第三节函数的极限 教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学过程 一、函数极限的定义 一般概念在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那 么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 1.函数当x→0时的极限 我们知道，当x→0时)=越来越接近零.如果函数儿)当树无限增大时，) 取值和常数1要多接近就有多接近，此时称1是(x)当x→∞时的极限，记作 im/(x)=1. 它的解析定义是： 设函数fx)当大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数6（不论它多么小）， 总存在着正数X,使得对于适合不等式>X的一切x,对应的函数值fx)都满足不等 式f)-小<6，那么常数A就叫做函数fx)当x→0时的极限，记作 mfx)=A或f)→A(当x→o). 注：若imfx)=1 (1)I是唯一的确定的常数： (2)x→0既表示趋于+0，也表示趋于-0. 如果x→+o时，fx)取值和常数I要多接近就有多接近，我们称1是fx)当x→+o 时的极限，记作 mf)=1. 如果x→一∞时，fx)取值和常数I要多接近就有多接近，我们称1是fx)当x→0 时的极限，记作 lim f(x)=1 显然，m)存在的充分必要条件是 第三节 函数的极限 教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学过程： 一、函数极限的定义 一般概念 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那 么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 1．函数当 x → 时的极限 我们知道，当 x → 时 ( ) x f x 1 = 越来越接近零．如果函数 f (x) 当 x 无限增大时， f (x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，此时称 l 是 f (x) 当 x → 时的极限，记作 f (x) l x = → lim ． 它的解析定义是： 设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的正数  （不论它多么小）， 总存在着正数 X ，使得对于适合不等式 x  X 的一切 x ，对应的函数值 f (x) 都满足不等 式 f (x)− A   ，那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x → 时的极限，记作 f (x) A x = → lim 或 f (x)→ A （当 x → ）． 注：若 f (x) l x = → lim （1） l 是唯一的确定的常数； （2） x → 既表示趋于 + ，也表示趋于−  ． 如果 x → + 时， f (x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，我们称 l 是 f (x) 当 x → + 时的极限，记作 f (x) l x = →+ lim ． 如果 x →− 时， f (x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，我们称 l 是 f (x) 当 x →− 时的极限，记作 f (x) l x = →− lim ． 显然， f (x) x→ lim 存在的充分必要条件是