第十二讲满秩分解与奇异值分解 矩阵的满秩分解 1.定义:设A∈Cr"(r>0),若存在矩阵F∈CmX及G∈Cr,使 得 A=FG,则称其为A的一个满秩分解。 说明:(1)F为列满秩矩阵,即列数等于秩;G为行满秩矩阵, 即行数等于秩。 (2)满秩分解不唯一。VD∈Cr(r阶可逆方阵),则 A=FG=F(DD )G=(FDDG)=FGI,H F1∈Cr,G1∈C1 rxn 2.存在性定理:任何非零矩阵均存在满秩分解 证:采用构造性证明方法。设A∈Cm,则存在初等变换矩阵 E ∈cmxm G 行 使EA=B= ,其中G∈Cr O(m-r)行 将A写成A=EB,并把E分块成E1=[F 其 r列(m-r)列 中F∈Cmx G ∴A=F.S….|=FG是满秩分解 3. Hermite标准形(行阶梯标准形)第十二讲 满秩分解与奇异值分解 一、矩阵的满秩分解 1. 定义：设 m n A C (r 0) r    ，若存在矩阵 m r F Cr   及 r n G Cr   ，使 得 A FG = ，则称其为 A 的一个满秩分解。 说明：（1） F 为列满秩矩阵，即列数等于秩； G 为行满秩矩阵， 即行数等于秩。 （2）满秩分解不唯一。 r r D Cr    （ r 阶可逆方阵），则 1 1 A FG F(DD )G (FD)(D G) F G1 1 − − = = = = ， 且 m r r n F C ,G C 1 r 1 r     2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解 证：采用构造性证明方法。设 m n A Cr   ，则存在初等变换矩阵 m m E Cm   ， 使 G r EA B ....... O (m r)     = =       − 行 行 ， 其中 r n G Cr   将 A 写成 1 A E B− = ，并把 1 E − 分块成   1 r (m r) E F | S − − = 列 列 ，其 中 m r F Cr   . G A F . S .... FG . O          = =             是满秩分解。 3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）