≥1-(a1+a2) 引理得证， 四、置信域 以上讨论的置信区间和置信上、下限都是假定参数0是一维的，可以将其推广到参数9是k 维(k≥2)的情形，就得如下定义的置信域， 定义5设有一个参数分布族多={f(x,),0∈日}，日是参数空间.其中0=(01，·，0x)∈ 日CRk,k≥2.X=(X1,·,Xn)是来自分布族中某总体f(z,)的样本.若S(X)满足 (①)对任一样本X,S(X)是日的一个子集： ()对给定的0<a<1,P(0∈S(X)≥1-a,一切0∈9： 则称S(X)是9的置信水平为1-a的置信域(Confidence region)或置信集，而Pa(9∈S(X) 称为置信系数。 在多维场合，置信域S(X)的形状可以是各种各样的，但实用上只限于一些规则的几何图形 如其各面与坐标平面平行的长方体、球、椭球等.特别当置信集是长方体（其面与坐标平面平 行)，则称其为联合置信区间 五、构造区间估计的方法 目前应用最广泛的区间估计的形式是Neyman的置信区间.本章第二节和第三节将介绍这 一方法，这一方法的关键是基于点估计去构造枢轴变量，因此也称为枢轴变量法.另外一种构 造区间估计的重要方法是利用假设检验构造置信区间，它与枢轴变量法同属于一个理论体系， 即Neyman的关于置信区间和假设检验的理论.利用假设检验构造置信区间的方法将在下一章 有专门的一节介绍. 本章的最后两节将介绍区间估计的其它两种方法，即Fser的信仰推断方法和容忍区间和 容忍限。 用Bayes方法求区间估计的内容将放在本书的最后一章介绍. 2 枢轴变量法一正态总体参数的置信区间 一、引言 这个方法的基本要点，就是在参数的点估计基础上，去找它的置信区间.由于点估计是由样 本决定的，是最有可能接近真参数之值.因此，围绕点估计值的区间，包含真参数值的可能性也 就要大一些.请看下面的例子，是如何构造置信区间的， 例1设X=(X1,·,X)是从总体N(4,σ)中抽取的简单随机样本，此处σ2已知，求4 的置信系数为1-α的置信区间和置信上、下限. 4≥ 1 − (α1 + α2). ⁄ny. o!ò&ç ±˛?ÿò&´m⁄ò&˛!eÅ—¥b½ÎÍθ ¥òë, å±ÚŸÌ2ÎÍθ ¥k ë(k ≥ 2) ú/, “Xe½¬ò&ç. ½¬5 kòáÎÍ©ŸxF = {f(x, θ), θ ∈ Θ}, Θ¥ÎÍòm. Ÿ•θ = (θ1, · · · , θk) ∈ Θ ⊂ Rk, k ≥ 2. X = (X1, · · · , Xn) ¥5g©Ÿx•,oNf(x, θ) . eS(X) ˜v (i) È?òX, S(X) ¥Θ òáf8; (ii)Èâ½0 < α < 1, Pθ ￾ θ ∈ S(X)
≥ 1 − α, òÉθ ∈ Θ; K°S(X) ¥θ ò&Y²è1 − α ò&ç(Confidence region) ½ò&8, inf θ∈Θ Pθ ￾ θ ∈ S(X)
°èò&XÍ. 3ıë|‹, ò&çS(X) /Gå±¥à´à, ¢^˛êÅuò 5KA¤„/, XŸà°ÜãI²°²1êN!•!˝•. AOò&8¥êN(Ÿ°ÜãI²°² 1) , K°ŸèÈ‹ò&´m. !E´mOê{ 8cA^Å2ç´mO/™¥Neyman ò&´m. Ÿ1!⁄1n!Ú0˘ òê{, ˘òê{'Ö¥ƒu:OEÕ¶C˛, œdè°èÕ¶C˛{. , ò´ E´mO­áê{¥|^buEò&´m, ßÜÕ¶C˛{”·uòánÿNX, =Neyman 'uò&´m⁄bunÿ. |^buEò&´mê{Ú3eòŸ k;Äò!0. ŸÅ￾¸!Ú0´mOŸß¸´ê{, =Fisher &̉ê{⁄N=´m⁄ N=Å. ^Bayes ê{¶´mOSNÚò3÷Å￾òŸ0. 2 Õ¶C˛{—oNÎÍò&´m ò!⁄Û ˘áê{ƒá:, “¥3ÎÍ:Oƒ:˛, Èßò&´m. du:O¥d ˚½, ¥ÅkåUC˝ÎÍθÉä. œd, å7:Oä´m, ù¹˝ÎÍäåU5è “áåò . ûwe°~f, ¥X¤Eò&´m. ~1 X = (X1, · · · , Xn) ¥loNN(µ, σ2 ) •ƒ{¸ëÅ, d?σ 2 Æ, ¶µ ò&XÍè1 − α ò&´m⁄ò&˛!eÅ. 4