第31讲、其他输运现象 1、杂质电阻 1.杂质电阻 晶格或声子散射产生的电阻,纯净金属电阻, 亦称为理想电阻 2.热导率 低温时,晶格散射可以忽略,仍有电阻,来源 3.热电势 于杂质散射→杂质使周期性势场被破坏。微扰 4.Ha!系数和薇阻 =2小vp()a(k)-E) 质浓度、散射势场U(r)与湿度无关,因此产 生的电阻与温度无关 假定电子被声子和杂质散射机制互相无关,则 总散射几率为两者之和 e.=e声子+白杂 种p∥45.2413che國体学 体理学 杂质势导致的弛豫时间 如果有N个杂质离子,各个又互相独立则 e(k,k,9)=ro(9)=no({9) 电高杂质附近的电子势能可表示成U(r)=-4mc 由杂质散射导致的弛豫时间为 Z是有效电荷教,指数因子是屏蔽作用。根据 波恩近似方法,可得散射截面 2m ze- mze ·0是散射角。以度入射至电离杂质,在单 rdx 位时间内被散射的电子数 4xaA)+2k1/2)x 比较散射矩阵元后可得(k,.)= 剩余电阻与湿度无关 p45.2413gche回帅物 趣452413 binche体嚼理学 2、热导率(金属电子)x=中=3m7 ,9+k.g= 金中电子对导热的贡献 实际上是电子与声子的共同页献 ·存在温度梯度时,分布函敷与时间的导數通过 r与温度T发生联系 自由电子气模型电子对导热的贡献 2-“{, 由理想气体、贵米速度和比热与温度关系即可得 即对费米分布求导 导热和导电过程中声子对电子的作用 ·热流伴随着电流和热电效应,所以电场改变状 导电:声子对电子的敝射限制电子无限加速; 态项仍保留,与上讲一样保留,即 导热:声子对电子的作用要复杂得多 维持温度梯度;2、建立热电场使电流为零 dfo E-E aT)_eEhy%o=_f-fo 用 Boltzman方程来讨论电子导热问题 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第31讲、其他输运现象 1. 杂质电阻 2. 热导率 3. 热电势 4. Hall系数和磁阻 5. 量子输运 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、杂质电阻 • 晶格或声子散射产生的电阻，纯净金属电阻， 亦称为理想电阻 • 低温时，晶格散射可以忽略，仍有电阻，来源 于杂质散射Æ杂质使周期性势场被破坏。微扰 Θk k = n k U( ) r k ( ) E( ) () k' − E k 2 2 , ' ψ ' ψ δ π h • 杂质浓度n、散射势场U(r)与温度无关，因此产 生的电阻与温度无关 • 假定电子被声子和杂质散射机制互相无关，则 总散射几率为两者之和 声子 杂质 , ' , ' , ' k k k k k k Θ = Θ + Θ 声子 杂质 τ τ τ 1 1 1 = + 声子 杂质 ρ = ρ + ρ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 杂质势导致的弛豫时间 • 电离杂质附近的电子势能可表示成 r e r Ze U r λ πεε − = − 0 2 4 ( ) • Z是有效电荷数，指数因子是屏蔽作用。根据 波恩近似方法，可得散射截面 ( ) ( )2 2 2 2 0 * 2 1 4 2 πεε λ σ ϑ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = K m Ze h 2 ' 2 F sin ϑ K = k −k = k • θ是散射角。以v速度入射至电离杂质，在单 位时间内被散射的电子数 v ( )dΩ V N σ ϑ • 比较散射矩阵元后可得 ( ) ( ) V v k k σ ϑ Θ , ',ϑ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 ( ) ϑ vσ () () ϑ n vσ ϑ V N k k I I Θ , ', = = ( )( ) ∫ = σ θ − θ π θ θ τ n v d I 1 cos 2 sin 1 I F 剩余电阻与温度无关 • 由杂质散射导致的弛豫时间为 ( ) ∫ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 2 2 0 * 2 F sin 4 2 2 λ θ θ πεε π K m Ze d n vI h ( ) ( ) ∫ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 2 2 F 3 2 2 2 0 * 2 F 1 2 / 8 4 2 2 k x m Ze x dx n vI πεε λ λ π h 2 sin θ 令x = • 如果有NI个杂质离子，各个又互相独立则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 2、热导率(金属电子) • 金属中电子对导热的贡献 * 实际上是电子与声子的共同贡献 * 金属中电子浓度高得多，因此，电子对导热的贡献 一般比声子高两个量级，故金属导热一般指电子 • 自由电子气模型电子对导热的贡献？ * 由理想气体、费米速度和比热与温度关系即可得 • 导热和导电过程中声子对电子的作用 * 导电：声子对电子的散射限制电子无限加速； * 导热：声子对电子的作用要复杂得多 1、维持温度梯度；2、建立热电场使电流为零 • 用Boltzman方程来讨论电子导热问题 T m k n c v 3 3 1 2 B 2 2 V F π τ κ = τ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 即对费米分布求导 • 热流伴随着电流和热电效应，所以电场改变状 态项仍保留，与上讲一样保留，即 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & • 存在温度梯度时，分布函数与时间的导数通过 r与温度T发生联系 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ⋅ r r r r r T T E E E E f f 0 0 F F & & τ 0 F F 0 0 f f E T e f T E E E E f − = − ∂ ∂ ⎟ − ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ − v r r r h h & E
MleE+ EE+E-EE aT 比较复杂,先定义输运系数 利用在电场和温度梯度同时存在时分布函数的 一级近似,按电流和热流的定义分别得到电流 ·可以比较简洁地写出电流和热流 在+E-E J=e2∠g+10E 热流 J=-4{2+1E--2a 这里,EE作为被传递的热量 ·这里化学势的梯度是通过温度建立的内电场 因此与电场并列在一起 是张量,简单起见,只考虑各向同性的情况 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 现在求,假定各向同性,只有对角元, 在等温条件下,J=2∠1E.J=0E.a=e 4“+:题(-Er由 金属热导率主要是电子贡献,而晶格热导则是 ·利用费米分布函数的性质,用 Sommerfeld积分 次要的。按热导系数x写出能量流 ·得到=Jm ·开路时,=0,可以利用消去电场包括化学势 求导项,就有 (kr)∠ 于是 J axti ax rp的a45.24132人 趣452413 binche体嚼理学 Wiederman-Fran定律 3、热电势 ·如果略去后一项,得 前面说过,在电子导热过程中,电子一声子散 射作用要复杂得多,不但要维持温度梯度,还 要建立电场使电流为零热电现象 即orm数为2“ ·电场下,电子加速,受声子散射形成稳定电 流,测量电流有两种条件 ·于是可得 ·等温条件:整个导体处于热平衡中 后一项可认为是对 Loren数的修正 ·绝热条件:理想情况将出现 ·这是弹性散射的结果 能量的改变远小于 #沿电流方向出现温度梯度 knT,即低温,电子主要受杂质散射 #电流进口一端致冷,而出口升温 在高温时,主要受声子散射,电导率反比T 电子在电场和温度场同时存在下运动的结果 所以热导率与温度无关 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = + r r v T T E E E e E f f f 0 F F 0 τ E • 利用在电场和温度梯度同时存在时分布函数的 一级近似，按电流和热流的定义分别得到电流 J f vdk e ∫ = − 3 4π ∫ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ = − ⋅ + k r r vv d E T f T E E E e e F F 0 3 4 τ E π • 热流 JQ ( ) E E f vdk ∫ = 3 − F 4 1 π ( ) ∫ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ + ∂ ∂ = − ⋅ + k r r vv d E T f T E E E E E e F F 0 3 F 4 1 τ E π • 这里，E-EF作为被传递的热量 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 比较复杂，先定义输运系数 ( ) ∫ − ∂ ∂ ⋅ − = vv E E dk E f n n F 0 3 4 1 τ π L • 可以比较简洁地写出电流和热流 r r J ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⋅ + T T E e e e 1 F 0 2 1 L E L r r J ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − ⋅ + T T E e e Q 2 F 1 1 1 L E L • 这里化学势的梯度是通过温度建立的内电场， 因此与电场并列在一起 • L是张量，简单起见，只考虑各向同性的情况 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 • 现在求L ，假定各向同性，只有对角元，则 ( ) ∫ − ⊥ ∂ − ∂ = E E d ds E f v n n x F k 2 0 3 12 1 τ π L x T T e x E J e ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + 1 2 F L0 Ex L x T x T E J e Q ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − + 2 F 1 1 L Ex L ( ) ∫ ∇ − ∂ − ∂ = ds E dE E E E f v n x k F 2 0 3 12 1 τ π • 利用费米分布函数的性质，用Sommerfeld积分 ( ) ( ) ( ) F 2 2 2 B 2 F 0 6 E E E Q dE Q E k T E f Q E = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ≈ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∫ π • 得到 ∫ ∫ = ∇ ≈ 3 F 2 F 0 3 12 12 1 v ds E ds v x E x π h τ τ π F k L ( ) E k T ∂ ∂ ≈ 2 0 B 2 1 3 1 L L π ( ) 0 2 B 2 2 3 1 L ≈ π k T L • 于是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 在等温条件下， L0Ex 2 J = e =σEx J L0 2 σ = e • 金属热导率主要是电子贡献，而晶格热导则是 次要的。按热导系数χ写出能量流， =0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − J Q x T J χ • 开路时，J=0，可以利用消去电场包括化学势 求导项，就有 x T x eT E ∂ ∂ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + 0 x L L E F 1 1 • 得 x T T JQ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 L L L 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 L L L 2 2 1 T χ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 Wiederman-Franz定律 • 后一项可认为是对Lorenz数的修正 • 这是弹性散射的结果，要求能量的改变远小于 kBT，即低温，电子主要受杂质散射 • 在高温时，主要受声子散射，电导率反比T， 所以热导率与温度无关 T L2 χ ≈ ( ) 0 2 B 2 3 1 k T L T = π T e k σ π 2 B 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • 如果略去后一项，得 2 B 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = e k T L π σ χ • 于是可得 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 L L 2 2 T T L σ χ σ • 即Lorenz数为 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 3、热电势 • 前面说过，在电子导热过程中，电子—声子散 射作用要复杂得多，不但要维持温度梯度，还 要建立电场使电流为零——热电现象 • 电场下，电子加速，受声子散射形成稳定电 流，测量电流有两种条件 * 等温条件：整个导体处于热平衡中 * 绝热条件：理想情况将出现 # 沿电流方向出现温度梯度 # 电流进口一端致冷，而出口升温 • 电子在电场和温度场同时存在下运动的结果
Seebeck效应 ·利用自由电子气体的态密度 1822年 Seebeck.发现将不同导体1和2两端结合 成环(热偶),接头处保持不同温度T和T” 那么环略中将有电流通过,即存在电动势 ·略去对弛时间的导敷,得 温差电动势 前面的温度梯度引起的电场可以解释这个现泉 32E;e= 这正是电子对比热的贡献 际复杂,电导率是对费米面 电子出低温越单位梯良进入高温时所吸收的热量 等能面为球面,而弛豫时间又是各向同 性情况下,利用 =-5)()=(aEs KT(N()Ia n t aE 体理学 4、Ha系数和磁阻 ·尝试解(D待定失量)=eND 24-() 代入后得、E=vD-2(vxB)D Boltzmann方程,稳定时,第一项为零 矢量迳算E=D-BxD 同时有电场和融场使电子状态改变 稳态电流密度 dossed 假定线性响应,第一项为E 与前相比J=aD 时有(xB 于是 所以-1 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 沿电流 磁阻 J=,+J,=a,D,+oD ·如果有两种載流子,有不同有效质量 ·磁场不改变样品电阻,磁阻为零。如B与』垂 由E=D-“B×DD E 直,横向Ha场为 总电流为两种载流子电流和 1+o2r21+r2 l承数为 B 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 Seebeck效应 • 1822年Seebeck发现将不同导体1和2两端结合 成环（热偶），接头处保持不同温度T’和T”， 那么环路中将有电流通过，即存在电动势 * ——温差电动势 • 前面的温度梯度引起的电场可以解释这个现象 x T S ∂ ∂ Ex = L0 1 L1 eT S = − F ln 3 2 B 2 E E E e k T ∂ = ∂ = − π σ • 形式简单，实际复杂，电导率是对费米面积 分，在等能面为球面，而弛豫时间又是各向同 性情况下，利用 ( ) * F 2 m ne τ E σ = () () ∫−∞ = EF n E N E dE ( ) F 1 3 2 B 2 n E E N E e k T S ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + τ τ π http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 • 这正是电子对比热的贡献 * 电子由低温跨越单位梯度进入高温时所吸收的热量 ( ) F F 2 3 nE N E = Ve c E e k T S = k = 1 2 3 3 F B B 2 π • 利用自由电子气体的态密度， • 略去对弛豫时间的导数，得 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 4、Hall系数和磁阻 • Boltzmann方程，稳定时，第一项为零 • 同时有电场和磁场使电子状态改变 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & ( ) τ 0 e f f − f = − ∂ ∂ − + × ⋅ k E v B h • 假定线性响应，第一项为 k E k E ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ ⋅ 0 e f e f h h • 同时有 ( ) ( ) 0 0 0 = ∂ ∂ = × ⋅ ∂ ∂ × ⋅ E f f v B v k v B ( ) k v B k E ∂ ∂ = − − + × ⋅ ∂ ∂ − ⋅ 0 1 1 e f f e f h τ h • 所以 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 • 尝试解（D待定矢量） E f f e ∂ ∂ = ⋅ 0 1 τv D • 代入后得 v ⋅E = v ⋅D − ( ) v×B ⋅D m* eτ E = D − B× D m* eτ • 稳态电流密度 ( ) ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − = ⋅ − dE ds E e f f d e v J v k v v D h 0 F 3 2 3 1 4 4 τ π π • 与前相比 J = σ 0D 0 0 ρ =1/σ • 于是 E = 0J − 0B× J * ρ τ ρ m e • 矢量运算 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 沿电流方向 E// = ρ0J • 磁场不改变样品电阻，磁阻为零。如B与J垂 直，横向Hall场为 BJ m e E 0 * ρ τ H = − • Hall系数为 m ne e R 1 * H = − ρ0 = − τ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 磁阻 • 如果有两种载流子，有不同有效质量 • 由 E = D − B× D m* eτ D E B×E + + + = 2 2 2 2 1 / * 1 1 ω τ τ ω τ c c e m • 总电流为两种载流子电流和 J = J1 + J2 =σ 10D +σ 20D J E B×E ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 2 2 2 * 20 2 2 2 1 2 * 10 1 1 2 2 2 20 2 1 2 10 1 / 1 / 1 1 ω τ σ τ ω τ σ τ ω τ σ ω τ σ c c c c e m e m y c c c c x c c J x E E⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 2 2 2 2 20 2 2 2 1 2 1 10 1 1 2 2 2 2 20 2 1 2 1 10 1 1 1 1 ω τ σ ω τ ω τ σ ω τ ω τ σ ω τ • B=Bz σ y c c x c c c c J y E E⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 2 2 2 2 20 2 1 2 1 10 2 2 2 2 20 2 2 2 1 2 1 10 1 1 1 1 1 1 ω τ σ ω τ σ ω τ σ ω τ ω τ σ ω τ 0 J = J1 + J2 = σ1D1 +σ 2D2
横向电流为零,可得E,低场下a<L=12 本讲要点 ·按定义R1=E=ikm+osn 热导率 2,=12 1+-r ·金属中热导主要是电子的贡献,晶格振动是次的 热电势 J.(4+A2)+(C1+C2) ·在电子导热过程中,电子声子散射作用要复杂 ·利用o。=eB/m,令=er;/m 多,不但要维持温度梯度,还妥建立电场使电流为 磁阻 ·两种流子,不同有效质量 P 高场(4on+H2an) P高场(uan+2o 种:a45.24I32che國体学 趣4524l3 Vince体物理学 概念要点 思考问题 1.在 Boltzmann:方程的弛豫时间近似中,弛豫时 间代表什么物理意义? 2.能不能用自由电子气体模型定性说明热电现 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 题 ·6.4 种45.2413yche是学
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 横向电流为零，可得Ey，低场下 ωciτ i <<1, i =1,2 • 按定义 ( )2 10 20 H2 2 H1 20 2 10 H σ σ σ σ + + = = R R BJ E R x y , 1,2 1 , 1 2 2 0 2 2 0 = + = + A = C i ci i i ci i i ci i i i ω τ σ ω τ ω τ σ • 令 ( )( )2 1 2 2 1 2 1 2 A A C C A A J E x x + + + + ρ = = • 利用 ，令 * / ci mi ω = eB * / i i mi μ = eτ 10 20 0 1 σ σ ρ + = • 经运算可得 ( ) ( )( )2 2 1 10 2 20 2 10 20 2 2 10 20 1 2 0 0 0 B B σ σ μ σ μ σ σ σ μ μ ρ ρ ρ ρ ρ + + + − = − = Δ ( ) ( ) 2 2 10 20 2 10 20 1 2 0 B σ σ σ σ μ μ ρ ρ + − = Δ 低场 ( ) ( )2 1 10 2 20 2 10 20 1 2 0 μ σ μ σ σ σ μ μ ρ ρ + − = Δ 高场 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 本讲要点 • 热导率 * 热流伴随着电流和热电效应 * 金属中热导主要是电子的贡献，晶格振动是次要的 • 热电势 * 在电子导热过程中，电子—声子散射作用要复杂得 多，不但要维持温度梯度，还要建立电场使电流为 零 • 磁阻 * 两种载流子，不同有效质量 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 L L L 2 2 1 T χ T e k σ π 2 B 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ ( ) ( ) 2 2 10 20 2 10 20 1 2 0 B σ σ σ σ μ μ ρ ρ + − = Δ 低场 ( ) ( )2 1 10 2 20 2 10 20 1 2 0 μ σ μ σ σ σ μ μ ρ ρ + − = Δ 高场 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 概念要点 • 磁阻 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 思考问题 1. 在Boltzmann方程的弛豫时间近似中，弛豫时 间代表什么物理意义？ 2. 能不能用自由电子气体模型定性说明热电现 象？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 习题 • 6.4
