运现象 1. 杂质电阻 2. 热导率 3. 热电势 4. Hall系数和磁阻 5. 量子输运 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、杂质电阻 • 晶格或声子散射产生的电阻，纯净金属电阻，亦称为理想电阻 • 低温时，晶格散射可以忽略，仍有电阻，来源于杂质散射Æ杂质使周期性势场被破坏。微扰 Θk k = n k U( ) r k ( ) E( ) () k' − E k 2 2 , ' ψ ' ψ δ π h • 杂质浓度n、散射势场U(r)与温度无关，因此产生的电阻与温度无关 • 假定电子被声子和杂质散射机制互相无关，则总散射几率为两者之和声子杂质 , ' , ' , ' k k k k k k Θ = Θ + Θ 声子杂质 τ τ τ 1 1 1 = + 声子杂质 ρ = ρ + ρ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 杂质势导致的弛豫时间 • 电离杂质附近的电子势能可表示成 r e r Ze U r λ πεε − = − 0 2 4 ( ) • Z是有效电荷数，指数因子是屏蔽作用。根据波恩近似方法，可得散射截面 ( ) ( )2 2 2 2 0 * 2 1 4 2 πεε λ σ ϑ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = K m Ze h 2 ' 2 F sin ϑ K = k −k = k • θ是散射角。以v速度入射至电离杂质，在单位时间内被散射的电子数 v ( )dΩ V N σ ϑ • 比较散射矩阵元后可得 ( ) ( ) V v k k σ ϑ Θ , ',ϑ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 ( ) ϑ vσ () () ϑ n vσ ϑ V N k k I I Θ , ', = = ( )( ) ∫ = σ θ − θ π θ θ τ n v d I 1 cos 2 sin 1 I F 剩余电阻与温度无关 • 由杂质散射导致的弛豫时间为 ( ) ∫ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 2 2 0 * 2 F sin 4 2 2 λ θ θ πεε π K m Ze d n vI h ( ) ( ) ∫ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 2 2 F 3 2 2 2 0 * 2 F 1 2 / 8 4 2 2 k x m Ze x dx n vI πεε λ λ π h 2 sin θ 令x = • 如果有NI个杂质离子，各个又互相独立则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 2、热导率(金属电子) • 金属中电子对导热的贡献 * 实际上是电子与声子的共同贡献 * 金属中电子浓度高得多，因此，电子对导热的贡献一般比声子高两个量级，故金属导热一般指电子 • 自由电子气模型电子对导热的贡献？ * 由理想气体、费米速度和比热与温度关系即可得 • 导热和导电过程中声子对电子的作用 * 导电：声子对电子的散射限制电子无限加速； * 导热：声子对电子的作用要复杂得多 1、维持温度梯度；2、建立热电场使电流为零 • 用Boltzman方程来讨论电子导热问题 T m k n c v 3 3 1 2 B 2 2 V F π τ κ = τ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 即对费米分布求导 • 热流伴随着电流和热电效应，所以电场改变状态项仍保留，与上讲一样保留，即碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & • 存在温度梯度时，分布函数与时间的导数通过 r与温度T发生联系 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ⋅ r r r r r T T E E E E f f 0 0 F F & & τ 0 F F 0 0 f f E T e f T E E E E f − = − ∂ ∂ ⎟ − ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ − v r r r h h & E

2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = + r r v T T E E E e E f f f 0 F F 0 τ E • 利用在电场和温度梯度同时存在时分布函数的一级近似，按电流和热流的定义分别得到电流 J f vdk e ∫ = − 3 4π ∫ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ = − ⋅ + k r r vv d E T f T E E E e e F F 0 3 4 τ E π • 热流 JQ ( ) E E f vdk ∫ = 3 − F 4 1 π ( ) ∫ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ = − ⋅ + k r r vv d E T f T E E E E E e F F 0 3 F 4 1 τ E π • 这里，E-EF作为被传递的热量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 比较复杂，先定义输运系数 ( ) ∫ − ∂ ∂ ⋅ − = vv E E dk E f n n F 0 3 4 1 τ π L • 可以比较简洁地写出电流和热流 r r J ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⋅ + T T E e e e 1 F 0 2 1 L E L r r J ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − ⋅ + T T E e e Q 2 F 1 1 1 L E L • 这里化学势的梯度是通过温度建立的内电场，因此与电场并列在一起 • L是张量，简单起见，只考虑各向同性的情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 • 现在求L ，假定各向同性，只有对角元，则 ( ) ∫ − ⊥ ∂ − ∂ = E E d ds E f v n n x F k 2 0 3 12 1 τ π L x T T e x E J e ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + 1 2 F L0 Ex L x T x T E J e Q ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − + 2 F 1 1 L Ex L ( ) ∫ ∇ − ∂ − ∂ = ds E dE E E E f v n x k F 2 0 3 12 1 τ π • 利用费米分布函数的性质，用Sommerfeld积分 ( ) ( ) ( ) F 2 2 2 B 2 F 0 6 E E E Q dE Q E k T E f Q E = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ≈ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∫ π • 得到 ∫ ∫ = ∇ ≈ 3 F 2 F 0 3 12 12 1 v ds E ds v x E x π h τ τ π F k L ( ) E k T ∂ ∂ ≈ 2 0 B 2 1 3 1 L L π ( ) 0 2 B 2 2 3 1 L ≈ π k T L • 于是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 在等温条件下， L0Ex 2 J = e =σEx J L0 2 σ = e • 金属热导率主要是电子贡献，而晶格热导则是次要的。按热导系数χ写出能量流， =0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − J Q x T J χ • 开路时，J=0，可以利用消去电场包括化学势求导项，就有 x T x eT E ∂ ∂ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + 0 x L L E F 1 1 • 得 x T T JQ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 L L L 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 L L L 2 2 1 T χ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 Wiederman-Franz定律 • 后一项可认为是对Lorenz数的修正 • 这是弹性散射的结果，要求能量的改变远小于 kBT，即低温，电子主要受杂质散射 • 在高温时，主要受声子散射，电导率反比T，所以热导率与温度无关 T L2 χ ≈ ( ) 0 2 B 2 3 1 k T L T = π T e k σ π 2 B 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • 如果略去后一项，得 2 B 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = e k T L π σ χ • 于是可得 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 L L 2 2 T T L σ χ σ • 即Lorenz数为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 3、热电势 • 前面说过，在电子导热过程中，电子—声子散射作用要复杂得多，不但要维持温度梯度，还要建立电场使电流为零——热电现象 • 电场下，电子加速，受声子散射形成稳定电流，测量电流有两种条件 * 等温条件：整个导体处于热平衡中 * 绝热条件：理想情况将出现 # 沿电流方向出现温度梯度 # 电流进口一端致冷，而出口升温 • 电子在电场和温度场同时存在下运动的结果

3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 Seebeck效应 • 1822年Seebeck发现将不同导体1和2两端结合成环（热偶），接头处保持不同温度T’和T”，那么环路中将有电流通过，即存在电动势 * ——温差电动势 • 前面的温度梯度引起的电场可以解释这个现象 x T S ∂ ∂ Ex = L0 1 L1 eT S = − F ln 3 2 B 2 E E E e k T ∂ = ∂ = − π σ • 形式简单，实际复杂，电导率是对费米面积分，在等能面为球面，而弛豫时间又是各向同性情况下，利用 ( ) * F 2 m ne τ E σ = () () ∫−∞ = EF n E N E dE ( ) F 1 3 2 B 2 n E E N E e k T S ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + τ τ π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 • 这正是电子对比热的贡献 * 电子由低温跨越单位梯度进入高温时所吸收的热量 ( ) F F 2 3 nE N E = Ve c E e k T S = k = 1 2 3 3 F B B 2 π • 利用自由电子气体的态密度， • 略去对弛豫时间的导数，得 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 4、Hall系数和磁阻 • Boltzmann方程，稳定时，第一项为零 • 同时有电场和磁场使电子状态改变碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & ( ) τ 0 e f f − f = − ∂ ∂ − + × ⋅ k E v B h • 假定线性响应，第一项为 k E k E ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ ⋅ 0 e f e f h h • 同时有 ( ) ( ) 0 0 0 = ∂ ∂ = × ⋅ ∂ ∂ × ⋅ E f f v B v k v B ( ) k v B k E ∂ ∂ = − − + × ⋅ ∂ ∂ − ⋅ 0 1 1 e f f e f h τ h • 所以 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 尝试解（D待定矢量） E f f e ∂ ∂ = ⋅ 0 1 τv D • 代入后得 v ⋅E = v ⋅D − ( ) v×B ⋅D m* eτ E = D − B× D m* eτ • 稳态电流密度 ( ) ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − = ⋅ − dE ds E e f f d e v J v k v v D h 0 F 3 2 3 1 4 4 τ π π • 与前相比 J = σ 0D 0 0 ρ =1/σ • 于是 E = 0J − 0B× J * ρ τ ρ m e • 矢量运算 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 沿电流方向 E// = ρ0J • 磁场不改变样品电阻，磁阻为零。如B与J垂直，横向Hall场为 BJ m e E 0 * ρ τ H = − • Hall系数为 m ne e R 1 * H = − ρ0 = − τ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 磁阻 • 如果有两种载流子，有不同有效质量 • 由 E = D − B× D m* eτ D E B×E + + + = 2 2 2 2 1 / * 1 1 ω τ τ ω τ c c e m • 总电流为两种载流子电流和 J = J1 + J2 =σ 10D +σ 20D J E B×E ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 2 2 2 * 20 2 2 2 1 2 * 10 1 1 2 2 2 20 2 1 2 10 1 / 1 / 1 1 ω τ σ τ ω τ σ τ ω τ σ ω τ σ c c c c e m e m y c c c c x c c J x E E⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 2 2 2 2 20 2 2 2 1 2 1 10 1 1 2 2 2 2 20 2 1 2 1 10 1 1 1 1 ω τ σ ω τ ω τ σ ω τ ω τ σ ω τ • B=Bz σ y c c x c c c c J y E E⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 2 2 2 2 20 2 1 2 1 10 2 2 2 2 20 2 2 2 1 2 1 10 1 1 1 1 1 1 ω τ σ ω τ σ ω τ σ ω τ ω τ σ ω τ 0 J = J1 + J2 = σ1D1 +σ 2D2

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