为了完全证明定理1,还需要以下的结果: 引理3设T满足定理1的假设,则对于任意点Q=(u0,v)∈U,T在点Q 附近可以表示成2个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 证设x0=x(u0,v0),y=y(u,v0),P=(x0,y0) 由于 d(x a(u,)(,")≠0,行列式中必有元素不为零。不妨设(,n)≠0, 于是,本原映射 5=x(u,y) 的aobi行列式5)(n,x)=0x(n1)≠0,由隐函数存在定理(或逆映射定 (u,v) 理,局部地可得逆映射(=8(5m)且5)在不(4)的一个邻域具有连续 7 偏导数。注意这时成立g(x(,),v)= 作 y=y(g(5,m7),) y=y(g(5,),)=y(g(x(u,v),v),v)=y(u,v) 即T2oT=T 证毕 4.二重积分变量代换公式的证明 根据引理3,对于每点Q=(l,v)∈D存在它的一个邻域U(Q),在这个邻域 中,T可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于(QQ∈D覆盖了D, 由 Heine- Borel定理,存在有限多个邻域 U6/(1),U6/(Q2),…,U6。(Qs) 6 它们覆盖了D。设δ,=min 取划分充分细,使得所有的小矩形的对角线长度都小于8,那么当小矩形D 与U。/(Q)相交时,D必包含在某个U。(Q中(1≤j≤S)。于是在每个D,(i= 1,2,…,M)上成立T=T2°n(为简便起见去掉了标记,注意对不同的D,可 能有不同T和),这里T和T2是本原映射。设 T1 ∫5=5(u. x(5,7) 7=n7(,v), 和T2 y=y(5 那么 a(x,y)a(x,y)a(2,7) a(u,v) a(5, n au, v) 由引理2得为了完全证明定理 1，还需要以下的结果： 引理 3 设T 满足定理 1 的假设，则对于任意点 = vuQ 000 ),( ∈ U ，T 在点 附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 Q0 证 设 ),(),,(),,( 0 000 00000 = = = yxPvuyyvuxx 。 0),( ),( ),( 00 ≠ ∂ ∂ vu vu yx 0),( 00 ≠ ∂ ∂ vu u x 由于 ，行列式中必有元素不为零。不妨设 ， 于是，本原映射 ⎩ ⎨ ⎧ = = v vux T η ξ ),,( : 1 0),( 00 ≠ ∂ ∂ vu u x = ∂ ∂ ),( ),( ),( 00 vu vu ξ η 的 Jacobi 行列式 ，由隐函数存在定理（或逆映射定 理），局部地可得逆映射 且 ⎩ ⎨ ⎧ = = , ),,( η ηξ v gu g(, ) ξ η 在 的一个邻域具有连续 偏导数。注意这时成立 Tu v 100 (,) )),,(( = uvvuxg 。 作 ⎩ ⎨ ⎧ = = ),),,(( , : 2 ηηξ ξ gyy x T 则有 ),()),),,((()),,(( 。 ),,( gyy vuyvvvuxgy vuxx = = = == ηηξ ξ 即 。 o 12 = TTT 证毕 4．二重积分变量代换公式的证明： 根据引理 3，对于每点 = vuQ ),( ∈ D存在它的一个邻域U ，在这个邻域 中， δ ( ) Q { |)( QQU ∈ D} 2 T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于 δ 覆盖了 ， 由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域 D U QU Q U Q S δδ δ S 1 2 1 2 2 2 2 ( ) , ( ), , ( ) L ， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 2 ,, 2 , 2 min 21 * δδ δ S 它们覆盖了 。设 D δ L 。 取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于δ * ，那么当小矩形Di 与 )( 2 j j δ QU 相交时， 必包含在某个 中 Di QU )(j δ ≤ ≤ Sj )1( 。于是在每个 （ Di i = ）上成立 （为简便起见去掉了标记i ，注意对不同的 ，可 能有不同 和 ），这里 和 是本原映射。设 M Di L,,2,1 TTT = 2 o 1 T1 T2 T1 T2 ⎩ ⎨ ⎧ = = ),,( ),,( : 1 vu vu T ηη ξξ 和 ⎩ ⎨ ⎧ = = ).,( ),,( : 2 ηξ ηξ yy xx T 那么 ),( ),( ),( ),( ),( ),( vu yx vu yx ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ η ηξ 。 由引理 2 得 4