2和函数的分析运算性质 (1)幂级数∑anx"的和函数(x)在收敛区间(-RR)内连续,在端点收敛,则在 端点单侧连续 (2)幂级数∑anx”的和函数(x)在收敛区间(-RR)内可积,且对 Vx∈(-R,R)可逐项积分 即()=①x)=∑x=∑41r (收敛半径不变) (3)幂级数∑ax”的和函数s(x)在收敛区间(-RR)内可导,并可逐项求导任意 次 即s(x)=C∑anx")=∑(anx")=∑mnx".(收敛半径不变) 例4求级数∑(-1)~y+ 的和函数 解∵S(x)=∑(-1)21,显然s(O)=0 s(x)=1-x+x (-1<x<1) +x 两边积分得 s'()d=l(1+x)即s(x)-s(0)=h(1+x) s(x)=In(1+x) 又x=1时,∑(-1)21-收敛 (-1)=l(1+x).(-1<x≤1) 例5求Sm(n+1) 解考虑级数∑m(n+1)x",收敛区间(118 2.和函数的分析运算性质: （1）幂级数   n=0 n n a x 的和函数 s(x) 在收敛区间 (−R,R) 内连续, 在端点收敛, 则在 端点单侧连续. （ 2 ） 幂 级 数   n=0 n n a x 的 和 函 数 s(x) 在 收 敛 区 间 (−R,R) 内可积 , 且 对 x(−R,R) 可逐项积分.     = = x n n n x s x dx a x dx 0 0 0 即 ( ) ( )   = = 0 0 n x n an x dx . 1 1 0 +  =  + = n n n x n a (收敛半径不变) （3）幂级数   n=0 n n a x 的和函数 s(x) 在收敛区间 (−R,R) 内可导, 并可逐项求导任意 次.   =  =  0 ( ) ( ) n n n 即 s x a x   = =  0 ( ) n n n a x . 1 1   = − = n n n na x (收敛半径不变) 例 4 求级数   = − − 1 1 ( 1) n n n n x 的和函数. 解 ( ) ( 1) , 1 1   = − = − n n n n x s x 显然s(0) = 0, s (x) =1− x + x 2 − , 1 1 + x = (−1 x 1) 两边积分得 ( ) ln(1 ) 0 s t dt x x  = +  即s(x)− s(0) = ln(1+ x) s(x) = ln(1+ x), 又 x =1时, . 1 ( 1) 1  1 收敛  = − − n n n ( 1) ln(1 ). 1 1 x n x n n n  − = +  = − (−1 x 1) 例 5 求   = + 1 2 ( 1) n n n n 的和. 解 ( 1) , 1 n n n n x  = 考虑级数 + 收敛区间(-1,1)