5.直线回归的数学模型和基本假定 回归分析的依据是直线回归模型。在这一模型中,Y总体的每一个值由以下三部分组成 ①回归截距a,②回归系数β,③Y变数的随机误差ε。因此,总体直线回归的数学模型可 表示为: Y,=a+Bx,+E (10.7) 其中,E1~N(0a2)。相应的样本线性组成为: =a+bx:+ (10.8) 在按上述模型进行回归分析时,假定: (1)Y变数是随机变数,而X变数则是没有误差的固定变数,至少和Y变数比较起来X 的误差小到可以忽略。 (2)在任一X上都存在着一个Y总体(可称为条件总体),它是作正态分布的,其平均 数山yx是x的线性函数 unix=a+B (10.9) y/x的样本估计值j,j与X的关系就是线性回归方程(9.1) (3)所有的Y总体都具有共同的方差G2,这一方差不因X的不同而不同,而直线回 总体具有N(a+Bx,2)。试验所得的一组观察值(x,y)只是Ma+Bx,a2)中的一个随机 样本。 (4)随机误差E相互独立,并作正态分布,具有N(0,2) 因此,模型中的参数共有a,即直线的截距;B,即直线的斜率;σ2,误差的方差。其 样本的相应的估计值为a、b和s3/x 理解上述模型和假定,有助于正确地进行回归分析。 二、直线回归的假设测验 1.回归关系的假设测验 若X和y变数总体并不存在直线回归关系,则随机抽取的一个样本也能用上述方法算得 个直线方程y=a+bx。显然,这样的回归方程是靠不住的。所以对于样本的回归方程,必 须测定其来自无直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概率小于005或0.01时,我们才 能冒较小的风险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。这就是回归关系的假设测验,其 测验方法有以下三种。 (1)测验由(104)可推知,若总体不存在直线回归关系,则总体回归系数B=0 若总体存在直线回归关系,则B≠0。所以对直线回归的假设测验为H0:B=0对H4:B≠0。 由(10.3)可推得回归系数b的标准误sb为 ∑(x-x)7 5．直线回归的数学模型和基本假定 回归分析的依据是直线回归模型。在这一模型中，Y总体的每一个值由以下三部分组成： ①回归截距 a，②回归系数  ，③Y 变数的随机误差  。因此，总体直线回归的数学模型可 表示为： Yj X j j = +  + （10.7） 其中， ~ (0, ) 2    j N 。相应的样本线性组成为： j j j y = a +bx +e （10.8） 在按上述模型进行回归分析时，假定： （1）Y 变数是随机变数，而 X 变数则是没有误差的固定变数，至少和 Y 变数比较起来 X 的误差小到可以忽略。 （2）在任一 X 上都存在着一个 Y 总体（可称为条件总体），它是作正态分布的，其平均 数 Y / X 是 X 的线性函数： Y / X = a + X （10.9） Y / X 的样本估计值 y ˆ ， y ˆ 与 X 的关系就是线性回归方程（9.1）。 （3）所有的 Y总体都具有共同的方差 2   ，这一方差不因 X 的不同而不同，而直线回归 总体具有 2 ( , N a + X   ）。试验所得的一组观察值（xi，yi）只是 ( , ) 2 N a + X   中的一个随机 样本。 （4）随机误差  相互独立，并作正态分布，具有 (0, ) 2 N   。 因此，模型中的参数共有 a，即直线的截距；  ，即直线的斜率； 2   ，误差的方差。其 样本的相应的估计值为 a、b 和 2 y / x s 。 理解上述模型和假定，有助于正确地进行回归分析。 二、直线回归的假设测验 1．回归关系的假设测验 若 X 和 Y 变数总体并不存在直线回归关系，则随机抽取的一个样本也能用上述方法算得 一个直线方程 y ˆ = a + bx 。显然，这样的回归方程是靠不住的。所以对于样本的回归方程，必 须测定其来自无直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概率小于0.05 或 0.01时，我们才 能冒较小的风险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。这就是回归关系的假设测验，其 测验方法有以下三种。 （1）t 测验 由（10.4）可推知，若总体不存在直线回归关系，则总体回归系数  = 0 ； 若总体存在直线回归关系，则   0 。所以对直线回归的假设测验为 H0 :  = 0对HA :   0。 由（10.3）可推得回归系数 b 的标准误 sb 为： x y x y x b SS s x x s s / 2 2 / ( ) =  − = （10.10）