第章群、环和域 证明:由表7.1可以看出,*运算 表71 是封闭的和可结合的,在G中有关于* 6 c 米的单位元e。G中每个元素都是自 bc 己的逆元,即e-l=e,arl=a,bl=b, c1=c。所以<G*>是群 ae c b 例72中的群<G,*叫做 Klein四 6 e 元群,简称四元群。Kein四元群有 ccba 以下4个特点: (1)e为G中的单位元 (2)*运算是可交换的。 (3)G中每个元素的逆元都是自己 (4)a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第 三个元素 由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元,所以可以定 义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x=e,x∈G,n∈l 定义xn=(x)y第7章 群、环和域 证明：由表7.1可以看出，*运算 是封闭的和可结合的，在G中有关于 *的单位元e。 G中每个元素都是自 己的逆元，即e –1=e，a –1=a，b –1=b， c –1=c。所以G, *是群。 例7.2中的群G,*叫做Klein 四 元群，简称四元群。Klein 四元群有 以下4个特点： 表7.1 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ⑴ e为G中的单位元。 ⑵ *运算是可交换的。 ⑶ G中每个元素的逆元都是自己。 ⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第 三个元素。 由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定 义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x 0=e，xG，nI +， 定义x –n＝(x –1 ) n