0D2 现在利用D左上角的“1”经过初等列变换消去它右边C1位置中的非零元;再用D2左上角 的“1”经过初等行变换消去它上面C1处的非零元素,于是把M再化作 E.000 000C2 M 00E0 则有r(M)=r(M1)=r(M2)=r+s+r(C2)≥r+s=r(A)+(B)。证毕。 容易得出,对于矩阵 A 0 也有同样的性质 对于上述M和N,如果r(4)=m,r(B)=k,则r(M)=r(4)+r(B);如果 r(A)=n, r(B)=I, r(M=r(A)+r(B) 命题设A、B、C为数域K上的三个可以连乘的矩阵,则 r(ABC)+r(B)>r(AB)+ r(BC) 证明假设A、B、C分别为m×n、n×1和l×s矩阵。令 AB 0 bB 考虑 W=Em -A(A8 0E -C 0En八BBC八0E (0.2C6E 0 -ABC B 0 由可逆矩阵乘法的性质(命题)和命题可以知道, r(ABC)+r(B)=r(N=r(M>r(AB)+r(BC) 262矩阵分块技巧的运用(挖洞法)和其应用—可逆矩阵的分块求逆 1、挖洞法 设1 1 1 2 0 D C M D   =     。 现在利用 D1 左上角的“1”经过初等列变换消去它右边 C1 位置中的非零元；再用 D2 左上角 的“1”经过初等行变换消去它上面 C1 处的非零元素，于是把 M1 再化作 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r s E C M E       =       。 则有 1 2 2 r M r M r M r s r C r s r A r B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + +  + = + 。证毕。 容易得出，对于矩阵 A 0 N C B   =     ， 也有同样的性质。 对于上述 M 和 N ，如果 r A m r B k ( ) , ( ) = = ， 则 r M r A r B ( ) ( ) ( ) = + ；如果 r A n r B l ( ) , ( ) = = ，则 r M r A r B ( ) ( ) ( ) = + 。 命题 设 A 、 B 、C 为数域 K 上的三个可以连乘的矩阵，则 r (ABC) + r (B)  r (AB) + r (BC) 证明 假设 A、B、C 分别为 m n 、 n l  和 l s  矩阵。令 AB 0 M B BC   =     ， 考虑 0 0 0 0 0 0 , 0 m l n s E A E C AB ABC E C N E E B BC B BC E ABC B     − −       − − = =                       − =     由可逆矩阵乘法的性质（命题 ）和命题 可以知道， r ABC r B r N r M r AB r BC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = =  + 2.6.2 矩阵分块技巧的运用（挖洞法）和其应用——可逆矩阵的分块求逆 1、挖洞法 设