为准对角矩阵,其中A(=1,2,…,s)为n阶方阵(n1+n2+…+n2=n),其余位置全是小 块零矩阵。 2、分块矩阵的一些性质 命题n阶准对角矩阵有如下性质: (1)、对于两个同类型的n阶准对角矩阵(其中A1,B同为n阶方阵) B1 B B A B 有 AB AB= A2 B2 A (2)、r(A)=r(41)+r(A2)+…+r(A) (3)、A可逆分A(=1,2,…,s)可逆,且 A 命题分块矩阵 的秩大于等于A与B的秩的和。 0 B CA CY 证明记M 设A为m×n矩阵,B为n×l矩阵,A在初等变换标准形为 0 B r=r(A) B在初等变换下的标准形为 E D=(00,s=(B, 则对M前m行前n列做初等变换,对它的后k行后1列也做初等变换,这样可以把M化为为准对角矩阵，其中 ( 1,2, , ) A i s i = 为 i n 阶方阵（ 1 2 s n n n n + + + = ），其余位置全是小 块零矩阵。 2、分块矩阵的一些性质 命题 n 阶准对角矩阵有如下性质： （1）、对于两个同类型的 n 阶准对角矩阵（其中 , A Bi i 同为 i n 阶方阵）， 1 2 s A A A A       =       ， 1 2 s B B B B       =       ， 有 1 1 2 2 s s A B A B AB A B       =       ； （2）、 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r A r A r A r A = + + + ； （3）、A 可逆 ( 1,2, , )  = A i s i 可逆，且 1 1 1 1 2 1 s A A A A − − − −       =       。 命题 分块矩阵         B A C 0 的秩大于等于 A 与 B 的秩的和。 证明 记 0 A C M B   =     ，设 A 为 m n 矩阵，B 为 n l  矩阵， A 在初等变换标准形为 1 0 0 0 E r D   =     ， r r A = ( ) ； B 在初等变换下的标准形为 2 0 0 0 E s D   =     ， s r B = ( ) ， 则对 M 前 m 行前 n 列做初等变换，对它的后 k 行后 l 列也做初等变换，这样可以把 M 化为