习题三 3-1惯性系S′相对惯性系S以速度u运动.当它们的坐标原点O与O重合时,t=t=0,发 出一光波,此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观 测的波阵面的方程. 解:由于时间和空间都是均匀的,根据光速不变原理,光讯号为球面波.波阵面方程为: x2+y2+z2=(ct)2 x2+y2+z2=(ct)2 x2+y2+z=(c)2 ++ x2+y2+z=(ct)2 题3-1图 3-2设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为21.试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测 到同一光信号到达前、后门的时间差 解:设光讯号到达前门为事件1,在车厢(S)系时空坐标为(x1)=(-),在车站(S)系: 1=y(+2x)=y(+2)=(1+) 光信号到达后门为事件2,则在车厢(S)系坐标为(x2,t)=(-1,),在车站(S)系: t2=(t2+=2x2)=(1- 于是 t2-t1=2 或者 t'=0,t=t1-t2,x=x1-x2=2 △t=y(△t+2ax)=y(22) c 3-3惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动,取两坐标原点重合时刻作为计 时起点.在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=610m,t1=2×10s,以及x2=12× 10m,t2=1×10s.已知在S系中测得该两事件同时发生.试问:(1)S′系相对S系的速度 是多少?(2)S系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解:设(S)相对S的速度为v
1 习题三 3-1 惯性系S′相对惯性系 S 以速度 u 运动．当它们的坐标原点 O 与 O 重合时， t =t =0，发 出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观 测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为： 2 2 2 2 x + y + z = (ct) 2 2 2 2 x + y + z = (ct) 题 3-1 图 3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2 l ．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测 到同一光信号到达前、后门的时间差． 解: 设光讯号到达前门为事件 1 ，在车厢 (S) 系时空坐标为 ( , ) ( , ) 1 1 c l x t = l ，在车站 (S) 系： ( ) ( ) (1 ) 1 1 2 1 2 c u c l l c u c l x c u t = t + = + = + 光信号到达后门为事件 2 ，则在车厢 (S) 系坐标为 ( , ) ( , ) 2 2 c l x t = −l ，在车站 (S) 系： ( ) (1 ) 2 2 2 2 c u c l x c u t = t + = − 于是 2 1 2 2 c lu t t − = − 或者 t 0, t t t , x x x 2l = = 1 − 2 = 1 − 2 = ( ) ( 2 ) 2 2 l c u x c u t = t + = 3-3 惯性系S′相对另一惯性系 S 沿 x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计 时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为 1 x =6×104 m, 1 t =2×10-4 s，以及 2 x =12× 104 m, 2 t =1×10-4 s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度 是多少? (2) S 系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设 (S) 相对 S 的速度为 v
t1=y(1 XI 12=y(42 由题意 2-1=0 则 C (2)由洛仑兹变换 x=y(x1-v41)x2=r(x2-vt2) 代入数值, x2-x1=52×10m 3-4长度l=1m的米尺静止于S′系中,与x轴的夹角6=30°,S′系相对S系沿x轴 运动,在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为6=4 试求:(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度 解:(1)米尺相对S"静止,它在x’y轴上的投影分别为 Lr=Lo cos0=0.866m, Ly=Lo sin 8=0.5m 米尺相对S沿x方向运动,设速度为v,对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩,而y方 向的长度不变,即 L 故 tan e L 把O=45°及L,L代入 0.5 则得 0.866 v=0.816c (2)在S系中测得米尺长度为L=L,=0707m sn45° 2
2 (1) ( ) 1 1 2 1 x c v t = t − ( ) 2 2 2 2 x c v t = t − 由题意 t 2 − t 1 = 0 则 ( ) 2 1 2 2 1 x x c v t − t = − 故 8 2 1 2 2 1 1.5 10 2 = − = − − − = c x x t t v c 1 m s − (2)由洛仑兹变换 ( ), ( ) 1 1 1 2 2 2 x = x −vt x = x −vt 代入数值， 5.2 10 m 4 x2 − x1 = 3-4 长度 0 l =1 m 的米尺静止于S′系中，与 x ′轴的夹角 '= 30°，S′系相对S系沿 x 轴 运动，在S系中观测者测得米尺与 x 轴夹角为 = 45 ． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对 S 静止，它在 x , y 轴上的投影分别为： Lx = L0 cos = 0.866 m， L y = L0 sin = 0.5 m 米尺相对 S 沿 x 方向运动，设速度为 v ，对 S 系中的观察者测得米尺在 x 方向收缩，而 y 方 向的长度不变，即 x x Ly Ly c v L = L 1− , = 2 2 故 2 2 1 tan c v L L L L L L x y x y x y − = = = 把 ο = 45 及 Lx Ly , 代入 则得 0.866 0.5 1 2 2 − = c v 故 v = 0.816 c (2)在 S 系中测得米尺长度为 0.707 m sin 45 = = Ly L
35一门宽为a,今有一固有长度l0(l>a)的水平细杆,在门外贴近门的平面内沿其长度 方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门,则该杆相对于门的 运动速率至少为多少? 解:门外观测者测得杆长为运动长度,1=1-(2,当1≤a时,可认为能被拉进门 则 a≤l1-(“)2 解得杆的运动速率至少为:u=c,|1-( 题3-6图 3-6两个惯性系中的观察者O和O以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果O 测得两者的初始距离是20m,则O测得两者经过多少时间相遇 解:O测得相遇时间为△t O测得的是固有时△ 889×10-8s, B=-=06 C 0.8 或者,O′测得长度收缩 Lo V1-B2 062=0 0.81。08×20 =8.89×10-s 06c0.6×3×108 3-7观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S"中,甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为4s,而乙测得这两个事件的时间间隔为5s.求 (1)S′相对于S的运动速度 (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离
3 3-5 一门宽为 a ，今有一固有长度 0 l ( 0 l ＞ a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度 方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的 运动速率 u 至少为多少? 解: 门外观测者测得杆长为运动长度， 2 0 1 ( ) c u l = l − ，当 1 a 时，可认为能被拉进门， 则 2 0 1 ( ) c u a l − 解得杆的运动速率至少为： 2 0 1 ( ) l a u = c − 题 3-6 图 3-6两个惯性系中的观察者 O 和 O 以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果 O 测得两者的初始距离是20m，则 O 测得两者经过多少时间相遇? 解: O 测得相遇时间为 t v c L t 0.6 0 20 = = O 测得的是固有时 t ∴ v t L t 2 0 1 − = = 8.89 10 s −8 = ， = = 0.6 c v ， 0.8 1 = ， 或者， O 测得长度收缩， v L L = L 1− = L 1− 0.6 = 0.8L0 ,t = 2 0 2 0 8.89 10 s 0.6 3 10 0.8 20 0.6 0.8 8 8 0 − = = = c L t 3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 S 和 S 中，甲测得在同一地点发生的两事件的 时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S 相对于 S 的运动速度． (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解:甲测得A=4s,4x=0,乙测得=5s,坐标差为△x=x2-x (1) Y(At +Ax)=2At △t △ 解出 2-(x2=--(3)=3c 1.8×10 △t′5 △x'=y(Ax-v27M4 L=0 53 4=-3c=-9×10 4 负号表示x2-x1<0 3-8一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.如果宇航员希望把这路程缩短为3光年,则 他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解 =3=l√1-B2=51-B2,则 B 3-9论证以下结论:在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点,在有相对运动的其他 惯性系中,这两个事件一定不同时 证:设在S系A、B事件在a,b处同时发生,则Ax=x6-x,M=t4-tB,在S系中测得 t-t=y(△ Lr) Mt=0.△x≠0, △t’≠0 即不同时发生 0试证明 (1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的,则对一切惯性系来说这两个事件的时 间间隔,只有在此惯性系中最短 (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的,则对一切惯性关系来说这两个事件的空间 间隔,只有在此惯性系中最短 解:(1)如果在S′系中,两事件A、B在同一地点发生,则△x=0,在S系中 M=mMt'≥△r',仅当v=0时,等式成立,∴M最短
4 解: 甲测得 t = 4 s,x = 0,乙测得 t = 5 s ，坐标差为 2 1 x = x − x ′ (1)∴ t c v x t c v t t − = + = 2 2 1 ( ) 1 ( ) 5 4 1 2 2 = − = t t c v 解出 c c t t v c 5 3 ) 5 4 1 ( ) 1 ( 2 2 = − = = − 8 = 1.810 1 m s − (2) ( ) , 0 4 5 , = = = − = x t t x x v t ∴ 4 3 9 10 m 5 3 4 5 8 x = −vt = − c = − c = − 负号表示 x2 − x1 0． 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则 他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解: 2 2 2 0 1 5 3 l = 3 = l 1− = 5 1− ,则 = − ∴ v c c 5 4 25 9 = 1− = 3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他 惯性系中，这两个事件一定不同时． 证: 设在 S 系 A、B 事件在 a,b 处同时发生，则 b a A B x = x − x ,t = t − t ，在 S 系中测得 ( ) 2 x c v t t t t = B − A = − t = 0,x 0 ， ∴ t 0 即不同时发生． 3-10 试证明： (1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时 间间隔，只有在此惯性系中最短． (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间 间隔，只有在此惯性系中最短． 解: (1)如果在 S 系中，两事件 A、B 在同一地点发生，则 x = 0 ，在 S 系中， t = t t ，仅当 v = 0 时，等式成立，∴ t 最短．
(2)若在S"系中同时发生,即M'=0,则在S系中,Ax=Ax’≥Ax’,仅当v=0时等式 成立,∴S系中△x’最短. 3-11根据天文观测和推算,宇宙正在膨胀,太空中的天体都远离我们而去.假定地球上观 察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为0.50s,且这颗星正沿观察方向以速 度0.8c离我们而去.问这颗星的固有周期为多少? 解:以脉冲星为S’系,△x'=0,固有周期△r'=ro·地球为S系,则有运动时M1=M’, 这里M1不是地球上某点观测到的周期,而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考 虑因飞行远离信号的传递时间 Mt=△t1+ =NAt+-yA ∠4r(1 ro=△t'= 0.5 A(1+-)(1 oy 0.5 0.3 =0.1666s (1+0.8) 1.8 3-126000m的高空大气层中产生了一个丌介子以速度v=0.998c飞向地球.假定该丌介子 在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10°s.试分别从下面两个角度,即地球上的 观测者和π介子静止系中观测者来判断丌介子能否到达地球 解:丌介子在其自身静止系中的寿命A0=2×10°s是固有(本征)时间,对地球观测者, 由于时间膨胀效应,其寿命延长了.衰变前经历的时间为 A =3.16×10-5s 这段时间飞行距离为d=v=9470m 因d>6000m,故该丌介子能到达地球 或在π介子静止系中,π介子是静止的.地球则以速度v接近介子,在M0时间内,地球接
5 (2)若在 S 系中同时发生，即 t = 0 ，则在 S 系中， x = x x ，仅当 v = 0 时等式 成立，∴ S 系中 x 最短． 3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观 察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速 度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为 S 系， x = 0 ，固有周期 0 t = .地球为 S 系，则有运动时 t = t 1 ， 这里 1 t 不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考 虑因飞行远离信号的传递时间， c v t 1 ∴ t c v t c v t t t = + = + 1 1 ′ (1 ) c v = t + 0.6 1 ) 0.8 1 ( 1 2 = − = c c 则 ) 0.8 (1 0.5 (1 ) 0 c c c v t t + + + = = 0.1666 s 1.8 0.3 0.6 1 (1 0.8) 0.5 = = + = 3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个 介子以速度 v =0.998c飞向地球．假定该 介子 在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6 s．试分别从下面两个角度，即地球上的 观测者和 介子静止系中观测者来判断 介子能否到达地球． 解: 介子在其自身静止系中的寿命 2 10 s 6 0 − t = 是固有(本征)时间，对地球观测者， 由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为 3.16 10 s 1 5 2 2 0 − = − = c v t t 这段时间飞行距离为 d = vt = 9470 m 因 d 6000 m ，故该 介子能到达地球． 或在 介子静止系中， 介子是静止的．地球则以速度 v 接近介子，在 0 t 时间内，地球接
近的距离为d"=vM=599m do=6000m经洛仑兹收缩后的值为 379m d">d,故丌介子能到达地球 3-13设物体相对S′系沿x轴正向以0.8c运动,如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是 0.8c,问物体相对S系的速度是多少 解:根据速度合成定理,u=08c,v=0.8c 08c+0.8c=0.98 1=08c×08 C 3-14飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行,飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向 飞行.当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹.在B飞船的观 测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解:取B为S系,地球为S'系,自西向东为x(x)轴正向,则A对S系的速度v=0.8c, S系对S系的速度为=06c,则A对S系(B船)的速度为 0.8+06c=0.946c T1+048 发射弹是从A的同一点发出,其时间间隔为固有时A'=2s 系 地球 题3-14图 ∴B中测得的时间间隔为: =6.17s √1-0.9462 3-15(1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行.试求由火箭 B测得A的速度.(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动,火箭B的速度不变
6 近的距离为 d = vt 0 = 599 m d0 = 6000 m 经洛仑兹收缩后的值为： 1 2 379 m 2 0 = 0 − = c v d d d d0 ，故 介子能到达地球． 3-13 设物体相对S′系沿 x 轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是 0.8c，问物体相对S系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理， u = 0.8 c , v c x = 0.8 ∴ c c c c c c c uv v u v x x x 0.98 0.8 0.8 1 0.8 0.8 1 2 2 = + + = + + = 3-14 飞船 A 以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船 B 以0.6c的速度相对地球向正西方向 飞行．当两飞船即将相遇时 A 飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在 B 飞船的观 测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解: 取 B 为 S 系，地球为 S 系，自西向东为 x ( x )轴正向，则 A 对 S 系的速度 v c x = 0.8 ， S 系对 S 系的速度为 u = 0.6 c ，则 A 对 S 系( B 船)的速度为 c c c c uv v u v x x x 0.946 1 0.48 0.8 0.6 1 2 = + + = + + = 发射弹是从 A 的同一点发出，其时间间隔为固有时 t = 2 s， 题 3-14 图 ∴ B 中测得的时间间隔为： 6.17 s 1 0.946 2 1 2 2 2 = − = − = c v t t x 3-15 (1)火箭 A 和 B 分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+ x 和- x 方向飞行．试求由火箭 B 测得 A 的速度．(2)若火箭 A 相对地球以0.8c的速度向+ y 方向运动，火箭 B 的速度不变
求A相对B的速度 解:(1)如图a,取地球为S系,B为S'系,则S相对S的速度u=06c,火箭A相对S 的速度ν=0.8c,则A相对S"(B)的速度为: v-l08c-(-06c) (-06c)080946c 或者取A为S'系,则=0.8c,B相对S系的速度v=-06c,于是B相对A的速度 (08c)(-0.6 (2)如图b,取地球为S系,火箭B为S′系,S′系相对S系沿-x方向运动,速度 l=-0.6c,A对S系的速度为,V2=0,V,=0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为 y="==0-(-06c)=06c =√1-062(0.8c)=064 ∴A相对B的速度大小为 0.88c 速度与x’轴的夹角为 tanb"="=107 6=468° 0.8c 题3-15图 3-16静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60°角的方向飞行.另一观测者静止于 S′系,S′系的x轴与x轴一致,并以0.6c的速度沿x方向运动.试问S′系中的观测者观
7 求 A 相对 B 的速度． 解: (1)如图 a ，取地球为 S 系， B 为 S 系，则 S 相对 S 的速度 u = 0.6 c ，火箭 A 相对 S 的速度 v c x = 0.8 ，则 A 相对 S ( B )的速度为： c c c c c c v c u v u v x x x 0.946 ( 0.6 )(0.8 ) 1 0.8 ( 0.6 ) 1 2 2 = − − − − = − − = 或者取 A 为 S 系，则 u = 0.8 c ，B 相对 S 系的速度 v c x = −0.6 ，于是 B 相对 A 的速度为： c c c c c c v c u v u v x x x 0.946 (0.8 )( 0.6 ) 1 0.6 0.8 1 2 2 = − − − − − = − − = (2)如图 b ，取地球为 S 系，火箭 B 为 S 系， S 系相对 S 系沿 − x 方向运动，速度 u = −0.6 c ， A 对 S 系的速度为, vx = 0 , v c y = 0.8 ,由洛仑兹变换式 A 相对 B 的速度为： c c v c u v u v x x x 0.6 1 0 0 ( 0.6 ) 1 2 = − − − = − − = c c v c u v c u v x y y 1 0.6 (0.8 ) 0.64 1 1 2 2 2 2 = − = − − = ∴ A 相对 B 的速度大小为 v v v c x y 0.88 2 2 = + = 速度与 x 轴的夹角 为 tan = 1.07 = x y v v ο = 46.8 题 3-15 图 3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与 x 轴成 60 角的方向飞行．另一观测者静止于 S′系，S′系的 x 轴与 x 轴一致，并以0.6c的速度沿 x 方向运动．试问S′系中的观测者观
测到的光子运动方向如何? 解:S系中光子运动速度的分量为 v=ccos60°=0.500 vy=csm60=0.866c 由速度变换公式,光子在S系中的速度分量为 10.5c-0.6c u 06c×05=-0143c Vy 1-062×0.86 =0.990c 0.6c×0.5c 光子运动方向与x轴的夹角满足 =-0.692 6在第二象限为θ′=982 在S"系中,光子的运动速度为 y'=V2+v2=c正是光速不变 3-17(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c,须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为 0.8c加速到0.9c,又须对它作多少功? 解:(1)对电子作的功,等于电子动能的增量,得 2(-1)=m2c2( =91×10-1×83×10)(1 =412×10-6J=257×103eV AEk=Ek -Ek.=(m2c--moc)-(m,c--moc) m
8 测到的光子运动方向如何? 解: S 系中光子运动速度的分量为 v c c x cos60 0.500 ο = = v c c y sin 60 0.866 ο = = 由速度变换公式，光子在 S 系中的速度分量为 c c c c c c v c u v u v x x x 0.143 0.6 0.5 1 0.5 0.6 1 2 2 = − − − = − − = c c c c c v c u v c u v x y y 0.990 0.6 0.5 1 1 0.6 0.866 1 1 2 2 2 2 2 = − − = − − = 光子运动方向与 x 轴的夹角 满足 tan = −0.692 = x y v v 在第二象限为 ο = 98.2 在 S 系中，光子的运动速度为 v v v c = x + y = 2 2 正是光速不变． 3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为 0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得 1) 1 1 ( 1) ( 2 2 2 0 2 0 2 0 2 − − = = − = − = c v E E mc m c m c m c k k 1) 1 0.1 1 9.1 10 (3 10 ) ( 2 31 8 2 − − = − 16 4.12 10− = J= 2.57 10 eV 3 (2) ( ) ( ) 2 0 2 1 2 0 2 2 2 1 E E E m c m c m c m c k = k − k = − − − ) 1 1 1 1 ( 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 c v c v m c m c m c − − − = − = )
=91×10-31×32×10°( 0.9 -0.8 5.14×10-J=3.21×10eV 3-18a子静止质量是电子静止质量的207倍,静止时的平均寿命τ。=2×10°s,若它在实 验室参考系中的平均寿命T=7×10°s,试问其质量是电子静止质量的多少倍? 解:设H子静止质量为m0,相对实验室参考系的速度为v=B,相应质量为m,电子静 止质量为moe,因r 即 由质速关系,在实验室参考系中质量为: 207 207×-=725 3-19一物体的速度使其质量增加了10%,试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解:设静止质量为m,运动质量为m 由题设 0.10 1-B 由此二式得 1=0.10 在运动方向上的长度和静长分别为/和b,则相对收缩量为 0.091=9.1% lo I o 1.10 3-20一电子在电场中从静止开始加速,试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%? 此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10kg 解:由质能关系 m△E04 mm2c2100
9 ) 1 0.8 1 1 0.9 1 9.1 10 3 10 ( 2 2 31 2 16 − − − = − 5.14 10 J −14 = 3.21 10 eV 5 = 3-18 子静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命 0 =2×10-6 s，若它在实 验室参考系中的平均寿命 = 7×10-6 s，试问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设 子静止质量为 m0 ，相对实验室参考系的速度为 v = c ，相应质量为 m ，电子静 止质量为 m0e ，因 2 7 1 1 , 1 0 2 2 0 = = − − = 即 由质速关系，在实验室参考系中质量为： 2 0 2 0 1 207 1 − = − = m m e m 故 725 2 7 207 1 207 2 0 = = − = m e m 3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为 m0 ，运动质量为 m ， 由题设 0.10 0 0 = − m m m 2 0 1− = m m 由此二式得 1 0.10 1 1 2 − = − ∴ 1.10 1 1 2 − = 在运动方向上的长度和静长分别为 l 和 0 l ，则相对收缩量为： 0.091 9.1% 1.10 1 1 1 1 2 0 0 0 = − − = − = = − = l l l l l 3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%? 此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg． 解: 由质能关系 100 0.4 2 0 0 = = m c E m m
△E 04×9.1×10-3×(3×103)2/100 100 3.28×10 3.28×10 1.6×10 所需电势差为20×103伏特 由质速公式有: mo mo m mo 4 1- B2=(-)2=1-(,)2=795×10-3 1.004 故电子速度为 v=B=27×107ms 321一正负电子对撞机可以把电子加速到动能Ek=2.8×10°eV.这种电子速率比光速差多 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为E0=0.511×10°eV) 解 所以 1+E 由上式, )2 V moc+Ek =cl-(0.51×105)2(0511×10°+28×10)2 29979245×1 v=2997924580×103m.s1-2.9979245×108=8m.s 由动量能量关系E2=p2c2+m2c4可得 Er +moc)--m E2+2E4m0c2
10 ∴ 0.4 9.1 10 (3 10 ) /100 100 0.4 31 8 2 2 0 = = m c − E 3.28 10 J −16 = ＝ eV 1.6 10 3.28 10 19 16 − − = 2.0 10 eV 3 = 所需电势差为 3 2.010 伏特 由质速公式有： 1.004 1 100 0.4 1 1 1 1 1 0 0 2 0 0 = + = + = + − = = m m m m m m m ∴ 2 2 2 3 ) 7.95 10 1.004 1 ( ) 1 ( − = = − = c v 故电子速度为 7 -1 v = c = 2.710 ms 3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能 EK ＝2.8×109 eV．这种电子速率比光速差多 少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为 E0 ＝0.511×106 eV ) 解: 2 0 2 2 2 0 1 m c c v m c Ek − − = 所以 2 0 2 0 2 0 2 2 1 / 1 1 E m c m c c E m c v k k + = + − = 由上式， 6 2 6 9 2 2 2 0 2 0 1 (0.51 10 ) /(0.511 10 2.8 10 ) 1 ( ) = − + + = − c m c E m c v c k 8 = 2.997924510 -1 m s 8 c − v = 2.99792458010 -1 m s 2.9979245 10 8 8 − = -1 m s 由动量能量关系 2 4 0 2 2 2 E = p c + m c 可得 c E E m c c E m c m c c E m c p k k k 2 0 2 4 2 0 2 2 0 2 4 0 2 ( ) + 2 = + − = − =