∫(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e (1)求F(x)所满足的一阶微分方程 (2)求出F(x)的表达式 【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其 余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程 【详解】(1)由 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) g(x)+∫(x) =[f(x)+g(x)2-2f(x)g(x) =(2e2)2-2F(x) 可见F(x所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2 2dx (2)F(x)=el =e+Ce 将F(0)=f(0)g(0=0代入上式,得 于是 F(x=elr-e-2r 【评注】本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的 形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本要求的范围. 完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过,也可参见《文登数学全真模拟试卷》数学 三P17第三题 八、(本题满分8分) 设函数f(x)在0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f0)+f(1)+(2)=3,f(3)1试证必存在 ∈(0,3),使∫(5)=0 【分析】根据罗尔定理,只需再证明存在一点c∈[0,3),使得∫(c)=1=f(3),然后 在[c3]上应用罗尔定理即可.条件fO+()+(2)=3等价于f(O)+f(1)+(2) 1,问题转 3 化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的 【详解】因为fx)在[0,3上连续,所以fx)在[0,2]上连续,且在0,2上必有最大10 f (x) = g(x) ， g (x) = f (x) ，且 f(0)=0, ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e (1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其 余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由 F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = ( ) ( ) 2 2 g x + f x =[ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 f x + g x − f x g x =(2 2 ) x e -2F(x), 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 ( ) 2 ( ) 4 . 2x F x + F x = e (2) ( ) [ 4 ] 2 2 2 F x e e e dx C dx x dx +    =  − = [ 4 ] 2 4 e e dx C x x +  − = . 2x 2x e Ce− + 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1. 于是 ( ) . 2x 2x F x e e − = − 【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的 形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围. 完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过，也可参见《文登数学全真模拟试卷》数学 三 P.17 第三题. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在   (0,3) ，使 f ( ) = 0. 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点 c [0,3) ，使得 f (c) = 1 = f (3) ，然后 在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等价于 1 3 (0) (1) (2) = f + f + f ，问题转 化为 1 介于 f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的. 【详解】 因为 f(x)在[0，3]上连续，所以 f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大