第十一章反常积分 §1反常积分概念及其性质 例1证明:若f在(+)上连续,且厂(x)d收敛,则对任何x∈(a+∞),有 d dxl/(o)dt=f(x) drJ(o)dt=-f(x) 证va,由条件f(x)dx=,(x)=J都存在:再由∫连续,便可证得 ()=(+()-( d f(rdt+,=-f(x) 例2设「f(x)dx收敛。证明 (1)若极限lmf(x)存在,则lnf(x)=0 (2)若f在[a+∞)上为单调,则lmf(x)=0。 证(1)设lmf(x)=A。若A≠0(设A>0),则由极限保号性,彐G>a,当x≥G时满足 f( 于是有 Fedx=ff(x)dx+[ (a-=G) f(rdx 而这与[f(x)dx收敛相矛盾,故A=0 (2)若f在[口+∞)上单调而无界(设为递增而无上界),则vA>0,3G>a,当x≥G时,使f(x)≥A 类似于(1)的证明,推知[(x)k=+,矛盾。所以,∫在[+)上单调而有界,mf(x)=4。依据 已证得的命题(1),imf(x)=0 例3证明:若(x)收敛,且厂在[+)上一致连续,则必有lmf(x)=0 证由f在[a+)上一致连续,VE>0,6>0设δ≤B),当xx∈[+)且x-x<δ时,总有第十一章 反常积分 §1 反常积分概念及其性质 例 1 证明：若 f 在 (−,+) 上连续，且  + − f (x)dx 收敛，则对任何 x(−,+) ，有   + − = = − x x f t dt f x dx d f t dt f x dx d ( ) ( ), ( ) ( ) 证 a ，由条件   + − = = a a f x dx J f x dx J 1 2 ( ) , ( ) 都存在；再由 f 连续，便可证得 −   =      = + x x a J f t dt f x dx d f t dx dx d ( ) ( ) ( ), 1   +  = −      = + x a x f t dt J f x dx d f t dt dx d ( ) ( ) ( ). 2 例 2 设  + x f (x)dx 收敛。证明： （1）若极限 lim f (x) x→+ 存在，则 lim ( ) = 0 →+ f x x ； （2）若 f 在 a,+) 上为单调，则 lim ( ) = 0 →+ f x x 。 证 （1）设 f x A x = →+ lim ( ) 。若 A  0 （设 A  0 ），则由极限保号性， G  a ，当 x  G 时满足 0. 2 ( )  A f x  于是有    = + u a G a u G f (x)dx f (x)dx f (x)dx ( ), 2 ( ) u G A f x dx G a  + −   = + →+ u u a lim f (x)dx . 而这与  + a f (x)dx 收敛相矛盾，故 A=0。 （2）若 f 在 a,+) 上单调而无界（设为递增而无上界），则 A  0 ，G  a ，当 x  G 时，使 f (x)  A 。 类似于（1）的证明，推知  + = + a f (x)dx ，矛盾。所以， f 在 a,+) 上单调而有界， f x A x = →+ lim ( ) 。依据 已证得的命题（1）， lim ( ) = 0 →+ f x x 。 例 3 证明：若  + a f (x)dx 收敛，且 f 在 a,+) 上一致连续，则必有 lim ( ) = 0 →+ f x x 。 证 由 f 在 a,+) 上一致连续，   0,  0(设   ) ，当 x  , x a,+)且x  − x   时，总有